§3.1.1二項(xiàng)式定理(1)[教學(xué)目標(biāo)]掌握二項(xiàng)式定理的內(nèi)容,會(huì)求多項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式,二項(xiàng)式系數(shù)以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng);經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程,體會(huì)歸納－猜想－論證的思想方法,發(fā)展探究能力.[重點(diǎn)難點(diǎn)]經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程.[教學(xué)過程]一.二項(xiàng)式定理的引入已知,,,下面分析的展開式,進(jìn)而研究的展開式.,展開式的每一項(xiàng)是從每個(gè)括號(hào)里任取一個(gè)字母的乘積,因而各項(xiàng)都是四次式:;其中的系數(shù)為(每個(gè)括號(hào)都不取),的系數(shù)為(任取一個(gè)括號(hào)取另三個(gè)括號(hào)內(nèi)取),的系數(shù)為,的系數(shù)為,的系數(shù)為.因此.參照上式,有;;.二.二項(xiàng)式定理一般地,對(duì)于任意正整數(shù)有右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式,共有項(xiàng),其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),它是展開式的第項(xiàng),用表示,即.用組合數(shù)的方法證明二項(xiàng)式定理.三.例題與練習(xí)例1求的二項(xiàng)展開式.解:.例2求的二項(xiàng)展開式.解:.例3求的展開式.解:.例4求的展開式.解:.例5證明:.證:令,.例6求的展開式中的倒數(shù)第5項(xiàng).解:倒數(shù)第5項(xiàng)是它的第9項(xiàng),.例7求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù).解:的展開式的第4項(xiàng)是.故所求系數(shù)為.注:第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.§3.1.2二項(xiàng)式定理(2)[教學(xué)目標(biāo)]進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的特點(diǎn);體驗(yàn)二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性.[教學(xué)過程]一.復(fù)習(xí)回顧1.二項(xiàng)式定理:,展開式共有項(xiàng),稱為二項(xiàng)式系數(shù).(與某一項(xiàng)的系數(shù)相區(qū)別)2.,奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù).3.,令,得.4.通項(xiàng):,是展開式中的第項(xiàng).二.例題與練習(xí)例1求中的的系數(shù),并指出它是展開式中的第幾項(xiàng).解:的展開式的通項(xiàng)是,令,因此的系數(shù)是,是展開式的第4項(xiàng).練習(xí):求展開式中的系數(shù),指出它是展式中的第幾項(xiàng).解:,令,系數(shù)為,第6項(xiàng).例2已知的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,求的值.解:.例3已知展開式中的第5,6,7項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求的值.解:.例4求的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).解:設(shè)二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng),即,由.所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.例5若展開式含有常數(shù)項(xiàng),求的最小值.解:,令.例6的展開式中,有理項(xiàng)共有幾項(xiàng).解:,由,得是6的倍數(shù),所以,共17項(xiàng).例7用二項(xiàng)展開式的方法計(jì)算除以10的余數(shù).解:,展開式前10項(xiàng)都為10的整數(shù)倍,所以余數(shù)為1.例8當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí),求證是13的倍數(shù).證:設(shè),則上式中的每一個(gè)因子都含有13,所以當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí),是13的倍數(shù).例9在的展開式中,求的系數(shù).解:在這100個(gè)因子相乘的展開式中,含的項(xiàng)是從99個(gè)因子中取與余下的一個(gè)因子中去數(shù)字相乘后得到,有種不同的選擇方法,因此得到,所求系數(shù)為5050.§3.2二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用[教學(xué)目標(biāo)]了解二項(xiàng)式系數(shù)表及其特征,掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);體驗(yàn)”楊輝三角”的優(yōu)美排列和數(shù)學(xué)規(guī)律.[重點(diǎn)難點(diǎn)]二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).[教學(xué)過程]一.二項(xiàng)式系數(shù)表將的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)列表如下二.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1(對(duì)稱性)每行中與首末兩端等距離之?dāng)?shù)相等,即.性質(zhì)2(遞歸性)除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和,即.性質(zhì)3第行各數(shù)之和等于,即.三.例題與練習(xí)例1求證:在的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.證:在展開式,令,得.例2在二項(xiàng)式的展開式中,求含的奇次項(xiàng)的系數(shù)和.解:方法一所以展開式中含的奇次項(xiàng)的系數(shù)和為.又因,所以即含的奇次項(xiàng)的系數(shù)和為.例3求證:的展開式中,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且同時(shí)取得最大值.證:,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小.例4利用二項(xiàng)式定理證明:.證:,所以.四.利用求近似值.由,當(dāng)很小時(shí),與零非常接近,當(dāng)不太大時(shí),的值也與零非常接近.所以.例5求下列數(shù)的近似值:(1);(2).解:(1);(2).§3.2二項(xiàng)式定理習(xí)題課一．回憶復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理及性質(zhì)1．;2.;;3.通項(xiàng),項(xiàng)的系數(shù),項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);4.二項(xiàng)式系數(shù)的分布及性質(zhì).二.例題與練習(xí)例1若展開式中的第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等,求的值,并求出展開式的常數(shù)項(xiàng).解:由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性知(或)則,,常數(shù)項(xiàng)為.例2求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與最小的項(xiàng).解:展開式共10項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),因此第五項(xiàng)最大,第六項(xiàng)最小,,.例3已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值為1120,求的值.解:共有9項(xiàng),第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,.例4若,求.解:令,則,又,.例5設(shè),求.解:令,則,令,則,.例6設(shè),求的值.解:令,則令,則.例7證明:.證:(構(gòu)造法).例8求展開式中含項(xiàng)的系數(shù).解:,的系數(shù)為.或者五個(gè)因子乘積,其中一個(gè)取,另四個(gè)取,.例9求展開