專題10三角形中的重要模型-垂美四邊形與378、578模型模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半?！咀冃?】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=3，BC=5，則____________．例2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對(duì)角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．例3．（2023·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個(gè)解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．32例4．（2023·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過勾股定理即可證明．應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．例5．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱________，________．(2)如圖（1），已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），，，請(qǐng)你直接寫出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，，為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為________；(3)如圖（2），將繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，，．求證：，即四邊形是勾股四邊形；(4)若將圖（2）中繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接，，則________°，四邊形是勾股四邊形．例6．（2022秋·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號(hào)）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由．(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對(duì)角線交于點(diǎn)，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求．模型2、378和578模型當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長為8的等邊三角形。條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時(shí)；結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·浙江溫州·九年級(jí)校考期末）邊長為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過A作AD垂直BC于點(diǎn)D并求出CD的長度．例4．（2023·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（

）A．24 B．56 C．48 D．112例5．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┮阎鰽BC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，若兩個(gè)三角形全等，則x=__．例6．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．252．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是矩形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．3．（2023·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．643．（2023·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°4．（2023·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．286．（2023·江蘇南通·九年級(jí)?？计谥校┒x：對(duì)角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形．已知垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC＋BD＝12，則當(dāng)AC＝時(shí)，四邊形ABCD的面積最大．7．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形的對(duì)角線、互相垂直于點(diǎn)，，，，那么．8．（2023·山東·?？既＃┤绻谥?，，，斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂真的射線，上滑動(dòng)，下列結(jié)論：①若C，O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則②C，O兩點(diǎn)距離的最大值為4：③四邊形的面積為；④斜邊的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長度是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________9．（2023春·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)角線垂直的四邊形叫做“對(duì)垂四邊形”．如圖，在“對(duì)垂四邊形”中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，且四邊形是“對(duì)垂四邊形”，則四邊形的面積是．10、當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積之和是．11．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點(diǎn)在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．12．（2023春·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)．若，，則．13．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．14．（2023·山西太原·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）認(rèn)識(shí)新知：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知OB＝OD，AB＝AD，判斷：四邊形ABCD____垂美四邊形（填“是”或“否”）；(2)性質(zhì)探究：如圖2，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，則AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．②猜想AB、BC、CD、AD這四條邊的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．(3)解決問題：如圖3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，連結(jié)CE、BG、GE，則GE＝____．15．（2022春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)尺規(guī)作圖：以已知線段為對(duì)角線作一個(gè)垂美四邊形，使其對(duì)角線交于點(diǎn)O；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知四邊形是垂美四邊形，且，則它的面積為________；(3)如圖，四邊形是垂美四邊形，，探究a、b、c、d的數(shù)量關(guān)系；(4)如圖，已知D、E分別是中邊的中點(diǎn)，，請(qǐng)運(yùn)用上題的結(jié)論，求的長．16．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，已知四邊形是垂美四邊形．①若，則它的面積為_____________；②若，探究的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，已知分別是中邊的中點(diǎn)，，，請(qǐng)運(yùn)用②中的結(jié)論，直接寫出的長為___________________．17．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）若四邊形對(duì)角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對(duì)垂”四邊形．特征辨析(1)下列4個(gè)圖中，四邊形不是“對(duì)垂”四邊形的是（）歸納探究(2)如圖1，于O，動(dòng)點(diǎn)P，Q都從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿運(yùn)動(dòng)到B，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到C．①當(dāng)，，，時(shí)，則___________，___________，據(jù)此結(jié)合（1）中相關(guān)圖形試猜想“對(duì)垂”四邊形兩組對(duì)邊與之間的數(shù)量關(guān)系：___________（用等式表示）；②在“對(duì)垂”四邊形中，當(dāng)①中的條件都不存在時(shí)，①中所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．拓展應(yīng)用(3)如圖2，四邊形和四邊形均為正方形，點(diǎn)B恰好在的延長線上，且已知，，求的長．18．（2022秋·天津·九年級(jí)校考期末）如圖，四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，且．設(shè)，(1)用含的式子表示：_____________；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求的長；19．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN．若MN＝，則S△ABC＝．20．（2023·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明學(xué)習(xí)了特殊的四邊形后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，