山東省泰安市高新區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）(解析版)一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，錯(cuò)選、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)，均記零分）1．（4分）下列函數(shù)中，是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣12．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．7.5 C．8 D．12.53．（4分）反比例函數(shù)y＝（a＜b）的大致圖象是（）A． B． C． D．4．（4分）二次函數(shù)y＝2x2的圖象平移后，得到二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣4圖象，平移方法是（）A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位 B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位 C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位 D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位5．（4分）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30cm，斜坡的傾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm6．（4分）對(duì)于反比例函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法不一定正確的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣2022） B．圖象分布在二、四象限 C．圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng) D．圖象上的兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，則y1＞y27．（4分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B． C． D．8．（4分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝mx+m和函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖是反比例函數(shù)y1＝和y2＝﹣在x軸上方的圖象，x軸的平行線(xiàn)AB分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（﹣5.5，0）在x軸上，則△PAB的面積為（）A．3 B．6 C．8.2 D．16.510．（4分）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．已知AB＝8，BC＝10，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．11．（4分）有一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外邊用長(zhǎng)為20m的籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)為15m，若平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8m，設(shè)這個(gè)苗圃園的寬AB為x，面積為S，則S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5）12．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為x＝，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）．下列結(jié)論：①3a+b＝0；②若點(diǎn)，（3，y2）是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，則0≤x≤3；⑤一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，滿(mǎn)分24分。只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13．（4分）若銳角x滿(mǎn)足cos（x﹣10°）＝，則x為．14．（4分）下列函數(shù)：①y＝5x；②y＝﹣3x+2；③y＝，（x＜0）；④y＝3x2（x＜0），其中y的值隨x的增大而減小的函數(shù)為．（填序號(hào)）15．（4分）拋物線(xiàn)y＝（k﹣1）x2﹣x+1與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是．16．（4分）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號(hào)）．17．（4分）如圖，小明在期末體育測(cè)試中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)呈拋物線(xiàn)形．若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+k，其中y是實(shí)心球飛行的高度，x是實(shí)心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），則實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為m．18．（4分）如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…?，過(guò)A1、A2、A3、A4、A5?…分別作x軸的垂線(xiàn)與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5?…，并設(shè)△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3?…面積分別為S1、S2、S3?…，按此作法進(jìn)行下去，則S2023的值為．三、解答題（共7小題，滿(mǎn)分78分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）19．（10分）求下列各式的值：（1）（sin30°﹣1）0﹣sin45°+tan60°cos30°；（2）cos60°﹣2cos245°+tan230°﹣sin30°．20．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線(xiàn)，∠C＝45°，sinB＝，AD＝4．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求tan∠DAE的值．21．（12分）近年來(lái)，我國(guó)煤礦安全事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L，此后濃度呈直線(xiàn)型增加，在第7小時(shí)達(dá)到最高值46mg/L，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降．如圖所示，根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問(wèn)題：（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34mg/L時(shí)，井下3km的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào)，這時(shí)他們至少要以多少km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4mg/L及以下時(shí)，才能回到礦井開(kāi)展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能下井？22．（10分）某景區(qū)超市銷(xiāo)售一種紀(jì)念品，這種商品的成本價(jià)為14元/件，已知銷(xiāo)售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種商品的銷(xiāo)售價(jià)不高于24元/件，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)W（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件的銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？23．（12分）綜合與探究：如圖，一次函數(shù)y＝x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（m，2），B兩點(diǎn)，分別連接OA，OB．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及△AOB的面積；（3）在坐標(biāo)軸y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)B，A，P為頂點(diǎn)的三角形是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（10分）市政府為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站三千個(gè)．如圖，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比為1：2.4．小芳在坡腳C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走了13米到達(dá)D處，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°．（點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)，CE為地平線(xiàn)）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．25．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）P為直線(xiàn)AB上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，求PQ的最大值；（3）若點(diǎn)D為直線(xiàn)AB上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD＝2∠BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，錯(cuò)選、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)，均記零分）1．（4分）下列函數(shù)中，是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函數(shù)的類(lèi)型是否符合題意．【解答】解：A、y＝2x是正比例函數(shù)，故錯(cuò)誤；B、該函數(shù)符合反比例函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；C、該函數(shù)是關(guān)于（x﹣1）的反函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、該函數(shù)是y﹣1關(guān)于x的反函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟記反比例函數(shù)的定義．2．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【分析】根據(jù)正弦值的定義解決此題．【解答】解：如圖．∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，∴sinA＝．∴BC＝6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦值的定義，熟練掌握正弦值的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．（4分）反比例函數(shù)y＝（a＜b）的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可進(jìn)行解答．【解答】解：∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴反比例函數(shù)y＝（a＜b）的圖象的兩個(gè)分支分別位于第二象限和第四象限，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)y＝，當(dāng)k＞0時(shí)，圖象位于第一象限和第三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象位于第二象限和第四象限．4．（4分）二次函數(shù)y＝2x2的圖象平移后，得到二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣4圖象，平移方法是（）A．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位 B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位 C．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位 D．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位【分析】根據(jù)平移前后兩個(gè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化來(lái)判定平移方法．【解答】解：拋物線(xiàn)y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）．拋物線(xiàn)y＝2（x+1）2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣4）．則由二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移1個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位即可得到二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣4的圖象．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)式得到新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．5．（4分）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30cm，斜坡的傾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm【分析】根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tanA＝，則＝，解得：AC＝75，則斜坡的水平距離AC為75cm，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．6．（4分）對(duì)于反比例函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法不一定正確的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣2022） B．圖象分布在二、四象限 C．圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng) D．圖象上的兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，則y1＞y2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)用排除法解答．【解答】解：A、當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2022，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣2022），故A選項(xiàng)不符合題意；B、∵k＝﹣2022＜0，∴圖象在第二、四象限，故B選項(xiàng)不符合題意；C、圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故C選項(xiàng)不符合題意；D、∵k＝﹣2022＜0，∴在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x1＜0，x2＞0時(shí)，則y1＞y2，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于反比例函數(shù)y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。唬?）k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．7．（4分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理得出DC，AC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出答案．【解答】解：如圖所示：連接DC，由網(wǎng)格可得出∠CDA＝90°，則DC＝，AC＝，故sinA＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．8．（4分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝mx+m和函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的象限的問(wèn)題，關(guān)鍵是m的正負(fù)的確定，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下．對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．【解答】解：A、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2開(kāi)口方向朝上，與圖象不符，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝﹣＝＜0，則對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象不符，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＞0，即函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2開(kāi)口方向朝下，與圖象不符，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由函數(shù)y＝mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y＝﹣mx2+2x+2開(kāi)口方向朝上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝﹣＝＜0，則對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象相符，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．9．（4分）如圖是反比例函數(shù)y1＝和y2＝﹣在x軸上方的圖象，x軸的平行線(xiàn)AB分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（﹣5.5，0）在x軸上，則△PAB的面積為（）A．3 B．6 C．8.2 D．16.5【分析】利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義即可得到答案．【解答】解：連接OA、OB，∵x軸的平行線(xiàn)AB分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)A，B．設(shè)AB交y軸于C．∴AB⊥y軸，∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y1＝和y2＝在x軸上方的圖象上，∴S△PAB＝S△AOB＝（2+4）＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)y＝的圖象上任意一點(diǎn)象坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．10．（4分）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．已知AB＝8，BC＝10，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念來(lái)解決．【解答】解：根據(jù)題意可得：在Rt△ABF中，有AB＝8，BC＝AF＝AD＝10，DE＝EF，在△ABF中，由勾股定理可得BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，設(shè)DE＝x，則CE＝8﹣x，在△ABF中，由勾股定理可得x＝，解得x＝5，故tan∠DAE＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．11．（4分）有一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外邊用長(zhǎng)為20m的籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)為15m，若平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8m，設(shè)這個(gè)苗圃園的寬AB為x，面積為S，則S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5）【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出BC＝（20﹣2x）m，利用矩形的面積公式，可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合“墻長(zhǎng)為15m，且平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8m”，即可求出x的取值范圍．【解答】解：∵籬笆的總長(zhǎng)為20m，AB＝xm，∴BC＝（20﹣2x）m．根據(jù)題意得：S＝x（20﹣2x）．∵墻長(zhǎng)為15m，且平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于8m，∴，∴2.5≤x≤6，∴S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S＝x（20﹣2x）（2.5≤x≤6）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．12．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為x＝，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）．下列結(jié)論：①3a+b＝0；②若點(diǎn)，（3，y2）是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，則0≤x≤3；⑤一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由對(duì)稱(chēng)軸為x＝即可判斷①；根據(jù)點(diǎn)（，y1），（3，y2）到對(duì)稱(chēng)軸的距離即可判斷②；由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可判斷④，由圖象可知一元二次方程ax2+bx+c＝1，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可判斷⑤．【解答】解：∵對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝，∴b＝﹣3a，∴3a+b＝0，①正確；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，點(diǎn)（，y1）到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)（3，y2）的距離，∴y1＜y2，故②正確；∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝，∴a＝﹣b，∴﹣b﹣b+c＝0，∴3c＝4b，∴4b﹣3c＝0，故③錯(cuò)誤；∵對(duì)稱(chēng)軸x＝，∴點(diǎn)（0，c）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（3，c），∵開(kāi)口向上，∴y≤c時(shí)，0≤x≤3．故④正確；由圖象可知一元二次方程ax2+bx+c＝1，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故⑤正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，滿(mǎn)分24分。只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13．（4分）若銳角x滿(mǎn)足cos（x﹣10°）＝，則x為40°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵cos（x﹣10°）＝，∴x﹣10°＝30°，解得：x＝40°，故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．14．（4分）下列函數(shù)：①y＝5x；②y＝﹣3x+2；③y＝，（x＜0）；④y＝3x2（x＜0），其中y的值隨x的增大而減小的函數(shù)為②③④．（填序號(hào)）【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性，逐一判斷．【解答】解：①對(duì)于y＝5x，y隨x的增大而增大；②對(duì)于y＝﹣3x﹣2，y隨x的增大而減小；③當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y＝，y隨x的增大而減小；④y＝3x2，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性，熟知一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（4分）拋物線(xiàn)y＝（k﹣1）x2﹣x+1與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是k≤且k≠1．【分析】直接利用根的判別式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函數(shù)的意義得到k﹣1≠0，然后解兩不等式得到k的范圍．【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝（k﹣1）x2﹣x+1與x軸有交點(diǎn)，∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，又∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k的取值范圍是k≤且k≠1；故答案為：k≤且k≠1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式求參數(shù)的取值范圍．16．（4分）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為25海里（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，在Rt△APC中由銳角三角函數(shù)定義求出PC的長(zhǎng)，再在Rt△BPC中由銳角三角函數(shù)定義求出PB的長(zhǎng)即可．【解答】解：過(guò)P作PC⊥AB于C，如圖所示：由題意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝PA?cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)定義；熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出PC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，小明在期末體育測(cè)試中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)呈拋物線(xiàn)形．若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣（x﹣3）2+k，其中y是實(shí)心球飛行的高度，x是實(shí)心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），則實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為8m．【分析】根據(jù)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），求出函數(shù)關(guān)系式，再令y＝0可解得答案．【解答】解：把A（0，）代入y＝﹣（x﹣3）2+k得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為8m，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式．18．（4分）如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…?，過(guò)A1、A2、A3、A4、A5?…分別作x軸的垂線(xiàn)與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5?…，并設(shè)△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3?…面積分別為S1、S2、S3?…，按此作法進(jìn)行下去，則S2023的值為．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義再結(jié)合圖象即可解答．【解答】解：因?yàn)檫^(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線(xiàn)段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，S＝|k|＝2，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，∴S1＝2，S2＝S1＝1，S3＝S1＝，S4＝S1＝，S5＝S1＝，依此類(lèi)推：Sn的值為，∴S2023＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線(xiàn)，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線(xiàn)段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S＝|k|．三、解答題（共7小題，滿(mǎn)分78分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）19．（10分）求下列各式的值：（1）（sin30°﹣1）0﹣sin45°+tan60°cos30°；（2）cos60°﹣2cos245°+tan230°﹣sin30°．【分析】（1）把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）（sin30°﹣1）0﹣sin45°+tan60°cos30°＝1﹣×+×＝1﹣1+＝；（2）cos60°﹣2cos245°+tan230°﹣sin30°＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣1+﹣＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線(xiàn)，∠C＝45°，sinB＝，AD＝4．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求tan∠DAE的值．【分析】（1）在Rt△ABD中，根據(jù)正弦的定義得到sinB＝＝，可計(jì)算出AB＝6，則根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC＝2，然后在Rt△ADC中，利用∠C＝45°得到CD＝4，于是BC＝BD+CD＝2+4；（2）先根據(jù)三角形中線(xiàn)定義得到CE＝BC＝+2，則ED＝CE﹣CD＝﹣2，然后根據(jù)正切的定義求解．【解答】解：（1）∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，sinB＝＝，而AD＝4，∴AB＝6，∴BD＝＝2，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝2+4；（2）∵AE是BC邊上的中線(xiàn)，∴CE＝BC＝+2，∴ED＝CE﹣CD＝﹣2，在Rt△AED中，tan∠DAE＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．21．（12分）近年來(lái)，我國(guó)煤礦安全事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L，此后濃度呈直線(xiàn)型增加，在第7小時(shí)達(dá)到最高值46mg/L，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降．如圖所示，根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問(wèn)題：（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34mg/L時(shí)，井下3km的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào)，這時(shí)他們至少要以多少km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4mg/L及以下時(shí)，才能回到礦井開(kāi)展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能下井？【分析】（1）根據(jù)圖象可以得到函數(shù)關(guān)系式，y＝k1x+b（k1≠0），再由圖象所經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)（0，4），（7，46）求出k1與b的值，然后得出函數(shù)式y(tǒng)＝6x+4，從而求出自變量x的取值范圍．再由圖象知（k2≠0）過(guò)點(diǎn)（7，46），求出k2的值，再由函數(shù)式求出自變量x的取值范圍．（2）結(jié)合以上關(guān)系式，當(dāng)y＝34時(shí)，由y＝6x+4得x＝5，從而求出撤離的最長(zhǎng)時(shí)間，再由v＝速度．（3）由關(guān)系式y(tǒng)＝知，y＝4時(shí)，x＝80.5，礦工至少在爆炸后80.5﹣7＝73.5（小時(shí)）才能下井．【解答】解：（1）因?yàn)楸ㄇ皾舛瘸手本€(xiàn)型增加，所以可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b（k1≠0），由圖象知y＝k1x+b過(guò)點(diǎn)（0，4）與（7，46），則，解得，則y＝6x+4，此時(shí)自變量x的取值范圍是0≤x≤7．（不取x＝0不扣分，x＝7可放在第二段函數(shù)中）∵爆炸后濃度成反比例下降，∴可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為（k2≠0）．由圖象知過(guò)點(diǎn)（7，46），∴，∴k2＝322，∴，此時(shí)自變量x的取值范圍是x＞7．（2）當(dāng)y＝34時(shí)，由y＝6x+4得，6x+4＝34，x＝5．∴撤離的最長(zhǎng)時(shí)間為7﹣5＝2（小時(shí)）．∴撤離的最小速度為3÷2＝1.5（km/h）．（3）當(dāng)y＝4時(shí)，由y＝得，x＝80.5，80.5﹣7＝73.5（小時(shí)）．∴礦工至少在爆炸后73.5小時(shí)才能下井．【點(diǎn)評(píng)】現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．22．（10分）某景區(qū)超市銷(xiāo)售一種紀(jì)念品，這種商品的成本價(jià)為14元/件，已知銷(xiāo)售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種商品的銷(xiāo)售價(jià)不高于24元/件，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)W（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件的銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)＝每件的利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得．【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，將（14，46）、（24，36）代入，得：，解得：，所以y與x的函數(shù)解析式為y＝﹣x+60（15≤x≤24）；（2）根據(jù)題意知，W＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣x+60）＝﹣x2+74x﹣840，∵﹣＝﹣＝37，又∵a＝﹣1＜0，∴當(dāng)x＜37時(shí)，W隨x的增大而增大，∵14≤x≤24，∴當(dāng)x＝24時(shí)，W取得最大值，最大值為360，答：每件銷(xiāo)售價(jià)為24元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是360元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23．（12分）綜合與探究：如圖，一次函數(shù)y＝x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（m，2），B兩點(diǎn)，分別連接OA，OB．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及△AOB的面積；（3）在坐標(biāo)軸y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)B，A，P為頂點(diǎn)的三角形是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）解方程組求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法求三角形的面積；（3）分別求出過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B且垂直于直線(xiàn)y＝x+1的解析式，再令解析式中的x＝0計(jì)算函數(shù)值得到坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，2），∴m+1＝2，∴m＝1，∴A（1，2），∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），∴k＝2，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）由題意，得，解得或，∴B（﹣2，﹣1），∵C（0，1），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；（3）存在這樣的P點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣3）．理由如下：①過(guò)點(diǎn)A（1，2）且垂直于直線(xiàn)y＝x+1的直線(xiàn)解析式為：y＝﹣x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴P（0，3）；②過(guò)點(diǎn)B（﹣2，﹣1）且垂直于直線(xiàn)y＝x+1的直線(xiàn)解析式為：y＝﹣x﹣3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴P（0，﹣3），綜上分析，滿(mǎn)足以AB為直角邊的直角三角形點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．24．（10分）市政府為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站三千個(gè)．如圖，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比為1：2.4．小芳在坡腳C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走了13米到達(dá)D處，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°．（點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)，CE為地平線(xiàn)）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D處的豎直高度；（2）求基站塔AB的高．【分析】（1）通過(guò)作輔助線(xiàn)，利用斜坡CB的坡度為i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）設(shè)出DE的長(zhǎng)，根據(jù)坡度表示BE，進(jìn)而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DE，進(jìn)而求出AB．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C、D分別作AB的垂線(xiàn)，交AB的延