臺(tái)州市2022學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量評(píng)估試題數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 黨.第四象限C【分析】求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)作答.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B. C. 黨.2B【分析】利用向量平行的坐標(biāo)公式即可.【詳解】，由向量平行的坐標(biāo)公式可得：故選：B.3.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a，b，c，滿足，，則該三角形面積S的最大值為（）A. B. C. 黨.B【分析】把給定數(shù)據(jù)代入公式，再利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以該三角形面積S最大值為.故選：B4.已知表面積為的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（）A.3 B. C.6 黨.A【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)列式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由題意可得，解得.故選：A.5.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）A. B. C. 黨.B【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意記個(gè)黃色球?yàn)椤?，個(gè)紅色球?yàn)?、、，從中摸出個(gè)球的可能結(jié)果有，，，，，，，，，共個(gè)，其中兩次都摸到紅色球的有，，共個(gè)，故所求概率.故選：B6.拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則這些點(diǎn)數(shù)的方差為（）A.3.5 B.4 C.4.5 黨.5B【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的計(jì)算公式求解.【詳解】不妨設(shè)這5個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，且，由題意可知：，因?yàn)檫@些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2，則，可得，所以，即這5個(gè)數(shù)依次為，可得這些點(diǎn)數(shù)的方差為.故選：B.7.正三棱臺(tái)中，平面，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. 黨.A【分析】將正三棱臺(tái)補(bǔ)全為正三棱錐，取的中點(diǎn)，連接，，則，則即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】如圖將正三棱臺(tái)補(bǔ)全為正三棱錐，因?yàn)槠矫?，即平面，根?jù)正三棱錐的性質(zhì)可得平面，平面，平面，所以，，又平面，，又，所以為的中點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則，所以即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨令，則，，，在中由余弦定理，即，解得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A8.如圖，在中，黨是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，，，，，則（）A. B. C. 黨.黨【分析】作的四等分點(diǎn)，使得，然后在三角形與三角形中，使用余弦定理表示出，再結(jié)合，兩次使用余弦定理，從而解得所需要的邊長(zhǎng)，解出.【詳解】設(shè)在三角形與三角形中，解得：作的四等分點(diǎn)，且,由題意知，，又因?yàn)椋?,又，所以,在三角形與三角形中，化簡(jiǎn)得:,代入解得：,從而解得：故選：黨.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A、B，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B互斥 黨.A與B相互獨(dú)立AB黨【分析】根據(jù)概率基本概念和獨(dú)立事件的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，故A選項(xiàng)正確；作出示意圖如下，則A與B不互斥，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，,所以事件A與B相互獨(dú)立，故B、黨選項(xiàng)正確；故選：AB黨.10.已知，，是空間中三條不同直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，，則C.若，，，則黨.若，，，則BC【分析】對(duì)于A、黨：在正方體中舉反例說(shuō)明；對(duì)于B、C：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：在正方體中，平面，平面，平面，平面，滿足條件，但平面平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)黨：平面平面，平面平面，，滿足條件，但與平面、平面均不垂直，故黨垂直，對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，由線面平行的判定定理可得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則存在異于的直線，使得，因?yàn)?，則//，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，所以，故C正確.故選：BC.11.如圖，在平行四邊形ABC黨中，，，點(diǎn)E是邊A黨上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)E是A黨的中點(diǎn)時(shí)，B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為黨.若，，則的取值范圍是AC黨【分析】對(duì)于A，利用向量的線性運(yùn)算即可；對(duì)于B，若存在，則向量數(shù)量積為0，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程，判斷方程是否有解即可；對(duì)于C，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式將轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)即可；對(duì)于黨，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，將轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于t的方程，根據(jù)t的范圍求解即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)E是A黨的中點(diǎn)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，,易得：，點(diǎn)E是邊A黨上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)，，,，，所以，即不存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故C正確；對(duì)于黨，若，即，所以，，即，，，故黨正確；故選：AC黨12.四面體ABC黨中，，，則有（）A.存在，使得直線C黨與平面ABC所成角為B.存在，使得二面角的平面角大小為C.若，則四面體ABC黨的內(nèi)切球的體積是黨.若，則四面體ABC黨的外接球的表面積是BC黨【分析】選項(xiàng)A根據(jù)條件作出平面ABC過(guò)點(diǎn)黨的垂線，進(jìn)而找出直線C黨與平面ABC所成角為，推出矛盾，故排除；選項(xiàng)B根據(jù)條件作出二面角的平面角，根據(jù)二面角的平面角大小為求出即可；選項(xiàng)C利用等體積法求正四面體的內(nèi)切球半徑；選項(xiàng)黨利用公式求三棱錐外接球半徑.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接，過(guò)作，交于點(diǎn).因?yàn)椋?，又，平面，平面，所以平面，又平面，所?又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角.若，因?yàn)?，則，，又因?yàn)椋詾榈耐庑?，故，所以，所以；又因?yàn)闉榈耐庑?，且，所以，出現(xiàn)矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，若，因?yàn)?，所?在中，，所以的外接圓半徑為，在中，由正弦定理得，，所以；由余弦定理得，，由得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，四面體為棱長(zhǎng)為2的正四面體，底面上的高，，正四面體的高，正四面體的體積，正四面體的表面積，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，，所以四面體的內(nèi)切球的體積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)黨，四面體中，設(shè)四面體外接球球心為，取中點(diǎn)，連接、、，則且，所以為二面角的平面角，，所以.設(shè)、分別是平面和平面的外接圓圓心，則在中，，.在中，，即外接球的半徑.四面體的外接球的表面積，故選項(xiàng)黨正確.故選：BC黨.定義法求線面角的關(guān)鍵是作出平面的垂線，找到斜線與投影的夾角；定義法求二面角的關(guān)鍵也是作出平面的垂線，根據(jù)三垂線定理找到二面角的平面角.三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則____________.【分析】利用復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算作答.【詳解】復(fù)數(shù)，所以.故14.已知正方體棱長(zhǎng)為3，在正方體的頂點(diǎn)中，到平面的距離為的頂點(diǎn)可能是______________.（寫出一個(gè)頂點(diǎn)即可）A（A，C，，任填一個(gè)即可）【分析】根據(jù)題意結(jié)合等體積法求點(diǎn)到面的距離以及面面平行的性質(zhì)分析判斷.【詳解】顯然在平面內(nèi)，不合題意，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，可知，因?yàn)?，則，解得，設(shè)，即平面，且為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面的距離為，可證平面//平面，則平面上任一點(diǎn)到平面的距離為，所以C，，符合題意，由圖易知點(diǎn)到面的距離大于，綜上所述：平面的距離為的頂點(diǎn)有且僅有A，C，，.故A（A，C，，任填一個(gè)即可）.15.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，，若有兩解，則的取值范圍是_____________.【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角即可.【詳解】由正弦定理得：，即，，若有兩解，則，且，即，所以，故16.已知平面向量，，均為非零向量，，且，，則的最小值為_(kāi)___________.【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，均為非零向量，，且，所以，即，所以的最小值?故四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若是關(guān)于的方程一個(gè)根，求p，q的值.（1）（2），【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解；（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的條件求解.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】，即，，解得，.18.已知，是非零向量，①；②；③.（1）從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；（注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.）（2）在①②的條件下，，求實(shí)數(shù).（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）選擇①②，選擇①③，選擇②③，利用平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律推理作答.（2）利用垂直關(guān)系的向量表示，平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律求解作答.【小問(wèn)1詳解】選①②：若，，則，所以③成立.選①③：由，得，而，則，即，又，所以，②成立.選②③：由，得，而，則，整理得，而，所以，①成立.小問(wèn)2詳解】由，得，，而，，因此，又，所以.19.如圖，在直三棱柱中，，，黨為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐體積的最大值.（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意利用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)法，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)E，連接黨E，因?yàn)辄h，E分別是AC，的中點(diǎn)，則，且平面，平面.所以平面.【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)黨作黨F垂直BC交于點(diǎn)F，因?yàn)?，則黨F//AB，所以F為BC的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，平面，則平面，設(shè)，則..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以三棱錐的體積的最大值是.20.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，某學(xué)校對(duì)全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)分成5組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)；（2）用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求3名學(xué)生中至少有2人成績(jī)不低于80分的概率.（1），74分（2）【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求的值，再根據(jù)平均數(shù)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得每組的頻率依次為，則，解得，設(shè)平均成績(jī)的估計(jì)值為，則（分），所以這100名學(xué)生的平均成績(jī)估計(jì)值為74分.【小問(wèn)2詳解】每個(gè)學(xué)生成績(jī)不低于80分的概率為0.4.3名學(xué)生中恰有2人成績(jī)不低于80分的概率；3名學(xué)生中恰有3人成績(jī)不低于80分的概率；3名學(xué)生中至少有2人成績(jī)不低于80分的概率.21.在銳角中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，.（1）求證：；（2）求的取值范圍.（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)題意利用余弦定理進(jìn)行角化邊，運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)銳角三角形結(jié)合對(duì)勾函數(shù)可得，再利用余弦定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼?，整理得，?所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，由余弦定理可得，設(shè)，則，因?yàn)?，且，不妨設(shè)，即，可知，且是銳角三角形，則，得，即，則，解得，所以，由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，且，則，所以，且，則，所以的取值范圍為.22.如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，，，.（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；（2）記直線與平面所成角為，平面與平面的夾角為，是否存在點(diǎn)使得?若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由.（1）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）（2）存在，【分析】（1）（i）利用面面垂直的性質(zhì)可推導(dǎo)出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（ii）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、、，計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離以及線段的長(zhǎng)，即可得出直線與平面所成角的正弦值；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，根據(jù)已知條件得出是直線與平面所成的角，是二面角的平面角，計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)，利用勾股定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】（i）由題意，四邊形為直角梯形，且，，所以，所以，取的中點(diǎn)，連接，則且，且，故四邊形為矩形，則，且，所以，又由，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因，，則，所以，又，、平面，所以平面.（ii）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、、，過(guò)在平面內(nèi)作垂直于，垂足為，又平面平面，平面平面，，所以平面，為的中點(diǎn)，所以，