專題8三角恒等變換三角恒等變換的求值、化簡是高考命題的熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)的圖象三角恒等變換的求值、化簡是高考命題的熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)結(jié)合在一起綜合考查，如果單獨(dú)命題，多用選擇、填空題中呈現(xiàn)，難度較低；如果三角恒等變換作為工具，將其與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合求解最值、范圍問題，多以解答題為主，中等難度．通過本專題的復(fù)習(xí)要注意熟悉運(yùn)用各類公式進(jìn)行恒等變換，分析題設(shè)中“角”“名”“形”的特點(diǎn)與關(guān)系進(jìn)行合理變換，注意體會整體思想和齊次式思想在恒等變形中的作用，注意強(qiáng)加運(yùn)算能力的訓(xùn)練。專題中三個探究（求值、化簡、綜合應(yīng)用）從例題到變式，從分析到歸納全面的將三角恒等變換在高考中的地位與考查方式進(jìn)行了呈現(xiàn)。——大冶一中高級教師陳俊杰探究1：三角函數(shù)式的求值【典例剖析】例1.(2022·浙江卷)若3sinα-sinβ=10，α+β=π2，則sinα=

，cos2β=選題意圖:選題意圖:高考真題，三角恒等變換問題高考中以公式的基本運(yùn)用、計算為主，本題主要考查三角函數(shù)值的求法，誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.思維引導(dǎo)：由誘導(dǎo)公式可得3sinα-cosα=10,然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出sinα，最后由二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解【解析】因為3sinα-sinβ=10，α+β=π2，

所以3sinα-cosα=10，即9sin2α-6sinαcosα+cos2α=10，

設(shè)3cos【變式訓(xùn)練】練11(2021·全國甲卷理科)若α∈(0,π2),tan2α=A.1515 B.55 C.5【解析】由tan因為α∈0,π2，所以cosα>0，則上式化簡可得sin?α=14,練12(2022·河北省名校聯(lián)考)已知π8<β<α<π2sin2βcosπ4+cos2βsinπ4A.539 B.69 C.【解析】由題設(shè)sin2αsinπ4-cos2αsin所以sin(2α+π4)=13,sin則cos(2α+π4)=-223練13(2022·吉林省長春市二模)若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈πA.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 【解析】∵α∈π4,π，β∈π,3π2，sin2α=55，∴2α∈π2,π，cos2α=-255，

又0<sin2α=55==-255×-31010-55×10【規(guī)律方法】1.給角求值:一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；2.給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，在進(jìn)行角的變換時常見的解題思路：（1）當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．3.給值求角:實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題,由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角.4.易錯提醒（1）公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況．（2）求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解．探究2：三角函數(shù)式的化簡【典例剖析】例2.(2022·新高考2卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22A.tan(α-β)=1 B.C.tan(α-β)=-1 D.選題意圖選題意圖：高考真題，三角恒等變換問題高考中以公式的基本運(yùn)用、計算為主，本題主要考查正余弦的和差角公式的靈活運(yùn)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：由兩角和差的正余弦公式化簡,結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.本題也可采用特值法求解.【解析】因為sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ，

所以2sin(α+β+π4)=22所以α-β=kπ-π4，所以tan(α-β)=-1．【變式訓(xùn)練】練21(2021·新高考1卷)若tanθ=-2，則sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosA.-65 B.-25【解析】由題意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin練22(2022·湖南省長沙市聯(lián)考)已知θ為三角形的內(nèi)角，且sin2θ=sin2θ，則sinθ(1-cos2θ)sin【解析】因為θ為三角形的內(nèi)角，且sin2θ=sin2θ，

所以2sinθcosθ=sin2θ，sinθ≠0，所以2cosθ=sinθ，可得tanθ=2，

則sinθ(1-cos2θ)sin練23(2022·遼寧省沈陽市模擬)若α,β∈(0,π2),且(1+cos2α)(1+A.α+β=π2 B.α+β2=π【解析】因為(1+cos2α)(1+sinβ)=sin2αcosβ，

所以2cos2α(1+sinβ)=cosβ·2sin即2α-β=π2，或β=-π2(舍)，故【規(guī)律方法】1.三角函數(shù)式化簡的方法（1）弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．（2）常值代換，三角公式的正用、逆用、變形用.（3）在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次．（4）三角函數(shù)式的化簡過程中通常會用到輔助角公式asinx+bcosx=a2.常見“1”的代換1=sin2α+cos2α;1=23.化簡要求使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；分式中的分母盡量不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).探究3：三角恒等變換的綜合應(yīng)用【典例剖析】例3.(2022·湖北省武漢市聯(lián)考·多選)函數(shù)fx=asinx+bcosxab≠0的圖象關(guān)于x=A.b=3a B.cosπ6選題意圖選題意圖：聯(lián)考題，題目巧妙之處在于先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，但f(x)中含有兩個參數(shù)，需對輔助角公式和正弦函數(shù)的對稱性理解非常透徹才能得出a,b思維引導(dǎo)：根據(jù)輔助角公式化簡f(x)，然后根據(jù)其圖象關(guān)于x=π6對稱，可得a,【解析】因為f(x)=asinx+bcosx=a2+其中sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2，

由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=π6對稱，所以|f(π6)|=故選ABD【變式訓(xùn)練】練31(2022·安徽省淮北市模擬)已知3tan?20°+λcos?70°=3，則λ的值為(

)A.3 B.23 C.33【解析】由已知，3sin?20°cos?20°+λsin?20°=3，則故選D．練32(2021·新高考1卷·多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P1(cosα,sinα)，P2sin(α+β))，A(1,0)，則(

)A.|OP1|=|OP【解析】∵P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，

∴OP1=(cosα,sinα)，OP2=(cosβ,-sinβ)，OP3=(cos(α+β),sin(α+β))，OA=(1,0)，

AP1=(cosα-1,sinα)，AP2=(cosβ-1,-sinβ)，

則|OP∴OA?OP1≠練33(2022·廣東省模擬)已知α,β∈(0,π2)，且α-β=π3，則A.2 B.23 C.4 D.【解析】法1：因為α,β∈(0,π2)，且α-β=π令x=cos?αcos?β，由題意得x>0，y>0，則1sin==當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號，即cos?αcos?β=有α+β=π2，結(jié)合α-β=π3，得α=5π12,β=π法2：因為α,β∈(0,π2)，且α-β=sin?2αsin從而當(dāng)α=5π12時1故選C．練34(2022·湖北省荊州市聯(lián)考)如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=1，點(diǎn)C為AB上的動點(diǎn)且不與點(diǎn)A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于點(diǎn)E，則四邊形ODCE面積的最大值為

．【解析】因為∠AOB=90°，OA=1，OD⊥BC，OE⊥AC，

所以∠DOE=π4，記∠COD=α，0<α<π4，

則四邊形ODCE的面積為

12CD?OD+12故答案為24【規(guī)律方法】1.三角恒等變換主要有以下四變:（1）變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其方法通常是“配湊”（2）變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等（3）變冪：通過“升冪與降冪”，把三角函數(shù)式的各項變成同次，目的是有利于應(yīng)用公式（4）變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征變形,使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo),其方法有:常值代換、配方法等.2.常用公式：（1）半角的正弦、余弦、正切公式①sinα2=±1-cosα2