一類Cayley圖的自構(gòu)群的開題報告摘要：本文研究了一類特殊的Cayley圖，即具有自構(gòu)群的Cayley圖，并進行了系統(tǒng)性的討論。首先定義了自構(gòu)群的概念，并給出了一些示例；隨后，探討了該類Cayley圖的幾何特征和代數(shù)性質(zhì)，并分析了其在群論研究中的作用和意義。關(guān)鍵詞：Cayley圖；自構(gòu)群；群論Abstract:ThispaperstudiesaspecialtypeofCayleygraph,namelyCayleygraphswithautomorphismgroupsandprovidesasystematicdiscussion.Firstly,theconceptofautomorphismgroupsisdefined,andsomeexamplesaregiven.Then,thegeometricfeaturesandalgebraicpropertiesofthistypeofCayleygraphareexplored,anditsroleandsignificanceingrouptheoryresearchareanalyzed.Keywords:Cayleygraph;automorphismgroup;grouptheory1.引言Cayley圖是一種基礎(chǔ)的離散數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，具有廣泛的應(yīng)用。然而，只有極少數(shù)的Cayley圖是自構(gòu)的，即它們具有自構(gòu)群。自構(gòu)群在群論中是一個重要的概念，因為它允許我們研究群的對稱性和結(jié)構(gòu)。因此，研究自構(gòu)Cayley圖具有一定的理論價值和應(yīng)用前景。本文的主要目的是研究一類自構(gòu)Cayley圖的幾何和代數(shù)性質(zhì)，并分析其在群論研究中的意義和應(yīng)用。2.自構(gòu)群的定義和示例自構(gòu)群是一個群，它可以作為圖的對稱自同構(gòu)群。換句話說，如果G是Cayley圖Γ的自構(gòu)群，那么G必須是Γ的圖自同構(gòu)群，且Γ中每個點的軌道大小都相等。下面給出一些自構(gòu)群的示例：-對于任意的正整數(shù)n，完全圖Kn的自構(gòu)群就是對稱群Sn。-對于任意的質(zhì)數(shù)p，循環(huán)圖Cp的自構(gòu)群是置換群Zp，即模p的乘法群。-對于奇數(shù)n>1，完全正則圖SR(n,2)的自構(gòu)群是二面體群Dn，其中Dn是二面體群的階為2n的一個特殊情形。3.自構(gòu)Cayley圖的性質(zhì)在上一節(jié)中，我們介紹了一些自構(gòu)群的示例。在本節(jié)中，我們將探討Cayley圖的自構(gòu)性質(zhì)和應(yīng)用。3.1.幾何特征對于給定的有限群G和它的一個生成元集合S，我們可以構(gòu)造出一個Cayley圖Γ(G,S)。如果Γ(G,S)是自構(gòu)的，那么它具有一些特殊的幾何特征：-對于任意的g∈G，Γ(G,S)中與g關(guān)聯(lián)的點的軌道大小相等。-Γ(G,S)中每個點在自身所在的軌道中處于同一位置。換句話說，Γ(G,S)是具有周期布局的。3.2.代數(shù)性質(zhì)在群論研究中，自構(gòu)Cayley圖具有以下代數(shù)性質(zhì)：-自構(gòu)Cayley圖的對稱性與群的對稱性相關(guān)。-自構(gòu)Cayley圖具有良好的譜結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。-自構(gòu)Cayley圖的自同構(gòu)群是G的一個子群。-自構(gòu)Cayley圖的正則性與生成元集合的選擇相關(guān)。-自構(gòu)Cayley圖的色數(shù)和生成元集合的大小相關(guān)。4.應(yīng)用和意義自構(gòu)Cayley圖在群論研究中具有重要的應(yīng)用和意義。例如：-自構(gòu)Cayley圖是研究群的自同構(gòu)群的一種有效工具。-自構(gòu)Cayley圖幫助我們理解群的對稱性和結(jié)構(gòu)。-自構(gòu)Cayley圖在拓撲學(xué)、幾何學(xué)、組合學(xué)等領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。-自構(gòu)Cayley圖可以被用于證明相應(yīng)群的若干性質(zhì)。5