專題3.13整式的化簡(jiǎn)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握整式相乘法則和平方差公式和完全平方公式；2.應(yīng)用整式乘法、平方差公式、完全平方公式來解決進(jìn)行綜合運(yùn)算，并能利用逆運(yùn)算解決綜合性運(yùn)算；3.運(yùn)用整式相乘法則及兩個(gè)乘法公式解決一些實(shí)際問題?！疽c(diǎn)梳理】單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.4、平方差公式：平方差公式：5、完全平方公式：，【典型例題】類型一、單項(xiàng)式的乘法1．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，-16．【分析】先化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)=2，b=1代入求解即可．解：原式．當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是正確的化簡(jiǎn)．舉一反三：【變式】如果，m，n均為正整數(shù)，求m，n的值．【答案】m=3，n=2【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的乘法把左邊化簡(jiǎn)，然后根據(jù)左右兩邊相同字母的指數(shù)相等列方程組求解即可.解：=﹣x2m+n﹣1ym+2n﹣2=﹣x7y5

，即，解得m=3，n=2【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解法及單項(xiàng)式的乘法，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法法則是，把它們的系數(shù)相乘，字母部分的同底數(shù)的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.類型二、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法2.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；．【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)即可化簡(jiǎn)原式，繼而將x的值代入計(jì)算可得．解：當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和合并同類項(xiàng)法則．舉一反三：【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，．【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則和合并同類項(xiàng)將原式化簡(jiǎn)，再代入數(shù)值即可求解．解：．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則和合并同類項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】大明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘以時(shí)，因抄錯(cuò)符號(hào)算成了加上，得到的答案是，（1）求這個(gè)多項(xiàng)式；（2）正確的結(jié)果應(yīng)該是多少？【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為A，則由題意可得，由此求解即可；（2）利用多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．解：（1）設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為A，由題意得：，∴，∴；（2）∵這個(gè)多項(xiàng)式為，∴正確的計(jì)算結(jié)果為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算和多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．類型三、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法3．定義

=，如

=．（1）若

=4，求的值；（2）若

的值與x無關(guān)，求nm值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)新定義行列式的運(yùn)算法則，變形，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，合并同類項(xiàng)，解一元一次方程即可；（2）根據(jù)新定義行列式的運(yùn)算法則，變形，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，合并同類項(xiàng)，利用與x無關(guān)，得出，解方程即可．解：（1）∵

=4，∴，∴，∴∴，解得；（2）∵

=，=，==，∵

的值與x無關(guān)，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查新定義行列式計(jì)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則，多項(xiàng)式與x無關(guān)型，掌握新定義行列式計(jì)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則，多項(xiàng)式與x無關(guān)型是解題關(guān)鍵，本題是知識(shí)創(chuàng)新型，考查學(xué)生觀察，分析問題，知識(shí)遷移能力．舉一反三：【變式1】試說明：代數(shù)式的值與的取值無關(guān)．【答案】．【分析】將代數(shù)式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到一個(gè)常數(shù)，可得代數(shù)式的值與的取值無關(guān)；解：原式所以，代數(shù)式的值與的取值無關(guān)；【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算及代數(shù)式求值，涉及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知多項(xiàng)式（1）化簡(jiǎn)多項(xiàng)式時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過程．小明的作業(yè)：解：在標(biāo)出①②③的幾項(xiàng)中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是_________，請(qǐng)寫出正確的解答過程；（2）小亮說：“只要給出的合理的值，即可求出多項(xiàng)式的值．”小明給出的值為4，請(qǐng)你求出此時(shí)的值．【答案】（1）①③，見解析；（2）16【分析】（1）觀察小明的作業(yè)，找出出錯(cuò)的步驟，并利用完全平方公式與平方差公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后合并同類項(xiàng)即可得出正確的解答過程；（2）由給出的值求出的值，A結(jié)果化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值．解：（1）在標(biāo)出①②③的幾項(xiàng)中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是①③；故答案為：①③；；（2）∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握乘法公式及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．類型四、平方差公式與完全平方公式 4．先化簡(jiǎn)，再求值：（x＋3y）（x－3y）－（2x－y）2－y（3x－7y），其中x，y滿足x＋y＝3，xy＝1．【答案】－3x2＋xy－3y2，-20【分析】運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)，然后將化簡(jiǎn)結(jié)果配方后代值求解即可．解：（x＋3y）（x－3y）－（2x－y）2－y（3x－7y）＝（x2－9y2）－（4x2－4xy＋y2）－（3xy－7y2）＝x2－9y2－4x2＋4xy－y2－3xy＋7y2＝－3x2＋xy－3y2∵x＋y＝3，xy＝1∴∴原式的化簡(jiǎn)結(jié)果為－3x2＋xy－3y2，值為．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的運(yùn)算，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用乘法公式．舉一反三：【變式1】．先化簡(jiǎn)，再求值：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]，其中x＝﹣．【答案】﹣14x﹣5，2【分析】先根據(jù)平方差公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．解：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]＝4x2﹣（9x2﹣1﹣x2+5x﹣3x+15﹣4x2+12x﹣9）＝4x2﹣（4x2+14x+5）＝4x2﹣4x2﹣14x﹣5＝﹣14x﹣5，當(dāng)x＝﹣時(shí)，原式＝﹣14×（﹣）﹣5＝7﹣5＝2．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．【變式2】已知有理數(shù)x，y滿足x＋y，xy＝﹣3求（x＋1）（y＋1）的值；求x2＋y2的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）（x+1）（y+1）=xy+（x+y）+1，再整體代入計(jì)算