專題23.6相似三角形的性質(zhì)一、單選題1．已知，與的面積之比為1：2，若邊上的中線長為1，則邊上的中線長是（）A． B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由，與的面積之比為1：2可知：相似比為，則對應中線的比為，即可求出答案．【詳解】∵，與的面積之比為1：2∴相似比為∴其對應中線的比為∵邊上的中線長為1∴邊上的中線長是故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的相似比的相關知識點，熟練掌握相似三角形面積比、相似比、對應邊的高線、中線的比的關系是解題的關鍵，屬于基礎知識題．2．兩三角形的相似比是2：3，則其對應角的角平分線之比是（）A． B．2：3 C．4：9 D．8：27【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形對應角平分線的比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵兩三角形的相似比是2：3，∴相似三角形對應角平分線的比是2：3，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應角平分線的比，對應高的比，對應中線的比都等于相似比的性質(zhì)．3．兩個相似三角形的周長比為1：4，那么它們的對應邊上的高的比為（）A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的對應邊上的高的比不同【答案】A【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結論．【詳解】解：∵兩個相似三角形的周長比為1：4，∴它們的對應邊上的高比為1：4．故選：A．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對應高的比等于相似比是解答此題的關鍵．4．一個直角三角形木架的兩條直角邊的邊長分別是，．現(xiàn)要做一個與其相似的三角形木架，如果以長的木條為其中一邊，那么另兩邊中長度最大的一邊最多可達到（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，以長的木條為直角邊，設相似的三角形中斜邊長為，利用相似三角形的對應邊的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【詳解】∵直角三角形兩條直角邊分別是，，∴斜邊，∵要做一個與其相似的三角形木架，∴兩個三角形對應邊成比例，∵直角三角形中斜邊最大，∴以長的木條為直角邊，設相似的三角形中斜邊長為，則有2種情況，①，解得：，②，解得：，∴另兩邊中長度最大的一邊最多可達到，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應邊的比相等進行計算是解題的關鍵．5．如圖，已知點P是邊長為5的正方形內(nèi)一點，且，垂足是點A，若在射線上找一點M，使以點A，M，D為頂點的三角形與相似，則長為（）A．2 B．5 C．2或 D．2或【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等求出，然后分和是對應邊，和是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，當時，則，即，解得：；當時，則，即，解得：，綜上所述，為2或．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形的對應邊成比例，難點在于分情況討論．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，平移的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BO′=3，于是得到結論．【詳解】解：如圖，設正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點A，B的坐標分別為（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．二、填空題7．已知，當______時，．【答案】【分析】根據(jù)三角形相似，對應邊成比例的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：∵∴，即解得：故答案為．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的有關性質(zhì)是解題的關鍵．8．已知，且相似比為，若的面積為，則的面積為_________．【答案】2【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求解即可.【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為3，∴△ABC與△DEF面積的比是9，∵△ABC的面積為18，∴△DEF的面積為18÷9=2.故答案為：2.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，如果兩個三角形相似，那么它們的對應角相等，對應邊的比，對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比，對應周長的比都等于相似比；它們對應面積的比等于相似比的平方.9．如果兩個相似三角形的周長的比等于1：3，那么它們對應高的比為__________．【答案】1：3【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對應高線的比等于相似比可得到答案．【詳解】解：∵兩個相似三角形的周長比為1：3，∴兩個相似三角形的相似比為1：3，∴對應高線的比為：1：3，故答案為：1：3．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比、對應高線比等于相似比是解題的關鍵．10．兩個相似三角形的面積比為，則它們的相似比為_________．【答案】1：2【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】兩個相似三角形的面積比為，則其相似比為．故答案為：．【點睛】題目主要考察相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，理解掌握性質(zhì)是解題關鍵．11．如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝__．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形對應中線的比等于相似比求出，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：∵M，N分別是DE，BC的中點，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝()2＝，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應中線的比等于相似比是解題的關鍵．12．如圖1，在四邊形中，，，點沿著的路徑以的速度勻速運動，到達點停止運動，始終與直線保持垂直，與或交于點，記線段的長度為，與時間的關系圖如圖2所示，則圖中的值為____．

【答案】7.8【分析】由圖象可知，點E從點A運動到點B用了4s，可得AB＝8cm，此時BM＝EF＝6cm，根據(jù)勾股定理可得AM＝10cm；當t＝6時，EF＝6cm，可得DN＝6cm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CN＝3.6cm，進而得出a的值．【詳解】解：如圖所示，作BM⊥AB，交AD于點M，作DN∥BM，交BC于點N，

由題意可知，AB＝4×2＝8（cm），BM＝6cm，DN＝6cm，∴AM＝＝＝10，∵BC∥AD，∠ADC＝90°，∴∠C＝90°，又∵DN∥BM，∴∠CND＝∠ADN＝∠AMB，∴△CDN∽△BAM，∴CN＝6×＝3.6（cm），∴a＝6＋3.6÷2＝7.8．故答案為：7.8【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，理清題意，利用數(shù)形結合的方法得出相關線段的長是解答本題的關鍵．13．已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點．當?shù)闹底钚r，的面積為__________．【答案】4【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，要使的值最小，需運用對稱相關知識求出點E的坐標，然后求的面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意可求出，拋物線的對稱軸為：，根據(jù)函數(shù)對稱關系，點B關于的對稱點為點A，連接AD與交于點E，此時的值最小，過D點作x軸垂線，垂足為F，設拋物線對稱軸與x軸交點為G，∵，∴，∴，∴，過點C作的垂線，垂足為H，所以四邊形ACHE的面積等于與梯形ACHG的面積和，即，則S四邊形ACHE-，故答案為：4．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的交點坐標、對稱軸、相似三角形、對稱等知識點，根據(jù)題意畫出圖形，可以根據(jù)對稱求出點E的坐標是解決本題的關鍵．14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得點C落在斜邊上某一點D處，折痕為EF（E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上）．（1）若四邊形CEDF為正方形，則EF＝________．（2）若△CEF與△ABC相似，則AD的長為________．【答案】或15【分析】（1）若CEDF為正方形，則可得出對角線EF=EC,通過△AED～△ACB,可得，進而出CE=，最后求出即可；（2）若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若△CEF～△CAB，如圖二所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高,利用三角函數(shù)即可求出AD的長；②若△CEF～△CBA，如圖三所示．由相似三角形角之間的關系，可以推出△DAC,△DBC是等腰三角形,從而得到CD＝AD＝BD，即D點為AB的中點,即可直接求出AD的長．【詳解】解:（1）如圖1，連接CD、EF交于點O.∵CEDF為正方形，AC=6,BC=8∴AB=10設EC=x,則CF=DE=x∴EF=x，AE=6-x在△AED和△ACB中，∵=,∴△AED～△ACB∴∴∴48-8x=6x∴x=∴故EF的值為（2）若△CEF與△ABC相似，則分兩種情況：①若△CEF～△CAB，如圖2所示∴∴EF∥AB由折疊性質(zhì)可知∴,則CD為AB邊上的高在Rt△ABC中，∴∴②若△CEF～△CBA，如圖3所示，則,由折疊性質(zhì)得：又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴△DAC是等腰三角形,AD＝CD．同理可得：CD＝BD，∴D點為AB的中點，∴AD＝故答案為：或5.【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，難度適中，運用分類討論及數(shù)形結合思想是解題的關鍵．三、解答題15．如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，的頂點均在格點上．（1）在該網(wǎng)格中畫出（的頂點均在格點上），使；（2）請寫出（1）中作圖的主要步驟，并說明和相似的依據(jù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，結合網(wǎng)格特點作圖即可；

（2）利用勾股定理得出線段的長，并根據(jù)網(wǎng)格特點得出角的度數(shù)，再依據(jù)相似三角形的判定求解可得．【詳解】（1）如圖所示，即為所求：（2）先取一格點，在水平方向上取，再在網(wǎng)格中取一格點，使，且，則，，，．【點睛】本題主要考查作圖?相似變換，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，并根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出變換后的對應點位置及勾股定理．16．如圖，中，為斜邊上的高，E為的中點，的延長線交于F，交于G，求證：FG2＝FC?FB．【答案】見解析【分析】延長AC，GF相交于點H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性質(zhì)得到，即CF?BF＝FG?HF，然后只要證明FG＝HF即可．【詳解】證明：延長AC，GF相交于點H，∵FG⊥AB（已知）∴∠FGB＝90°（垂直的定義）∵∠ACB＝90°（已知）∴∠FGB＝∠ACB（等量代換）∵∠1＝∠2（對頂角相等）∴△HCF∽△BGF（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴（相似三角形對應邊成比例）即CF?BF＝FG?HF（比例的基本性質(zhì)）∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB（已知）∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定義）∴CDHG（同位角相等，兩直線平行）∴∠3＝∠H（兩直線平行，同位角相等）∵∠3＝∠H，∠6＝∠6∴△ACE∽△AHF（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴（相似三角形對應邊成比例）∵∠4＝∠5，∠7＝∠7∴△AED∽△AFG（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴（相似三角形對應邊成比例）∴（等量代換）∵E是CD的中點（已知）∴CE＝DE（中點的定義）∴FH＝FG∵CF?BF＝FG?HF（已證）∴CF?BF＝FG?FG即FG2＝FC?FB．．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定方法與性質(zhì)，通過作輔助線證明三角形相似，由相似三角形的對應邊成比例，列出比例式，進而得出結論．17．如圖，在梯形中，，若的平分線于點H，，且四邊形的面積為21，求的面積．【答案】27【分析】延長交于點P，構造相似三角形，轉化為相似三角形的面積比進行求解．【詳解】解：延長交于點P，∵，平分∴，又∵∴∴，且，∵，∴∴∵，∴，∴設，則∵，∴∴∴，∵，∴【點睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的構造方法及有關性質(zhì)是解題的關鍵．18．已知的面積為是上的動點，過作的平行線分別交于，設，平行四邊形的面積是．求：（1）與的函數(shù)關系式；（2）當是何值時，有最大或最小值？求出此值．【答案】（1）；（2）當時，有最大值．【分析】（1）先說明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，進一步得到；同理得到，最后根據(jù)圖形的面積關系解答即可；（2）由（1）可得，然后將函數(shù)解析式化為頂點式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵ME//AC∴∵，即．，同理可得：，即∴（2）．-2P<0，∴當時，有最大值．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活應用相關知識成為解答本題的關鍵．19．如圖，在中，，．（1）在上求作一點，使得；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）分別以A、B兩點為圓心，大于AB長度為半徑畫弧，使其交于兩點，連接兩點所在直線與BC交點即為點D．（2）連接AD，在上一小題的條件下，△ADC是等腰三角形，可得CA＝CD，△ABC∽△DAB，根據(jù)相似三角形對應線段成比例，計算可得BD的長．【詳解】（1）如圖所示，點D即為所求．（2）如圖，連接AD，∵，，，∴，，∴，，∴DC＝AC＝AB＝2，∴△A