第22頁/共22頁郴州市2022屆高三數(shù)學(xué)學(xué)科原創(chuàng)試題評比參評數(shù)學(xué)試卷（原卷）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題只有一個正確選項）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分式不等式的解法與交集的概念求解【詳解】由得，得，則，故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解法一：根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算求，再由模長公式求解.解法二：復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)計算：【詳解】解法一（運算量大）：，∴．解法二（運算量小，容易）：.故選：D3.已知圓錐的軸截面是一個正三角形，則其側(cè)面積與軸截面面積之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計算側(cè)面積和面積作比即可.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，則母線長為，得側(cè)面積是軸截面是一個正三角形，邊長為，則其面積.所以面積之比是.故選：B4.函數(shù)的圖像的一條對稱軸為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由倍角公式和輔助角公式化簡，令，即可得出答案.【詳解】令，解得.故選：C.5.如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是離心率為的雙曲線的右支與軸及平行于軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若P為C右支上的一點，F(xiàn)為C的左焦點，則與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求得雙曲線的方程，求得雙曲線右焦點到漸近線的距離，結(jié)合雙曲線的定義求得所求的最小值.【詳解】由題意可知，，雙曲線方程為，一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為，，與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為，所以與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為.故選：C6.中已知且，則（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)進(jìn)行化簡整理即可求得的值.【詳解】由題意得，則有整理得：，故選：B7.過點作曲線的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點，進(jìn)而求得切線方程，進(jìn)而得到，構(gòu)造函數(shù)分析的單調(diào)性與取值范圍即可判斷有且僅有兩根時b的取值范圍即可【詳解】設(shè)切點為，，故過的切線方程為，即.故有且僅有兩根.設(shè)，則，令則，令則，且，又當(dāng)時，，.故有且僅有兩根則b的取值范圍為故選：A8.某校高二年級學(xué)生舉行中國象棋比賽，經(jīng)過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結(jié)束．若經(jīng)抽簽，已知第一場甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為．則（）A.甲獲得冠軍的概率最大B.甲與乙獲得冠軍的概率都比丙大C.丙獲得冠軍的概率最大D.甲、乙、丙每人獲得冠軍的概率都一樣大【答案】C【解析】【分析】根據(jù)比賽進(jìn)行的場次進(jìn)行分類討論，結(jié)合相互獨立事件概率計算公式，求得甲、乙、丙三人獲得冠軍的概率，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)決賽規(guī)則，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽．（1）甲獲得冠軍有兩種情況：①共比賽四場結(jié)束，甲四連勝奪冠，概率為．②共比賽五場結(jié)束，并且甲獲得冠軍．則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況：勝勝勝負(fù)勝，勝勝負(fù)空勝，勝負(fù)空勝勝，負(fù)空勝勝勝，概率分別為，，，．因此，甲最終獲得冠軍的概率為．（2）乙獲得冠軍，與（1）同理，概率也為．（3）丙獲得冠軍，概率為，∴丙獲得冠軍的概率最大.故選：C二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.下列說法正確的是（）A.系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時不能采用簡單隨機抽樣；B.標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大；C.用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)強度，當(dāng)越接近于1，變量的線性相關(guān)程度越強；D.相對樣本點的隨機誤差是.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念、標(biāo)準(zhǔn)差與離散程度的關(guān)系、變量間的線性關(guān)系和隨機誤差的定義即可判斷.【詳解】系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時就是采用簡單隨機抽樣,故A錯誤；標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大,標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小,故B正確;當(dāng)越接近于1，變量的線性相關(guān)程度越強,當(dāng)越接近于0，變量的線性相關(guān)程度越弱,故C正確;相對樣本點的隨機誤差是,故D錯誤.故選:BC.10.下列說法正確的是（）A.B.非零向量和，滿足且與同向，則C.非零向量滿足D.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】選項A，根據(jù)向量的數(shù)量積運算律判斷；選項B，由向量與向量間不能比較大小判斷；選項C，由平方判斷；選項D數(shù)量積大于零，且不共線求解判斷【詳解】A.由向量的數(shù)量積的運算律知：，故正確；B.由向量與向量間不能比較大小知，錯誤；C.由兩邊平方得：，則，故正確；D.已知，，且與的夾角為銳角，則，且與不共線，則，解得，故錯誤；故選：AC11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，光線從A點發(fā)出經(jīng)線段BC反射與圓相交，則相交弦長度可以（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)光線反射設(shè)反射光線所在的直線方程，利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離并求其取值范圍，再根據(jù)垂徑定理求相交弦長的取值范圍，分析判斷.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，作關(guān)于軸的對稱點，光線從A點發(fā)出經(jīng)線段BC反射光線所在的直線等價于過點與線段BC有交點的直線，則，∵直線的斜率存在，設(shè)為，則，∴直線：，即，則圓心到直線的距離，當(dāng)，即時，則；當(dāng)，即時，令，則，∴，∵，則，，∴；綜上所述：，故相交弦長度，又∵，則相交弦長度可以是.故選：CD.12.如圖，在梯形ABCD中，，，E在線段BC上，且BE=2EC，現(xiàn)沿線段AE將ABE折超，折成二面角，在此過程中：（）A.B.三棱錐B—AED體積的最大值為6C.若G，F(xiàn)是線段AE上的兩個點，GE=1，AF=，則在線段AB上存在點H，當(dāng)AH=1時，HF//BGD.【答案】AB【解析】【分析】對于A，通過證明面來得到；對于B，推出當(dāng)時，最大，利用體積公式求解即可；對于C，通過得到來判斷；對于D，通過推出AD，AE是兩相交線來判斷.【詳解】對于A，如圖，延長DC，AE相交于K點易得，得，所以，得四邊形ABKD是為正方形.連接BD交AK于M點，則.則，.在翻折過程中始終有，，面平面所以面平面，，故A正確.對于B，，當(dāng)時，最大，又此時，，故B正確.對于C，在選項A的正方形ABKD中，，則，故點為中點，則，所以為中點，若，則H為AB的中點，所以，故C錯誤.對于D，利用選項中圖像和結(jié)論來解答若成立，又，，面，面面，又面，，即，，與矛盾，故D錯誤.故選：AB.三、填空題.（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知是定義在上的偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】利用偶函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得，代入解析式中，求得后，代入即可.【詳解】為上的偶函數(shù)，，即，，解得：，，，.故答案為：.14.已知圓C：，直線：，則下列判斷正確的是（）A.的取值范圍為B.若圓C被直線平分，則C.不存在實數(shù)，使得直線與圓C相切D.若，則直線與圓C相交所得的弦長為8【答案】ABD【解析】【分析】變換得到，解得范圍得到A正確，將圓心代入直線得到，B正確，根據(jù)相切得到，解得答案，C錯誤，根據(jù)弦長公式計算得到D正確，得到答案.【詳解】方程，即，表示圓的條件為：，解得或，A正確；圓C被直線平分，則直線過圓心，解得，B正確；圓心到直線的距離為，解得時，直線與圓相切，所以選項C錯誤．時，圓C的方程為，圓心到直線的距離為，半徑為，弦長為2，D正確.故選：ABD15.的兩個極值點滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】由已知函數(shù)求導(dǎo)，令則可得，代入極值點后兩式作商，可得到的關(guān)系，作商得到的結(jié)果指對互換，便可解出，根據(jù)題目所求，代入后便可構(gòu)造新的函數(shù)，通過求導(dǎo)可求得最小值.【詳解】由函數(shù)，，則，因為函數(shù)兩個極值點，則①，②，得③，設(shè)，則且，代入③得，設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，，故的最小值為.故答案為：【點睛】求函數(shù)最值，通常是對所求函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)不能確定極值點時，可二階求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點，可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得原函數(shù)的最值.16.弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，.它脫胎于古代的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說將“琴”的創(chuàng)始?xì)w于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏族首領(lǐng).在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于臺灣原住民中的布農(nóng)、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動聽，現(xiàn)有某專業(yè)樂器研究人員對它做出改進(jìn)，安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對稱建立如圖所示坐標(biāo)系，恰為左焦點，均勻?qū)ΨQ分布在上半個橢圓弧上(在上的投影把線段八等分)，為琴弦，記，數(shù)列前n項和為，橢圓方程為，且，則的最小值為_____【答案】【解析】分析】設(shè)（），由焦半徑公式有，由對稱性得，由題意有成等差數(shù)列，從而可求得，這樣求得后再由基本不等式得最小值．【詳解】設(shè)，得，為等差數(shù)列，=，由題意的橫坐標(biāo)把八等分,所以,，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：．【點睛】本題是新文化試題，解題關(guān)鍵是理解題意，從諸多信息中提取有用的數(shù)學(xué)信息，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解題．題中橢圓、焦點，提示我們求需用橢圓的焦半徑公式，再結(jié)合對稱性，易求得其和，從而表示出，第二步才聯(lián)想到需要利用基本不等式中“1”的代換求最小值．四、解答題：寫出必要的解題步驟或文字說明.（本題共6小題，第17題10分，其余各題每小題12分，共70分）17.已知數(shù)列中，前n項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）如果恒成立，求最小值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由得，兩式相減將轉(zhuǎn)化為可得到數(shù)列是等比數(shù)列；（2）使用錯位相減求和法求出，解不等式即可.【小問1詳解】①，②，①-②得，即所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，即，所以【小問2詳解】，則所以，兩式相減，得得所以，解不等式得18.農(nóng)歷五月初五是我國的傳統(tǒng)節(jié)日——端午節(jié)，為紀(jì)念偉大的愛國詩人屈原，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子也就成為了我們生活中的一種美食.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2個，這三種粽子的外觀完全相同．小明從中任取2個吃，吃完這2個，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是還沒吃到肉粽，就再從剩下的4個中任取1個吃，吃完這個不管是否吃到肉粽都不再吃了.（1）求小明吃到肉粽的概率；（2）設(shè)X表示取到的肉粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)先吃的兩個有無肉粽計算出遲到肉粽的概率.（2）根據(jù)吃到肉粽的個數(shù)以及古典概型概率計算公式計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】小明吃到肉粽的概率為.【小問2詳解】∵X的所有可能取值為0，1，2，且，，．∴X的分布列為Ｘ012．19.在內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為已知（1）求角C的大小.（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角和兩角和與差的余弦公式化簡等式，即可求出角C的大??；（2）由余弦定理和基本不等式可求出再由三角形面積公式即可得出答案.【小問1詳解】由倍角公式知原式可化為即整理得：，即所以，故【小問2詳解】由余弦定理和基本不等式可得：，即即當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立..即20.在正方體，，點F中點，點E為中點（1）若G點是正方形內(nèi)的動點（含邊界），G點運動時，始終保持，求G點運動軌跡的長度.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點為H，連接，連接，連接，通過線面平行的證明可證平面，同理可證平面，得到平面平面，判斷G點運動軌跡為線段，進(jìn)而求解；（2）以A為坐標(biāo)原點，AB直線為軸，AD直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，結(jié)合向量法即可求解.【小問1詳解】取的中點為H，連接，連接，連接.分別為的中點，，又，，四邊形是平行四邊形，得，而，所以四邊形也是平行四邊形，，而平面，平面，連接，同理可證平面，又，平面平面，又G點運動時，始終保持，得，G點運動軌跡為線段，其長度為；【小問2詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB直線為軸，AD直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得，令平面AEC的法向量為，則，可得，令，得，又，==，因為直線與平面所成角為銳角，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知橢圓C：的右頂點為，過左焦點F的直線交橢圓于M，N兩點，交軸于P點，，，記，，（為C的右焦點）的面積分別為.（1）證明：為定值；（2）若，，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先得到橢圓方程為，設(shè)點，利用向量關(guān)系得到，，再聯(lián)立橢圓與直線方程得，則，再整體代換得定值.（2），，，結(jié)合（1）中向量式得，再代入有，聯(lián)立解得，再結(jié)合的范圍，利用導(dǎo)數(shù)或是對勾函數(shù)性質(zhì)求出其范圍.【小問1詳解】由題意得，左焦點F，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)，顯然，令，，則，則，，由得，解得，同理.聯(lián)立，得.，從而（定值）【小問2詳解】結(jié)合圖象，不妨設(shè)，，，，由得代入，有，則，解得，，設(shè)，則，則，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且，則，則.【