第8講圓

知識點1圓的有關性質(zhì)

1.基本性質(zhì)

①圓心角的度數(shù)和它所對弧的度數(shù)相等；

②同圓或等圓的半徑相等；

③圓既是軸對稱圖形（無數(shù)條對稱軸），又是中心對稱圖形，具有旋轉不變性；

④圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

2.圓心角、弧、弦之間的關系

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量相等，那么他們所對

應的其余各組量也分別相等.

3.圓周角

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；

推論2:半圓（或直徑）所對的圓周角是90°,90。的圓周角所對的弦是直徑；

推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

注意：等弧指的是能互相重合的弧，長度相等的弧不一定是等弧.

【典例】

1.如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，且NBAC=20°,而=前，求：NBCD

的度數(shù).

D

2.如圖，AB是。。的直徑，C是皿的中點，CEXAB于點E,BD交CE于點F.

(1)求證：CF=BF;

(2)若CD=6,AC=8,求。。的半徑及CE的長.

【方法總結】

方法：解決與圓有關的角度的計算時，T殳先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所

對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等、同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關

系求解，特別的，當有直徑這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一性質(zhì).

【隨堂練習】

1.下列判斷結論正確的有()

(1)直徑是圓中最大的弦；(2)長度相等的兩條弧一定是等弧；(3)面積相等的兩個圓是

等圓；(4)同一條弦所對的兩條弧一定是等弧；(5)圓上任意兩點間的部分是圓的弦.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖所示，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形/BCD=120。，則NBOD的大小是()

A.80°B.120°C.100°D.90°

4.如圖，AB是00的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,若BC=CD=DA=2cm,則OO的

A.4ncmB.6TlemC.8ncmD.lOncm

5.AB是。O的直徑，點C在圓上，zABC=65°,那么NOCA的度數(shù)是()

A.25°B.35°C.15°D,20°

6.如圖所示,MBC的三個頂點在。。上，D是通上的點，E是加上的點，若NBAC=50°,

貝IUD+NE的度數(shù)為()

A

A.220°B.230°C.240°D.250°

7如圖，AB為OO的直徑，AC=2,BC=4,CD=BD=DE,則CE=()

C.3V10-V2D.3V2-V10

知識點2垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

【典例】

1.如圖，OO的半徑為5,弦AB±CD于E,AB=CD=8.

(1)求證:AC=BD;

(2)若OF^CD于F,OG_LAB于G,試說明四邊形OFEG是正方形.

A

【方法總結】

如圖：在。。中，CD,AB（非直徑）為弦.

結論：?AB±CD；②AE=BE；?AD=BD；@AC=BC；@CD為直徑.

由其中任意2個都能推出其他3個.

常作輔助線：連接0B.

關于垂徑定理的題目常與勾股定理、垂直的證明等相結合.

【隨堂練習】

1.如圖，坐標平面內(nèi)，A、B兩點分別為圓P與x軸、v軸的交點，有一直線?通過P點且

與AB垂直，C點為L與y軸的交點.若A、B、C的坐標分別為（a,0）,（0,4）,（0,

-5）,其中2<0,則2的值為（）

A.-2V14B.-2V5C.-8D.-7

2.如圖AC是。。的直徑，弦BDJLAO于E連接BC過點。作?？贐C于F若BD=8cm,

AE=2cm,貝!]OF的長度是()

A.3cmB.V6cmC.2.5cmD.V5cm

3.如圖，A城氣象臺測得臺風中心在城正西方向300千米的B處,并以每小時10,千米的

速度沿北偏東60。的BF方向移動，距臺風中心200千米的范圍是受臺風影響的區(qū)域.若A

城受到這次臺風的影響，則A城遭受這次臺風影響的時間為（）

A.三小時B.10小時C.5小時D.20小時

4.如圖，。0經(jīng)過菱形ABCO的頂點A、B、C,若OP±AB交于點P,則NPAB的大

小為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

5.如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓心坐標是(3,a)(a>3),半徑為3,函數(shù)y=x

的圖象被OP截得的弦AB的長為4立,則a的值是()

知識點3圓的切線

1.點、直線與圓的位置關系

設。。的半徑為r,點P到圓心O的距離為山，圓心O到直線I的距離為d2.

①點P在。。外or>di;

②點P在。。上or=di;

③點P在。。內(nèi)or<di;

④直線I和。。相交or<d2；

⑤直線I和。。相切or=d2；

⑥直線I和。。相離or>ch

2.切線的性質(zhì)與判定

切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.

推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必過切點；

②經(jīng)過切點且垂直于切線的切線的直線必過圓心.

切線的判定方法：

①和圓有唯一公共點的直線是圓的切線；

②如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線；

③經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

常做輔助線：連接圓心和切點.

3.切線長即切線長定理

切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點與切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這一點和圓心的連線平

分兩條切線的夾角.

【典例】

1.如圖所示，AB是。0的直徑，AD與相切于點A,DE與。0相切于點E,點C為

DE延長線上一點，且CE=CB.

(1)求證：BC為。。的切線；

(2)若AB=4,AD=1,求舜殳CE的長.

CR

【方法總結】

證明直線和圓相切，一般有兩種情況：

①已知直線和圓有公共點，這時連接圓心與公共點，證明該半徑與已知直線垂直，簡稱"連

半徑,證垂直"；

②不知直線與圓有公共點，這時過圓心作與已知直線的垂線段，證明此垂線段的長度等于半

徑,簡稱“作垂直，證半徑”.

【隨堂練習】

1.如圖，BM與相切于點B,若NMBA=140。，則NACB的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

2.如圖，一把直尺，60。的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60。角與直尺交點，AB=3,則

光盤的直徑是（）

A.3B.36C.6D.6V3

3如圖，點P是00外任意一點，PM、PN分別是OO的切線，M、N是切點.設OP與

00交于點K.則點K是△「乂1\1的（）

A.三條高線的交點B.三條中線的交點

C.三個角的角平分線的交點D.三條邊的垂直平分線的交點

4.如圖，直線kHL,。。與11和12分別相切于點A和點B,點M和點N分別是h和12±

的動點，MN沿h和12平移，若。。的半徑為1,21=60。，下列結論錯誤的是（）

473

A.MN=——B.若MN與OO相切，則AM=V3

3

C.h和I2的E巨離為2D.若NMON=90。，則MN與OO相切

知識點4三角形的外心與內(nèi)心

1.確定圓的條件

不在同一直線上的三個點確定一個圓.

反證法：不直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛

盾，由矛盾斷定所作的假設不正確，從而得到原命題題成立，這種判定方法叫做反證法.

2.三角形的外心

外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即外接圓的圓心.如圖：

性質(zhì)：外心到三角形三個頂點的距離相等.

3.三角形的內(nèi)心

內(nèi)心：三角形三個內(nèi)角的平分線的交點，即內(nèi)切圓的圓心.如圖：

性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.

拓展：直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊的差的一半.

【典例】

1.如圖,RfABC中,zACB=90°,BC=5,AC=12,I是RbABC的內(nèi)心,連接CI,AI,

求AQA外接圓的半徑.

【方法總結】

拓展：

如果三角形的三邊長分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形的面積S=|(a+b+c)r.

【隨堂練習】

1.如圖，圓。是SBC的內(nèi)切圓，分別切BA、BC、AC于點E、F、D,點P在弧DE上，

如果zEPF=70°,那么NB=()

A.40°B.50°C.60°D.70°

2.如圖點。為SBC的外心點I為SBC的內(nèi)心若NBOC=140。貝（INBIC的度數(shù)為（）

A.110°B.125°C.130°D.140°

3.如圖，點E是MBC的內(nèi)心，AE的延長線和SBC的外接圓相交于點D,連接BD,BE,

CE,若NCBD=33°,貝!UBEC=()

A.66°B.114°C.123°D.132°

4.如圖，RfABC中,zC=90°,AC=3,BC=4,Ol為SBC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點,

則AI的長為（）

A.1B.2C.V5D.5

知識點5與圓有關的計算

1.多邊形與圓

在正n變形中，及為正n邊形的半徑，有下列關系：

①邊長：an=2Rn-sin—;②周長：Pn=n-an；

③邊心距：rn=Rn〈osR;④面積：Sn=1an-Rn-n;

⑤內(nèi)角度數(shù)：（弋】8。。.⑥外角度數(shù)：*；

⑦中心角度數(shù)：亭

2.弧長與扇形的面積

若一條弧所對的圓心角是n°,半徑是R,弧長1=黑.

若一個扇形的圓心角是n°,半徑是R,弧長為I,則S扇形=噂4區(qū)

ooU，

拓展：S弓形=S扇形士SA.

3.圓錐的側面積與全面積

若一個圓錐的底面半徑為r,母線長為a,則S全=5側+S底Gra+nH.

【典例】

L如圖,在3BC中,zACB=90°,AC=BC=2,將3BC繞AC的中點D逆時針旋轉90°

得到AA'B'C',其中點B的運動路徑為由’,求圖中陰影部分的面積.

B'

【方法總結】

求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；②和差法；③割補法；④對稱轉化法.

【隨堂練習】

1.用半徑為8的半圓圍成一個圓錐的側面，則圓錐的底面半徑等于（）

A.4B.6C.16nD.8

2.如圖是一個餐盤，它的外圍是由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三

段等弧組成，已知正三角形的邊長為10,則該餐盤的面積是（）

A.50n-50百B.50n-2573C.25n+50V3D.501T

3.如圖，在矩形ABCD中AB=V2,BC=1,將矩形ABCD繞頂點B旋轉得到矩形A'BC'D,

點A恰好落在矩形ABCD的邊CD上，貝！|AD掃過的部分（即陰影部分）面積為（）

AD

A-iB.2夜*C,V2-^D.I

4.如圖，AB為半圓O的直徑，C為AO的中點，CD±AB交半圓于點D,以C為圓心，CD

為半徑畫弧交AB于E點，若AB=4,則圖中陰影部分的面積是（）

7,V357V3

AA.-71d——B.—7TrC.—n-----D.|九

12212122

綜合運用

1.如圖，。人過點0（0,0）,（：（百，0）,口（0,1）,點8是*軸下方OA上的一點，

連接BO,BD,則NOBD的度數(shù)是.

2.如圖，P是00外的一點，PA、PB分別與相切于點A、B,C是AB上的任意一點，

過點C的切線分別交PA、PB于點D、E.若PA=4,JUMPED的周長為.

3.如圖，正方