基于變結(jié)構(gòu)與最優(yōu)控制的導(dǎo)彈最優(yōu)全彈道設(shè)計(jì)

20世紀(jì)90年代以來發(fā)生的幾次重大局部戰(zhàn)爭(zhēng)表明，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)環(huán)境下，對(duì)原油的精確打擊日益突出，尤其是在協(xié)同作戰(zhàn)條件下，對(duì)原油的限制越來越大。因此，在時(shí)間和角度的限制下研究最佳完整的軌跡具有十分重要的意義。目前已經(jīng)有文獻(xiàn)研究了具有終端角度或時(shí)間約束的末制導(dǎo)問題,合適的終端入射角度可以有效增加導(dǎo)彈的攻擊效果。文獻(xiàn)針對(duì)無人機(jī)的編隊(duì)控制問題提出了能夠控制飛行時(shí)間的制導(dǎo)律,從而可以保證多架飛機(jī)在指定時(shí)間同時(shí)進(jìn)入編隊(duì)。在有些情況下終端時(shí)間和終端角度要求同時(shí)被滿足,文獻(xiàn)通過利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論推導(dǎo)了具有時(shí)間和角度約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)通過將非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)制導(dǎo)模型中的自變量由導(dǎo)引時(shí)間變換為速度方向角推導(dǎo)出具有終端角度和終端時(shí)間約束的制導(dǎo)律并給出判斷條件。本文引入變結(jié)構(gòu)控制和最優(yōu)控制理論,設(shè)計(jì)了具有角度和時(shí)間約束的導(dǎo)彈最優(yōu)全彈道。初制導(dǎo)階段利用變結(jié)構(gòu)控制原理設(shè)計(jì)了縱向和側(cè)向通道的控制;中制導(dǎo)階段對(duì)導(dǎo)彈非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行了變換,無需線性化處理,運(yùn)用極小值原理解算出制導(dǎo)律,對(duì)于實(shí)現(xiàn)多約束條件下的精確打擊和提高協(xié)同作戰(zhàn)下的殺傷率具有重要意義;末制導(dǎo)采用改進(jìn)三維比例導(dǎo)引,使得命中點(diǎn)處的法向過載不僅與導(dǎo)彈速度無關(guān),而且與導(dǎo)彈攻擊方向也無關(guān),利于實(shí)現(xiàn)全向攻擊,同時(shí)對(duì)彈目視線轉(zhuǎn)動(dòng)引起的因素進(jìn)行了補(bǔ)償,使得由它們產(chǎn)生的彈道需用法線過載在命中點(diǎn)附近盡量小,最終精確擊中地面或空中目標(biāo)。1縱向通道控制數(shù)學(xué)模型初制導(dǎo)階段采用縱向和側(cè)向通道控制相結(jié)合的方式,使導(dǎo)彈爬升至預(yù)定高度及預(yù)定的方向。為了保證導(dǎo)彈在大空域飛行控制回路的穩(wěn)定性,初始階段采用變結(jié)構(gòu)控制方法來設(shè)計(jì)縱向和側(cè)向回路的控制器。包含高度方程的縱向通道簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)模型為以導(dǎo)彈的高度和高度的微分作為狀態(tài)變量,輸入為導(dǎo)彈的過載,即x=[HH˙]T,u=nyx=[ΗΗ˙]Τ,u=ny,考慮外界擾動(dòng)f,則高度外環(huán)控制的數(shù)學(xué)模型為式中且滿足|f|≤F。設(shè)指令信號(hào)為Hc,則誤差信號(hào)為e=Hc-x1。設(shè)c=[c11]Tc=[c11]Τ,誤差向量為E=[ee˙]TE=[ee˙]Τ則切換函數(shù)選擇指數(shù)趨近律s﹒=-εsgn(s)-ks(k>0,ε>0)(5)s˙=?εsgn(s)?ks(k>0,ε>0)(5)s˙=-εsgn(s)-ks(k>0,ε>0)(5)由(2)式、(4)式、(5)式可得式中側(cè)向通道控制與縱向通道控制設(shè)計(jì)方法一樣,實(shí)現(xiàn)對(duì)ψ*v0的跟蹤,從而保證導(dǎo)彈不偏離目標(biāo)方向,建立模型為設(shè)指令信號(hào)為ψ*v0,則誤差信號(hào)為e=ψ*v0-ψv。選擇指數(shù)趨近律和切換函數(shù),代入(7)式,可得注:ψ*v0為中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)提供初始條件。2動(dòng)力系統(tǒng)的解析法中制導(dǎo)的目的是把導(dǎo)彈制導(dǎo)到末制導(dǎo)導(dǎo)引頭能截獲目標(biāo)的距離內(nèi),并且使導(dǎo)引頭完成角度、距離的截獲。在此基礎(chǔ)上,本文提出以時(shí)間為性能指標(biāo),結(jié)合角度捕獲的要求,應(yīng)用極小值原理設(shè)計(jì)中制導(dǎo)階段的制導(dǎo)律。建立中制導(dǎo)階段導(dǎo)彈飛行幾何關(guān)系圖1,其中(X,Y,Z)和ψv分別表示導(dǎo)彈的三維坐標(biāo)和彈道偏角。下標(biāo)A,B分別表示初始和終端點(diǎn)?？刂屏繛榇怪庇趯?dǎo)彈速度方向的法向加速度a,速度為V。下面主要考慮XOZ平面偏航通道的運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和邊界條件為式中tf=tB-tA,Xf=XB-XA,Zf=ZB-ZA,ω=a/V,設(shè)x=X/V,z=Z/V,對(duì)方程(9)進(jìn)行自變量變換,并同時(shí)對(duì)初始值進(jìn)行變換,可得到一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型(10)和邊界條件:式中u(ψv)=1/ω值得注意的是,該非線性模型(10)中的自變量為ψv,因此可得到解析解。下面利用極小值原理來求解非線性模型(10),針對(duì)該模型及其邊界約束條件,設(shè)計(jì)控制量u(ψv),使得性能指標(biāo)J達(dá)到極小值式中:λ是協(xié)變量,且有根據(jù)最優(yōu)條件:?H?u?Η?u=0,可得到將(14)式代入到(10)式中得對(duì)(15)式積分得從而可得到λ1,λ2,λ3的表達(dá)式方程有惟一解當(dāng)且僅當(dāng)detA≠0。即ψvB≠ψvA從而可以解出λ1、λ2、λ3,將解得的λ1、λ2、λ3代入(14)式,可以得出具有終端時(shí)間和終端角度約束的制導(dǎo)問題的解析解從而可以得到偏航通道過載。注:(1)在某一指定角度和時(shí)間約束條件下,所提出的制導(dǎo)律可能有解,但該解不一定同時(shí)滿足角度和時(shí)間約束,比如僅滿足時(shí)間約束或僅滿足初始角度約束;(2)在指定條件xA,xB,ψvA,ψvB和tf下,所提出的制導(dǎo)律在同時(shí)滿足所有約束條件下具有解的充分必要條件是:λ1cosψv-λ2sinψv+λ3≠0,?ψv∈[ψv1,ψv2]或[ψv2,ψv1];(3)在指定條件xA,xB,ψvA,ψvB和tf下,所提出的制導(dǎo)律在同時(shí)滿足所有約束條件下具有解的充分條件是:λ2332-λ2112-λ2222>0。3維比例導(dǎo)引末制導(dǎo)階段建立彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖2,其中OXYZ-地面坐標(biāo)系,OXLYLZL-視線坐標(biāo)系,θm,ψm分別為導(dǎo)彈的彈道傾角和彈道偏角,ψt為目標(biāo)的彈道偏角,θl,ψl為目標(biāo)視線的傾角和偏角。傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法命中目標(biāo)時(shí)的需用法向過載與命中點(diǎn)的導(dǎo)彈速度和導(dǎo)彈的攻擊方向有直接的關(guān)系,而且末端接近目標(biāo)時(shí)的需用法向過載有較大跳動(dòng)。根據(jù)文獻(xiàn)提出的二維改進(jìn)比例導(dǎo)引方法,可推出式中:ny,nz分別為彈道坐標(biāo)系內(nèi)的俯仰通道過載和偏航通道過載。K1、K2為比例系數(shù),ω1、ω2為附加增量,它們的選擇具有重要戰(zhàn)術(shù)意義。注:(1)引入|R˙||R˙|,使得命中點(diǎn)處的法向過載與速度和攻擊方向都無關(guān),利于實(shí)現(xiàn)全向攻擊;(2)引入附加增量ω,合理的取值會(huì)對(duì)引起目標(biāo)線轉(zhuǎn)動(dòng)的幾個(gè)因素進(jìn)行補(bǔ)償,減小需用法向過載的跳動(dòng)。(3)建立彈道需用過載與目標(biāo)線的旋轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系式即改進(jìn)三維比例導(dǎo)引關(guān)系式,并對(duì)其值進(jìn)行討論。建立彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為又有由(18)式、(20)式可得將式(19)中的第2式求導(dǎo),并將第1式代入,經(jīng)整理得到命中點(diǎn)處令使導(dǎo)彈切向加速度和重力引起的彈道需要過載在命中點(diǎn)處的影響為零來設(shè)計(jì),即通過(21)式～(24)式可以解算出ω1、ω2。4彈體非線性模型控制方案設(shè)計(jì)下面通過數(shù)字仿真對(duì)本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證分析。采用2組數(shù)據(jù),針對(duì)彈體非線性模型,同時(shí)考慮到具有角度和時(shí)間約束條件,按照設(shè)計(jì)的控制方案進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖3～圖7所示。(1)階段約束條件初制導(dǎo)階段發(fā)射初始及約束條件:導(dǎo)彈的飛行速度V=260m/s,初制導(dǎo)時(shí)間t1=14.2s,初始發(fā)射彈道傾角θ0=45°,偏角ψv0=-45°,飛行高度H=1000m;中制導(dǎo)階段的終端角度和時(shí)間約束條件:偏航通道初始角ψvA=-45°,末端角ψvB=120°,飛行的水平距離xf=18000m,飛行時(shí)間tf=85s;末制導(dǎo)階段彈目直線距離Rm-t=3000m,目標(biāo)的偏角ψl-m=1200。圖3給出了整個(gè)制導(dǎo)過程中偏航角度隨時(shí)間的變化規(guī)律,圖4給出了具有時(shí)間和角度約束條件下的三維最優(yōu)全彈道仿真圖形,圖6給出了中制導(dǎo)階段偏航通道的過載隨時(shí)間的變化規(guī)律,圖7給出了末制導(dǎo)階段采用改進(jìn)三維比例導(dǎo)引律下的需用法向過載隨時(shí)間的變化規(guī)律。(2)中質(zhì)構(gòu)的約束條件V=260m/s,θ0=45°,ψv0=0°,H=1000m,ψvA=-60°,ψvB=90°,t1=14.2s,tf=100s,xf=25000m,Rm-t=3000m,ψl-m=120°。從圖3可以看出整個(gè)制導(dǎo)階段偏航角度在滿足約束條件下的變化情況。從圖4和圖7可以看出,改變飛行高度及中制導(dǎo)初始角、末端角和飛行時(shí)間,設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律也同樣能滿足任務(wù)要求。例如將中制導(dǎo)階段約束條件中的tf從85s變?yōu)?00s,終端角度變化區(qū)間從[-45°,120°]變?yōu)閇-60°,90°],彈道仍然能滿足要求并精確擊中目標(biāo)。從圖6可以看出末制導(dǎo)階段提出的改進(jìn)三維比例導(dǎo)引律能有效的減小接近目標(biāo)時(shí)需用法向過載的跳動(dòng),從而達(dá)到設(shè)計(jì)目的。5仿真結(jié)果分析本文針對(duì)遠(yuǎn)程導(dǎo)彈初中末制導(dǎo)階段,運(yùn)用變結(jié)構(gòu)和最優(yōu)控制原理,設(shè)