2023年秋季鄂州市部分高中教科研協(xié)作體期中考試高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，用交集的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，，所以．故選：B2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C3.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】更多優(yōu)質(zhì)滋元可家威杏MXSJ663【分析】結(jié)合得，即可逐個(gè)判斷.【詳解】由知單調(diào)遞減，又，則，B錯(cuò)誤；則，A錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；由二次函數(shù)知，單調(diào)遞減，則，D正確.故選：D4.已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，把點(diǎn)代入解析式求得，再求.【詳解】為冪函數(shù)，設(shè)，依題意，解得，所以，則．故選：B．5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由，得且，所以“”可以得到“”；由，得，所以“”不能得到“”.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.1 B.－2 C.－1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，由題意，建立方程，可得答案.【詳解】由是上的奇函數(shù)，則，且，由，則，解得，.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】在y軸左側(cè)作函數(shù)關(guān)于y軸對稱的圖象，得到偶函數(shù)的圖象，向上平移一個(gè)單位得到的圖象．故選:D．8.已知實(shí)數(shù)，則（）A.有最小值2 B.有最大值2C.有最小值6 D.無最小值【答案】B【解析】【分析】對分式變形，利用均值不等式求導(dǎo)即可得解.【詳解】，因?yàn)?，所?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最大值為2.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列能夠表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的概念判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，在中，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故A正確；對于B，在中，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故B正確；對于C，在中，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值為，與集合不對應(yīng)，故C錯(cuò)誤；對于D，在中，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故D正確.故選：ABD.10.若集合A，B，U滿足，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖即可得之間的關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由知：與沒有共同的元素，故，故A正確，∴，即B錯(cuò)誤；僅當(dāng)時(shí)，即C錯(cuò)誤；，即D正確．故選：AD．11.不等式對任意的恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】可整理為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有：，故A正確；當(dāng)時(shí)，滿足，即原不等式成立，B錯(cuò)誤；由，得，所以，C正確；，D正確；故選：ACD．12.若，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.的單調(diào)遞增區(qū)間是C.的最小值為－4 D.方程的解集為【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以關(guān)于直線軸對稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，又因?yàn)殛P(guān)于直線軸對稱，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，兩區(qū)間中間不可用并，所以B不正確；當(dāng)時(shí)，所以的最小值為-4，故C正確；當(dāng)時(shí)，方程的解為，因?yàn)殛P(guān)于直線軸對稱，所以方程的解集為，所以D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題的否定為__________.【答案】【解析】【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞求解即可.【詳解】命題的否定為.故答案為：.14.已知，則_________．【答案】（且）【解析】【分析】使用換元法求解，在換元時(shí)，需注意定義域.【詳解】由，令，（且，且），則，（且），∴（且）,∴（且）.故答案為：（且）.15.郭老師在黑板上寫出了一個(gè)函數(shù)，請三位同學(xué)各自說出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：①此函數(shù)為奇函數(shù)；②定義域?yàn)?；③在上為單調(diào)減函數(shù)．郭老師說其中有一個(gè)同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，另兩位同學(xué)的結(jié)論正確．請你寫出一個(gè)這樣的函數(shù)_____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意可知符合題意的函數(shù)不止一個(gè)，符合其中兩個(gè)條件，不符合另一個(gè)，比如即可.【詳解】由題意可得滿足②③，不滿足①,符合題意，故答案為:.16.若對，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由關(guān)于的一元二次不等式恒成立得，參變分離后再由基本不等式求解最值．【詳解】由，得．由題意可得，使得成立，即，使得成立．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合.（1）求（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡集合A，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求出，最后再求.（2）由題意可知或，解不等式即可.【小問1詳解】解：，，則.【小問2詳解】集合，，.若，則，即；若則解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，其中，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）由函數(shù)在區(qū)間上取到函數(shù)的最小值，得對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，建不等式求解即可.【小問1詳解】由二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可設(shè)，，則解得∴的解析式為．【小問2詳解】由題知，的對稱軸為，且．∵在區(qū)間上的最小值為，∴，又，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．19.已知.（1）當(dāng)時(shí)，若同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡，當(dāng)時(shí)，解出，求它們的交集即可；（2）是的充分不必要條件，即所對應(yīng)的集合所對應(yīng)的集合，結(jié)合包含關(guān)系，即可求.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，，即，若同時(shí)成立，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由（1）知，，，即，①當(dāng)時(shí)，，若是的充分不必要條件，則，解得；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不可能是的充分不必要條件，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：．（1）證明榶水不等式；（2）已知是三角形的三邊，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．【小問1詳解】，因?yàn)?，所以，所以，即．【小?詳解】因?yàn)槭侨切蔚娜?，所以，由?）知，同理，所以，所以原不等式成立．21.已知定義在上的函數(shù)滿足：對，都有，且當(dāng)時(shí)，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并用定義證明；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）解不等式：．【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用賦值法先求出，再得到的關(guān)系，進(jìn)而可證奇偶性；（2）先取值，然后還是利用賦值法得到的正負(fù)，繼而證明單調(diào)性；（3）結(jié)合前兩問所得奇偶性與單調(diào)性，利用單調(diào)性的逆用即可求解抽象函數(shù)不等式.【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，證明如下：令，則，解得；令，則，令，則，∴為定義在上的奇函數(shù)．【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，則，∴．，則，則；又，∴，又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，∴在上單調(diào)遞減．【小問3詳解】由得，∵的定義域?yàn)榍以谏鲜菃握{(diào)遞減的，，解得，∴不等式的解集為．22.某生活超市經(jīng)銷某種蔬菜，經(jīng)預(yù)測從上架開始的第且天，該蓅菜天銷量（單位：）為.已知該種蔬菜進(jìn)貨價(jià)格是3元，銷售價(jià)格是5元，該超市每天銷售剩余的該種蔬菜可以全部以2元的價(jià)格處理掉.若該生活超市每天都購進(jìn)該種蔬菜，從上架開始的5天內(nèi)銷售該種蔬菜的總利潤為元.（1）求的解析式；（2）若從上架開始的5天內(nèi)，記該種蔬菜按5元售價(jià)銷售的總銷量與總進(jìn)貨量之比為，設(shè)，求的最大值與最小值.【答案】（