淺談條件概率從狄青的100枚銅幣談起-——淺談條件概率教學(xué)過程的設(shè)計(jì)汕頭市金山中學(xué)林琪條件概率是人教A版選修2-3第二章2.2.1的內(nèi)容，是學(xué)生在已學(xué)習(xí)古典概型與幾何概型的基礎(chǔ)上又一類型的概率問題。條件概率是概率論中的一種重要概念，它是推導(dǎo)獨(dú)立事件概率公式的前提，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)事件的獨(dú)立性等概率知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)的理解概念是解題的核心，因此學(xué)好這一節(jié)，對(duì)后續(xù)概率的學(xué)習(xí)有著鋪墊作用。而條件概率又是比較難理解的概念，在新課的講授過程學(xué)生總會(huì)有這樣或那樣的疑惑。下面我就如何把條件概率這節(jié)課講“懂”，使學(xué)生真正把知識(shí)學(xué)好學(xué)透徹，淺談我的一點(diǎn)見解。1.尋找條件概率——狄青的100枚銅幣在我們生活的世界上，充滿著不擬定性，從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化，從嬰兒誕生，到世間萬物的繁衍生息，都充滿奇異的隨機(jī)現(xiàn)象。我們能根據(jù)現(xiàn)在預(yù)測將來嗎？或者一切都能心想事成嗎？這能夠從狄青的100枚銅幣談起。話說北宋慶歷、皇祐年間，大將狄青奉旨征討儂智高時(shí)，來到桂林以南。當(dāng)時(shí)南方有崇拜鬼神的風(fēng)俗，于是，他拿了100枚銅幣向神許愿，說：“如果這次出征能夠打敗敵人，那么把這些銅幣扔到地上，錢面定然會(huì)全部朝上?！弊笥夜賳T都誠惶誠恐，力勸主帥放棄這個(gè)念頭——由于經(jīng)驗(yàn)告訴他們，這種嘗試是注定要失敗的。他們緊張最后弄不好，反而會(huì)動(dòng)搖部隊(duì)的士氣。可是，狄青對(duì)此概然不理，固執(zhí)如牛。在千萬人的注視下，他忽然舉手一揮，把銅幣全部扔到地上。成果這100枚銅幣的面，居然鬼使神差般全部朝上。這時(shí)，全軍歡呼，聲音響徹山村曠野。由于士兵個(gè)個(gè)認(rèn)定有神靈護(hù)佑，在戰(zhàn)斗中奮勇爭先，快速贏得了勝利。最后回師時(shí)，狄青的僚屬們一看才發(fā)現(xiàn)那些銅幣的兩面都是同樣的。事實(shí)上，聰穎的狄青便是注意到人們?cè)谟^察隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，往往過于相信本身的經(jīng)驗(yàn)，而無視了前提條件。對(duì)于狄青來說，100個(gè)錢面全部朝上，原本是個(gè)必然事件，但在別人看來，卻是幾乎不可能出現(xiàn)的。因此，觀察一種現(xiàn)象，不能無視它的前提。在一種前提下的隨機(jī)事件，在另一種前提下可能成為必然事件。同樣地，在一種前提下的必然事件，在另一種前提下也可能不出現(xiàn)?？梢?，前提不同的話，隨機(jī)事件的概率可能發(fā)生變化。這也便是我們所要研究的條件概率。2.初識(shí)條件概率——抽簽先后概率同樣？抽簽是生活常見的概率問題，也是條件概率中最常見的例子。抽簽先后與否公平，也即各人抽到獎(jiǎng)票的概率與否相等，大致有以下某些見解：(1)先抽比后抽可能性大。第一人抽的時(shí)候，獎(jiǎng)票還在；如果獎(jiǎng)票被第一種人抽去了，那背面的人就根本不用抽了。(2)后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，因此先難抽到獎(jiǎng)票，而對(duì)第二個(gè)人來說，這時(shí)簽紙總數(shù)減少了一張，因此抽中的概率變大。(3)先后抽的可能性同樣。當(dāng)每個(gè)人抽完簽之后都不看或者看了不聲張，每個(gè)人拿到獎(jiǎng)票的可能性是同樣的。這些疑惑預(yù)計(jì)不止學(xué)生存在，或許連某些大人也會(huì)覺得很奇怪?！皵?shù)學(xué)來源于生活，高于生活”，那如何讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度全方面來理解此問題呢？事實(shí)上，這是與條件概率有關(guān)的內(nèi)容，在此，我們能夠借助概率的知識(shí)，提出下列問題。例：假設(shè)三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三位同窗無放回地抽取。(1)可用什么模型來表述這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)？(2)最后一名同窗抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率與否比前兩名同窗小？如何解釋？(3)如果已經(jīng)懂得第一名同窗沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同窗抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率又是多少？如何解釋？根據(jù)學(xué)生的生活體驗(yàn)和之前的概率知識(shí)，學(xué)生能夠快速地得出答案，但至于為什么是這樣的成果，學(xué)生也只有一種感性認(rèn)識(shí)。如果在此沒有認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行分析，而直奔下一種主題——條件概率的概念，那會(huì)有欲速則不達(dá)的效果。因此，我把問題分成三個(gè)小問題，循序漸進(jìn)，讓知識(shí)在學(xué)生的近來發(fā)展區(qū)發(fā)生，使學(xué)生“跳一跳”能夠“摘到桃子”。大部學(xué)生都懂得每位同窗都有的概率抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，能夠想到運(yùn)用古典概型來描述此問題，因此在求解事件的概率時(shí)的辦法便是列出基本領(lǐng)件。分析以下：若抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券用表達(dá)，沒有抽到用表達(dá)，那么三名同窗的抽獎(jiǎng)成果可記為，用B表達(dá)事件“最后一名同窗抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則，由古典概型計(jì)算公式可知，最后一名同窗抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為。而當(dāng)?shù)谝幻皼]有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的時(shí)候，則中獎(jiǎng)只可能出現(xiàn)在另外兩名同窗身上，即能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有，因此最后一名同窗的中獎(jiǎng)概率也變大為。用A表達(dá)事件“第一名同窗抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則。這里，我們能夠稱此時(shí)的概率為在第一名同窗沒有抽到獎(jiǎng)券的條件A下，最后一名同窗的中獎(jiǎng)B事件下的概率，記為。這樣，我們通過對(duì)抽獎(jiǎng)例子的細(xì)致引導(dǎo)，能夠使學(xué)生對(duì)抽簽的概率有更全方面的理解，也形成對(duì)條件概率的初步認(rèn)識(shí)：每一種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，而條件概率是指當(dāng)實(shí)驗(yàn)成果的部分信息已經(jīng)懂得的條件下進(jìn)行的，即在原隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的條件下再加上某些附加信息。另外借助抽獎(jiǎng)的模型，學(xué)生能夠明白在已知第一名同窗沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的時(shí)候，原來考慮的樣本空間里的某些基本領(lǐng)件不可能發(fā)生，從而原來的樣本空間縮小為可能發(fā)生的已知的條件事件A，而此時(shí)若要考慮B事件的發(fā)生概率，但只能在可能發(fā)生的事件A的基礎(chǔ)來考慮。這能夠協(xié)助學(xué)生形成計(jì)算條件概率的基本辦法，通過縮小樣本空間來考慮。在此處由于抽簽問題是古典概型，能夠計(jì)算可能發(fā)生的基本領(lǐng)件數(shù)來求解，即。3.理解條件概率——骰子中的學(xué)問大一種概念的形成，單純從一種例子是很難講述清晰，特別是條件概率這個(gè)難理解的概念，會(huì)略顯單薄。下面我們還能夠從學(xué)生很熟悉的擲骰子的例子來闡明。此例相對(duì)于抽簽的例子有一種優(yōu)點(diǎn)，便是相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)，但又有點(diǎn)熟悉。抽簽的例子中事件B是事件A的子事件，在求解概率時(shí)，相對(duì)比較容易計(jì)算，并且不太懂的狀況下，也能根據(jù)直觀認(rèn)識(shí)求解出成果。下面擲骰子的例子能夠從多方面來協(xié)助學(xué)生形成更深層的概念，并且還能協(xié)助學(xué)生理清積事件與條件概率的關(guān)系，避免出現(xiàn)混淆。例：投擲紅、藍(lán)兩顆骰子，如果用x代表紅骰子所得點(diǎn)數(shù)，用y代表藍(lán)骰子所得點(diǎn)數(shù)，這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的基本領(lǐng)件空間能夠如何表達(dá)？（1）事件A=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，則P(A)=________（2）事件B=“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和不不大于8”，則P(B)=______（3）事件C=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6且兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和不不大于8”，則P(C)=__________（4）事件D=“已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6的前提下，兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和不不大于8”，則P(D)=___________此問題在設(shè)立的過程中，充足考慮了學(xué)生的基礎(chǔ)，從細(xì)處著手，前三個(gè)問題協(xié)助學(xué)生回想古典概型的概率求法以及積事件的知識(shí)，為下面學(xué)習(xí)新知識(shí)做好知識(shí)方面的鋪墊。同時(shí)借助了坐標(biāo)系來表達(dá)這個(gè)基本領(lǐng)件空間，數(shù)形結(jié)合解決此問題。條件概率與積事件概率在概率論的運(yùn)算或應(yīng)用中容易混淆，這兩種事件的概率現(xiàn)有本質(zhì)的區(qū)別又存在一定的聯(lián)系。對(duì)于條件概率和積事件概率，如果不能從本質(zhì)上把它們的區(qū)別搞清晰，那么就會(huì)造成在解題或?qū)嶋H應(yīng)用中經(jīng)常把應(yīng)屬于積事件概率的問題錯(cuò)誤地當(dāng)成條件概率的問題，有時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤還不易被發(fā)現(xiàn)。因此，在此設(shè)計(jì)了第（3）題的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生明確積事件的概念，為背面學(xué)習(xí)掃清障礙。為了讓學(xué)生有深刻和形象直觀的印象，我們還能夠讓學(xué)生用符號(hào)語言及圖形語言來描述一下事件C。第（4）題，能夠引導(dǎo)學(xué)生類比之前抽簽例子，從圖形來得出只能在A可能發(fā)生的狀況下來研究B的概率，運(yùn)用縮小樣本空間的觀點(diǎn)來算概率。從這里能夠看出條件概率事實(shí)上是僅局限于事件A這個(gè)范疇，來考察事件B發(fā)生的概率，而事件AB則是在整個(gè)樣本空間來考慮。此處類比兩個(gè)概率的求解過程，體現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)深化了對(duì)條件概率概念的理解。同時(shí)還能夠讓學(xué)生借助此題，觀察一下這三個(gè)概率之間的關(guān)系，得出條件概率的另外一種求解辦法，即。由此得出條件概率的普通求解辦法，合用于非古典概型。由于本題比較有代表性，我們能夠從中分析得出條件概率的有關(guān)性質(zhì)。由之前的兩個(gè)例子能夠得出，如果學(xué)有余力的話，還能夠借助本題，構(gòu)造不同的條件來研究一下與之間的大小關(guān)系。如：事件A=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3”，事件B=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為6”，此時(shí)。這樣能夠使學(xué)生對(duì)條件概率有更深層次的理解。4.應(yīng)用條件概率——生男生女概率同樣？在日常生活中，條件概率的應(yīng)用還是比較廣泛的。如：例題：一種家庭中有兩個(gè)小孩。假定生男、生女是等可能的，已知這個(gè)家庭有一種是女孩，你能算一下另一種小孩是男孩的概率有多大嗎？這個(gè)問題也是一種難點(diǎn)，能夠讓學(xué)生進(jìn)行討論，在交流中感悟知識(shí)，解決問題。不妨記基本領(lǐng)件空間為，A=“其中一種是女孩”，B=“其中一種是男孩”，下面把學(xué)生討論的某些成果收集以下：(1)容易受生物學(xué)知識(shí)干擾，得生男孩的概率是。事實(shí)上學(xué)生沒有把題目讀清晰，如果題目變成是“已知這個(gè)家庭第一種小孩是女孩，問第二個(gè)是男孩的概率多大”，那固然是。但本題卻是在已有了兩個(gè)小孩，在已經(jīng)懂得其中一種是女孩的條件下，求另一種小孩是男孩的概率，并且這一種女孩也不懂得排行第幾。(2)運(yùn)用縮小樣本空間的辦法，計(jì)算基本領(lǐng)件空間所含基本領(lǐng)件上出錯(cuò)，即把（男，女）與（女，男）視為同一種事件（一男，一女）。學(xué)生們自己找出問題所在：等可能性。(3)運(yùn)用定義求解時(shí)概率出錯(cuò)，即，，從而得出。問題出在：事件A實(shí)際為“最少有一種是女孩”，在算A的基本領(lǐng)件時(shí)，如果直接借助挑出某一種是女生，則也是犯了與(2)同樣的錯(cuò)誤。固然把A的基本領(lǐng)件算成也是錯(cuò)誤的，里面出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算的問題。“最少”的問題對(duì)的的求解辦法應(yīng)當(dāng)從正面分類或背面求解。向?qū)W生傳授概率知識(shí)，這無疑是概率課的重要任務(wù)。問題是如何把概率課講“懂”，使學(xué)生真正把知識(shí)學(xué)好。因此，從條件概率的教學(xué)過程中，要解決學(xué)生的疑惑，形成概念，教師要從多方面進(jìn)行細(xì)致考慮，并非簡樸地把知識(shí)、公式告訴學(xué)生就行。概率知識(shí)有著獨(dú)特的背景知識(shí)，因此在備學(xué)時(shí)要盡量發(fā)掘有關(guān)概論、定理、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程，理解那些被寫到科普文章里去的數(shù)學(xué)史料，如此節(jié)課的狄青擲100枚硬幣的故事。在概念形成教學(xué)中，教師還必須讓學(xué)生進(jìn)行充足的自