3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程考點一雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)、當(dāng)a＜c時，點P的軌跡是雙曲線；(2)、當(dāng)a＝c時，點P的軌跡是兩條射線；(3)、當(dāng)a＞c時，點P不存在．考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長重難點題型突破一雙曲線的定義及其軌跡方程的求法例1．（1）、（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．（2）、（2022·全國·高二課時練習(xí)）若動圓與圓和圓都外切，則動圓圓心的軌跡為（

）A．雙曲線的一支 B．圓C．拋物線 D．雙曲線（3）、（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谀┮粍訄A過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練11】、（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程表示的焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練12】、（2019·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）高二期中）已知點，動圓C與直線相切于點B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點P，則點P的軌跡方程為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練13】、（2023秋·高二課時練習(xí)）（多選題）已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線C是橢圓 B．當(dāng)或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則 D．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則重難點題型突破二雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例2．（1）、（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線：（，）的離心率為2，則漸近線方程是（

）A． B．C． D．（2）、（2020·全國高二單元測試）焦點為，且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是（）A． B．C． D．（3）、（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線的離心率為2，則右焦點到其漸近線的距離為．（4）、（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））雙曲線的實軸長為4，則其漸近線方程為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練21】、（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為【變式訓(xùn)練22】、（2021·全國高二課時練習(xí)）以橢圓長軸的端點為焦點，且經(jīng)過點(3，)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【變式訓(xùn)練23】．（2021·全國高二課時練習(xí)）焦點在x軸上，經(jīng)過點P(4，－2)和點Q(2，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【變式訓(xùn)練24】、（2023秋·全國·高二期中）以雙曲線的焦點為頂點，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．重難點題型突破三求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩焦點坐標(biāo)為，，且；(2)兩焦點坐標(biāo)為，，且經(jīng)過點；(3)焦點在y上，且經(jīng)過點和．【變式訓(xùn)練31】．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒壷袑W(xué)高二期末（文））求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點坐標(biāo)為，且經(jīng)過點；(2)焦點在坐標(biāo)軸上，經(jīng)過點.【變式訓(xùn)練32】．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別是，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于；(2)焦點在軸上，經(jīng)過點和點．(3)經(jīng)過點和．(4)已知與橢圓共焦點的雙曲線過點【變式訓(xùn)練33】．（2022秋·浙江嘉興·高二校考期中）已知方程（且）(1)若方程表示焦點在上的橢圓，且離心率為，求的值；(2)若方程表示等軸雙曲線，求的值及雙曲線的焦點坐標(biāo).重難點題型突破四雙曲線的綜合性質(zhì)例4．（1）、（2022·全國·高二課時練習(xí)）人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)．如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．已知雙曲線的方程為，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時（其中為入射點），的大小為（

）A． B． C． D．（2）．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線：與橢圓：至多有一個公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練41】．（2023·四川成都·川大附中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線G的方程，其左、右焦點分別是，，已知點P坐標(biāo)為，雙曲線G上點，滿足，則．【變式訓(xùn)練42】、（2022秋·湖南懷化·高二懷化市第三中學(xué)?？计?/p>