函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)高二數(shù)學(xué)選修2-2

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.問題1．導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義是什么.幾何意義：函數(shù)y=f(x)

在點x0

處的導(dǎo)數(shù)f

(x0),

就是曲線y=f(x)

在點P(x0,f(x0))

處的切線的斜率.2.問題2．函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？一般地，對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，假設(shè)對于屬于區(qū)間D的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，有(1)假設(shè)f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).(2)假設(shè)f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).3.(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：(1)任取x1、x2∈D，且x1<x2.(4)定號(判斷差f(x1)－f(x2)的正負)(與０比較)(3)變形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)結(jié)論〔1〕觀察法:觀察圖象的變化趨勢;〔2〕定義法:問題3．判定函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些？4.4.討論函數(shù)y=x2－4x＋3的單調(diào)性.定義法單增區(qū)間：(２，+∞).單減區(qū)間：(－∞，２).圖象法5.5.確定函數(shù)f(x)=xlnx在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)?哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)?提出問題:(1)你能畫出函數(shù)的圖象嗎?(2)能用單調(diào)性的定義嗎?發(fā)現(xiàn)問題:定義是解決單調(diào)性最根本的工具,但有時很麻煩,甚至解決不了.尤其是在不知道函數(shù)的圖象的時候,如該例,這就需要我們尋求一個新的方法來解決．6.函數(shù)的單調(diào)性可簡單的認為是：說明函數(shù)的變化率可以反映函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有著密切的聯(lián)系.7.1.函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系：，函數(shù)為常函數(shù).如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則是什么函數(shù)？8.例1判斷以下函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(1)函數(shù)定義域為R因此,函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)函數(shù)定義域為R,當(dāng),即時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時,函數(shù)單調(diào)遞減.即單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞).因此單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)；減區(qū)間為(-∞,1).9.例2判斷以下函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:解:(3)函數(shù)定義域為因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減.即單調(diào)增區(qū)間為10.練習(xí)：求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.11.變式2：求的單調(diào)減區(qū)間12.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般過程：先求函數(shù)f(x)的定義域求出導(dǎo)數(shù)f'(x)解不等式f'(x)>0得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間解不等式f'(x)<0得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間規(guī)范寫出單調(diào)區(qū)間判斷f'(x)的正負13.證明：f(x)=2x-sinx在R上為單調(diào)增函數(shù)練習(xí)：求證：內(nèi)是減函數(shù)14.方程根的問題求證：方程只有一個根。15.：x＞0，求證：x＞sinx.[解析]設(shè)f(x)＝x－sinx(x＞0)f′(x)＝1－cosx≥0對x∈(0，＋∞)恒成立∴函數(shù)f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)又f(0)＝0∴f(x)＞0對x∈(0，＋∞)恒成立即：x＞sinx(x＞0)．不等式證明問題16.函數(shù)單調(diào)性決定了函數(shù)圖像的大致形狀，如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)信息來畫函數(shù)的簡圖呢？17.例1導(dǎo)函數(shù)的以下信息:當(dāng)1<x<4時,當(dāng)x>4,或x<1時,當(dāng)x=4,或x=1時,試畫出函數(shù)的圖象的大致形狀.解:

當(dāng)x=4,或x=1時,

綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14

當(dāng)1<x<4時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>4,或x<1時,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;18.A變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖像最有可能的是

()19.xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考試嘗設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示,那么的圖象最有可能的是()20.A21.例3

如圖,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔1〕→〔B〕，〔2〕→〔A〕，〔3〕→〔D〕，〔4〕→〔C〕22.求參數(shù)取值范圍問題23.

24.在某個區(qū)間上，，f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)25.26.解：因為函數(shù)在〔0，1]上單調(diào)遞增27.28.29.

30.[解析]

解法一：(區(qū)間法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.當(dāng)a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意．當(dāng)a－1>1，即a>2時，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.31.解法二：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為2<x＋1<5，所以當(dāng)a≥5時，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因為f(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞