第第頁廣東省廣州市荔灣聚賢中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．（3分）若為二次根式，則m的取值范圍為（）

A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4

2．（3分）化簡的結(jié)果是（）

A．B．C．D．

3．（3分）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A．1，2，3B．1，

C．1.5，1.5，2.5D．9，12，15

4．（3分）若+（y+2）2＝0，則（x+y）2023＝（）

A．﹣1B．1C．32023D．﹣32023

5．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為4．對角線AC，BD交于點O，E是AC延長線上一點，且CE＝CO．則BE的長度為（）

A．4B．6C．2D．4

6．（3分）已知，O是矩形ABCD對角線的交點，作DE∥AC，AE∥BD，AE，DE相交于點E，連結(jié)BE．下列說法正確的是（）

①四邊形DEAO為菱形；②AE＝AB；③∠BAE＝120°；④若∠BED＝90°，則AD＝BE．

A．①③B．①②④C．①④D．③④

7．（3分）已知ABCD的周長是64，AB＝8，則BC的長為（）

A．8B．24C．48D．56

8．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（）

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點D在AB的垂直平分線上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．

A．1B．2C．3D．4

9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，EF、BG分別是△ABC的中位線和中線，則下列說法不正確的是（）

A．AG＝EFB．BG＝EFC．CG＝BGD．AE＝CF

10．（3分）如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G．連接EF，若∠BAC＝30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．則正確結(jié)論的序號是（）

A．①③B．②④C．①③④D．②③④

二．填空題（共7小題，滿分24分）

11．（4分）如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若△AOB的周長為15，AB＝6，那么對角線AC+BD＝．

12．（4分）已知：；則＝．

13．已知線段AB平行于x軸，AB長為5，若點A的坐標(biāo)為（4，5），則點B的坐標(biāo)為．

14．（4分）下列各數(shù)中：，4，，﹣3，最小的數(shù)是．

15．（4分）如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊長作一個正方形、以表示數(shù)2的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A和點B，則點A表示的數(shù)是．

16．（4分）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點C（﹣2，0），∠BCO＝60°，點P是對角線AC上的一個動點，，則DP+OP的最小值為．

17．（4分）如圖，已知點P是正方形ABCD對角線BD上一點，且AP＝3，PF⊥CD于點F，PE⊥BC于點E，連結(jié)EF，則EF的長為．

三．解答題（共8小題，滿分62分）

18．（6分）計算．

19．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣．

20．（6分）在△ABC中，AD是中線，AB＝13，BC＝10，AD＝12，求證：AD平分∠BAC．

21．（8分）如圖，已知△ABC中，D為AB的中點．

（1）請用尺規(guī)作邊AC的中點E，并連接DE（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

（2）在（1）的條件下，若△ADE的周長為2，求△ABC的周長．

22．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC交AB于點E，且BE2﹣EA2＝AC2．

（1）求證：∠A＝90°；

（2）若AC＝12，BD＝10，求△AEC的周長．

23．（8分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，OC∥BE，OB∥CE．

（1）求證：四邊形OBEC是矩形；

（2）若OB＝3，AB＝6，求矩形OBEC的面積．

24．（10分）如圖一，在射線DE的一側(cè)以AD為一條邊作矩形ABCD，AD＝10，CD＝10，點M是線段AC上一動點（不與點A重合），連接BM，過點M作BM的垂線交射線DE于點N，連接BN．

（1）求∠CAD的大小；

（2）問題探究：

動點M在運動的過程中，是否能使△AMN為等腰三角形，如果能，求出線段MC的長度；如果不能，請說明理由．

（3）問題解決：

如圖二，當(dāng)動點M運動到AC的中點時，AM與BN的交點為F，MN的中點為H，求線段FH的長度．

25．（10分）如圖1，在菱形ABCD中，∠A為銳角，點P，H分別在邊AD，CB上，且AP＝CH．在CD邊上取點M，N（點N在CM之間），使DM＝4CN．當(dāng)P從點A勻速運動到點D時，點Q恰好從點M勻速運動到點N．連接PQ，PH分別交對角線BD于點E，F(xiàn)，記QN＝x，AP＝y(tǒng)，已知y＝﹣2x+10．

（1）①請判斷FP與FH的大小關(guān)系，并說明理由．

②求AD，CN的長．

（2）如圖2，連接QH，QF．當(dāng)四邊形BFQH中有兩邊平行時，求DE：EF的值．

（3）若tanA＝，則△PFQ面積的最小值為．（直接寫出答案）

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．解：∵為二次根式，

∴m的取值范圍為：4﹣m≥0，

解得：m≤4．

故選：A．

2．解：＝＝，

故選：D．

3．解：12+22≠32，故選項A不符合題意；

12+（）2≠22，故選項B不符合題意；

1.52+1.52≠2.52，故選項C不符合題意；

92+122＝152，故選項D符合題意；

故選：D．

4．解：∵+（y+2）2＝0，

∴x+1＝0，y+2＝0，

∴x＝﹣1，y＝﹣2，

∴（x+y）2023＝（﹣1﹣2）2023＝（﹣3）2023＝32023．

故選：C．

5．解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，

∵正方形ABCD的邊長為4，

∴BC＝4，

在Rt△BOC中，

BO2+CO2＝BC2，

即2BO2＝42，

解得BO＝2，

∵CE＝CO，

∴OE＝4，

在Rt△BOE中，

BE＝＝＝2．

故選：C．

6．解：①∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四邊形DEAO是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OD，

∴四邊形DEAO為菱形；故①正確；

②當(dāng)△AOB是等邊三角形時，AE＝AB才能成立，故②錯誤；

③當(dāng)△AOB是等邊三角形時，∠BAE＝120°才能成立，故③錯誤；

④如圖，設(shè)AC與BE交于點F，

∵∠BED＝90°，

∴DE⊥BE，

∵DE∥AC，

∴AC⊥BE，

∵O是矩形ABCD對角線BD的中點，

∴F是BE的中點，

∴AF是BE的垂直平分線，

∴AB＝AE，

∵四邊形DEAO為菱形，

∴DE＝AE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠BCD＝90°，AD＝BC，

∴DE＝DC，

在Rt△BDE和Rt△BDC中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），

∴BE＝BC，

∴AD＝BE．

∴說法正確的是①④．

故選：C．

7．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝BC，

∵ABCD的周長為64，

∴AB+BC＝32，

∵AB＝8，

∴BC＝24，

故選：B．

8．解：由作法得AD平分∠BAC，所以①正確；

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∵∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正確；

∵∠BAD＝∠B，

∴DA＝DB，

∴點D在AB的垂直平分線上，所以③正確；

∵AD＝2CD，

∴BD＝2CD，

∴BC＝3CD，

∴S△DAC：S△ABC＝1：3，所以④正確．

故選：D．

9．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，EF、BG分別是△ABC的中位線和中線，

∴BG＝AC，EF＝AC，AG＝GC＝AC，

∴AG＝EF，BG＝EF，CG＝BG，

∴選項A、B、C說法正確，不符合題意；

∵BA和BC不一定相等，

∴AE和CF不一定相等，

∴選項D說法錯誤，符合題意；

故選：D．

10．解：連接FC，如圖所示：

∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB的中點，

∴FA＝FB＝FC，

∵△ACE是等邊三角形，

∴EA＝EC，

∵FA＝FC，EA＝EC，

∴點F、點E都在線段AC的垂直平分線上，

∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點，

∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．

∵∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠EAF＝90°，

∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，

∴DF∥AE，DA∥EF，

∴四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；

∵四邊形ADFE為平行四邊形，

∴DA＝EF，AF＝2AG，

∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；

在△DBF和△EFA中，，

∴△DBF≌△EFA（SAS）；

綜上所述：①③④正確，

故選：C．

二．填空題（共7小題，滿分24分）

11．解：因為△AOB的周長為15，AB＝6，所以O(shè)A+OB＝9；

又因為平行四邊形的對角線互相平分，所以AC+BD＝18．

故答案為18．

12．解：∵0.5×100＝50，

∴＝100＝7.071，

故答案為7.071．

13．解：∵AB∥x軸，

∴A、B兩點縱坐標(biāo)相等，都是5，

又∵A的坐標(biāo)是（4，5），線段AB的長為5，

∴當(dāng)B點在A點左邊時，B的坐標(biāo)為（﹣1，5），

當(dāng)B點在A點右邊時，B的坐標(biāo)為（9，5）．

故答案為：（﹣1，5）或（9，5）．

14．解：∵﹣3＜﹣＜＜4，

∴最小的數(shù)是﹣3．

故答案為：﹣3．

15．解：由題意可得數(shù)軸上表示2的點與點A之間的距離為＝，

則點A表示的數(shù)為2﹣，

故答案為：2﹣．

16．解：連接BD，交AC于點P，再得出BD即為PD+BP最短，如圖，

∵點B的對稱點是點D，

∴DP＝BP，

∴BD即為DP+OP最短，

∵四邊形ABCD是菱形，頂點C（﹣2，0），∠BCO＝60°，

∴點B的坐標(biāo)為（﹣1，），

∵點D的坐標(biāo)為（0，﹣），

∴BD＝，

故答案為：．

17．解：連接PC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，

在△ABP與△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA＝PC，

∵PE⊥CD，PF⊥BC，

∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．

又∵∠BCD＝90°，

∴四邊形PFCE是矩形，

∴EF＝PC，

∴PA＝EF＝3，

故答案為：3．

三．解答題（共8小題，滿分62分）

18．解：×﹣|﹣3|+（）0

＝﹣（3﹣）+1

＝6﹣3++1

＝4+．

19．解：

＝

＝

＝

＝，

當(dāng)x＝﹣時，原式＝＝．

20．證明：∵AD是中線，

∴BD＝5，

∴AD2+BD2＝122+52＝132＝AB2，

∴∠ADC＝90°，

即AD⊥BC．

所以AD既是中線又是高線，

∴AD平分∠BAC．

21．解：（1）如圖所示：

作邊AC的中點E，連接DE即為所求作的圖形；

（2）∵△ABC中，D為AB的中點，E為AC的中點，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∴C△ADE＝C△ABC，

∵C△ADE＝2，

∴C△ABC＝4，

答：△ABC的周長為4．

22．（1）證明：∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴DE是線段BC的垂直平分線，

∴CE＝BE，

∵BE2﹣EA2＝AC2，

∴CE2﹣EA2＝AC2即CE2＝AC2+EA2，

∴△ACE是直角三角形，

∴∠A＝90°；

（2）解：由題意知，BC＝2BD＝20，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

∴BE+AE＝16，

∵CE+AE+AC＝BE+AE+AC＝16+12＝28，

∴△AEC的周長為28．

23．（1）證明：∵OC∥BE，OB∥CE，

∴四邊形OBEC是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴平行四邊形OBEC是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝AB＝6，AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴OC＝＝＝3，

∴S矩形OBEC＝OBOC＝3×3＝9．

24．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴AC＝＝＝20，

∴CD＝AC，

∴∠CAD＝30°；

（2）能使△AMN為等腰三角形，理由如下：

分兩種情況：

①當(dāng)AN＝NM時，如圖一（1）所示：

∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM，

∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），

∴BA＝BM，

在Rt△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝10，

∴AC＝2AB＝20，

∵∠BAM＝60°，BA＝BM，

∴△ABM是等邊三角形，

∴AM＝AB＝10，

∴CM＝AC﹣AM＝20﹣10＝10；

②當(dāng)AN＝AM時，如圖一（2）所示：

則∠AMN＝∠ANM＝∠CAD＝15°，

∵∠BMN＝90°，

∴∠CMB＝75°，

∵∠MCB＝30°，

∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，

∴∠CMB＝∠CBM，

∴CM＝CB＝10；

綜上所述，能使△AMN為等腰三角形，滿足條件的MC的長度為10或10；

（3）如圖二所示：

∵AM＝MC，

∴BM＝AM＝CM，

∴AC＝2AB，

∴AB＝BM＝AM，

∴△ABM是等邊三角形，

∴∠BAM＝∠BMA＝60°，

∵∠BAN＝∠BMN＝90°，

∴∠NAM＝∠NMA＝30°，

∴NA＝NM，

∵BA＝BM，

∴BN垂直平分線段AM，

∴FM＝5，

∴FN＝FM＝，NM＝2FN＝，

∵∠NFM＝90°，NH＝HM，

∴FH＝MN＝．

25．解：（1）①FP＝FH，理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，AD＝DC，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵AP＝CH，

∴∠PDF＝∠HBF，∠DPF＝∠BHF，PD＝BH，

在△PDF和△HBF中，

，

∴△PDF≌△HBF（ASA），

∴FP＝FH；

②當(dāng)x＝0時，y＝10，則AD＝10，即CD＝10，

當(dāng)y＝0時，0＝﹣2x+10，得x＝5，則QN＝5，

∴DM+CN＝DC﹣