景勝中學(xué)2024屆高二月考試題（11月）數(shù)學(xué)（A）試題一、單選題（每題5分，共計(jì)40分）1．雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2．已知直線l：是圓C：的對(duì)稱軸，則k的值為（）A． B． C． D．13．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C相交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限）.若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．4．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)k，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．5．如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC、BD的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，直線l：與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且，則橢圓C的離心率為（）A． B． C．或 D．或7．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P到AD的距離為（）A． B． C． D．8．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作圓O：的一條切線，切點(diǎn)為T(mén)．線段交C于點(diǎn)P，若△OPT的面積為，且，則C的方程為（）A． B． C． D．二、多選題（每題5分，共計(jì)20分）9．點(diǎn)P在圓：上，點(diǎn)Q在圓：上，則（）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為10．已知方程，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．方程可表示圓B．當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C．當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D．當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時(shí)，焦距均為1011．已知P為雙曲線右支上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I是的內(nèi)心，雙曲線的離心率為e，，，的面積分別為，，，且，下列結(jié)論正確的為（）A． B．C．I在定直線上 D．若，則或12．如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐P-ABC的表面積為B．若M為棱BC的中點(diǎn)，則異面直線PM與AB所成角的余弦值為C．若PC與平面PAM所成角的正弦值為，則二面角M-PA-C的正弦值為D．的取值范圍為三、填空題（每題5分，共計(jì)20分）13．經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在x軸上的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.14．已知雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，且軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M（異于P，F(xiàn)），與y軸交于點(diǎn)N，直線MB與y軸交于點(diǎn)H，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為．15．設(shè)雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C的一條漸近線為l，以F為圓心的圓與l交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是．16．已知點(diǎn)D在線段AB上，CD是△ABC的角平分線，E為CD上一點(diǎn)，且滿足（），，，設(shè)，則在上的投影向量為．（結(jié)果用表示）．四、解答題（共計(jì)70分）17．（10分）如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，．（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．18．（12分）已知圓：和圓：.（1）證明：圓和相交；（2）求圓和公共弦所在的直線方程.19.（12分）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為等腰梯形，，二面角S-BD-A為直二面角．（1）求證：；（2）若△SBC為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)M在棱BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記直線SM與平面SAD所成角為，當(dāng)最小時(shí)，求的值．20．（12分）設(shè)橢圓C：長(zhǎng)軸的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．（1）若P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為，，求的最小值；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AM，AN分別交y軸于點(diǎn)S、T，記，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線1的傾斜角為銳角時(shí)，求的取值范圍．21．（12分）如圖，在斜三棱柱中，，，，，底面ABC.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：的焦點(diǎn)為F，E的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K，過(guò)K的直線l與拋物線E相切于點(diǎn)A，且交y軸正半軸于點(diǎn)P．已知△AKF的面積為2．（1）求拋物線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于y軸的直線與線段OA交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．高二數(shù)學(xué)（A）答案1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A9．ABC 10．BCD 11．BC 12．ABD13． 14．2 15． 16．/17．（1）見(jiàn)解析（2）18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）19．（1）證明見(jiàn)解析；（2），【分析】（1）證明CD⊥SB，即證CD⊥平面SBD，即證CD⊥BD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量以及平面的法向量求線面角，進(jìn)而得到的值.【詳解】（1）證明：設(shè)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，，故，△ABD為等腰三角形，則，而，，所以，CD⊥BD．又二面角S-BD-A為直二面角，故平面SBD⊥平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以CD⊥平面SBD，又平面SBD，所以CD⊥SB．（2）以D為原點(diǎn)，分別以DB，DC所在的直線為x軸，y軸，以過(guò)點(diǎn)D垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖．設(shè)，則，，，．過(guò)點(diǎn)S作直線，交BD于點(diǎn)．因?yàn)槠矫鍿BD⊥平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD．又由，得，所以點(diǎn)在棱BC的垂直平分線上．由對(duì)稱性可知，A，，C三點(diǎn)共線．由，得，即，則．又由，得．所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為，，且．設(shè)平面SAD的法向量，則即，取，則．設(shè)，，則，由題知，直線SM與平面SAD所成角為，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大，最小，故．20．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，則可表示出，然后結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求出最小值；（2）由題意可設(shè)直線l：，（），與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)、，則利用韋達(dá)定理可得兩根和、兩根積，及斜率的取值范圍，然后結(jié)合條件可以用斜率表示出，即可求出其取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性知，不妨令，由已知，，則，，顯然有，則，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為．（2）當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時(shí)，設(shè)，，設(shè)直線l：，（），由得，從而，又，得，所以，，又直線AM的方程是：，令，解得，所以點(diǎn)S為；直線AN的方程是：，同理點(diǎn)T為.所以，，，因?yàn)?，，所以，，所以∵，∴，綜上，所以的范圍是．21．（1）.（2）【分析】（1）以A為原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求得向量的坐標(biāo)，再根據(jù)底面ABC，得到，又AB⊥AC，由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面，從而是平面的一個(gè)法向量，然后由求解.（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量，再求得平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，，，，，則，∵底面ABC，底面ABC，∴，又∵AB⊥AC，，平面，平面，∴AB⊥平面，∴是平面的一個(gè)法向量，∴，故所求直線與平面所成角的正弦值為（2），，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，得平面的一個(gè)法向量為，又由（1）得是平面的一個(gè)法向量，∴，故所求面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角和二面角的向量求法，還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22．（1） （2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意假設(shè)得直線l：，聯(lián)立拋物線方程求得，，再利用三角形面積即可求得，由此得解；（2）根據(jù)題意設(shè)得MN：，聯(lián)立拋物線方程求得，再依次求得T，H的坐標(biāo)，從而求得直線NH的方程，化簡(jiǎn)可得NH為，由此得證.【詳解】（1）由題可知，，準(zhǔn)線，，因?yàn)橹本€l的斜率存在且不為0，所以設(shè)l：，聯(lián)立，消去x，得，因?yàn)閘與E相切，所以，所以（舍去）．因此，解得，所以，故AF⊥KF，所以，所以（負(fù)值舍去），所以拋物線E的方程為．（2）由（1）知，又l：，所以．因?yàn)镸N斜率存在且不為零，所以設(shè)MN：，，，聯(lián)立，消去x，得，則，所以且，．又直線OA：，令，得，所以