正導(dǎo)性scsshu-scigh補(bǔ)的性質(zhì)

1關(guān)于aaaaa111111111我們研究了基于正位濾波矩陣sch補(bǔ)的列方程概率性質(zhì)，得出了一些結(jié)論。研究了正位矩陣sch補(bǔ)的特征值和行為特征的性質(zhì)，并獲得了其他結(jié)果。本文中,Mn表示n階復(fù)矩陣空間,A正定(半正定),表示為A>0(A≥0);A>B(A≥B)表示A-B>0(A-B≥0);A∈Mn,λ(A)表示A的特征值的集合.若A的特征值為實(shí)數(shù),λ1(A)≤λ2(A)≤…≤λn(A)表示A的特征值的遞增排序.用A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置.下面是我們需要的一些定義和引理.定義1設(shè)A=(aij)∈Mn,它的跡為trA=n∑i=1aii.A=∑i=1naii.定義2設(shè)表示n×n階矩陣.A11∈Mk是非奇異主子陣,我們稱A22-A21A-111A12是A關(guān)于A11的Schur補(bǔ),記為A/A11引理1(7.7.4..P471)設(shè)A,B∈Mn是正定矩陣,若A≥B,那么λi(A)≥λi(B)引理2若存在非奇異陣Ρ?|Ρ|=1P?|P|=1,使得,那么λ(B)∪λ(C)=λ(A)證因?yàn)閨(λΙ-A)|=|Ρ-1||λΙk-B00λΙn-k-C||(Ρ*)-1)|=|λΙk-B||λΙn-k-C|證因?yàn)閨(λI?A)|=|P?1|∣∣∣λIk?B00λIn?k?C∣∣∣|(P?)?1)|=|λIk?B||λIn?k?C|所以λ(B)∪λ(C)=λ(A)引理3若A≥0,B≥0,那么A+B≥0引理4若A∈Mn是半正定厄米特矩陣,A11∈Mk是A非奇異主子陣,那么A/A11半正定.證設(shè)因A半正定,由引理2,知A/A11半正定.特別當(dāng)A22=A*12?12A-111?111A12時(shí),ΡAΡ*=(A11000)≥0,記?A=(A11A12A*12A*12A-111A12)有?A≥0PAP?=(A11000)≥0,記A?=(A11A?12A12A?12A?111A12)有A?≥0同樣,設(shè)是半正定厄米特矩陣,B11∈Mk是A非奇異主子陣,有?B≥0.B?≥0.綜上,有?A+?B≥0A?+B?≥0于是由引理4知:(?A+?B)/(A11+B11)≥0(A?+B?)/(A11+B11)≥0引理5(4.3.18..P191)設(shè)A∈Mn是厄米特矩陣,1≤r≤n,那么對(duì)U∈Mn,r,U*U=I∈Mr,有r∑i=1λi(A)=minU*U=Ι∈ΜrtrU*AU∑i=1rλi(A)=minU?U=I∈MrtrU?AU2篩選1.b/bia/a1、a/a11b/b1、tr1m1i1+b/b1的情形,假設(shè)多個(gè)測(cè)定一個(gè)格局,一個(gè)假設(shè)ki1的1.定理1設(shè)是正定厄米特矩陣,且A11,B11∈Mk分別是A,B的非奇異主子陣,那么于是(A+B)/(A11+B11)≥A/A11+B/B11(A+B)/(A11+B11)≥A/A11+B/B11注意到(A+B)/(A11+B11),A/A11,B/B11均為n-k階正定厄米特矩陣,由引理1容易得到λi((A+B)/(A11+B11))≥λi(A/A11+B/B11)λi((A+B)/(A11+B11))≥λi(A/A11+B/B11)(1)式兩邊對(duì)i求和,得下列不等式k∑i=1λi((A+B)/(A11+B11))≥k∑i=1λi(A/A11+B/B11)∑i=1kλi((A+B)/(A11+B11))≥∑i=1kλi(A/A11+B/B11)考慮定理1中A/A11,B/B11是厄米特矩陣,由引理5k∑i=1λi(A/A11+B/B11)=minU*U=Ι∈ΜktrU*(A/A11+B/B11)U=minU*U=Ι∈Μk(trU*(A/A11)U+trU*(B/B11)U)≥minU*U=Ι∈ΜktrU*(A/A11)U+minU*U=Ι∈ΜkU*(B/B11)U=k∑i=1λi(A/A11)+k∑i=1λi(B/B11)∑i=1kλi(A/A11+B/B11)=minU?U=I∈MktrU?(A/A11+B/B11)U=minU?U=I∈Mk(trU?(A/A11)U+trU?(B/B11)U)≥minU?U=I∈MktrU?(A/A11)U+minU?U=I∈MkU?(B/B11)U=∑i=1kλi(A/A11)+∑i=1kλi(B/B11)于是可得下列不等式k∑i=1λi((A+B)/(A11+B11))≥k∑i=1λi(A/A11)+k∑i=1λi(B/B11)(2)∑i=1kλi((A+B)/(A11+B11))≥∑i=1kλi(A/A11)+∑i=1kλi(B/B11)(2)k=n時(shí),tr((A+B)/(A11+B11))≥tr(A/A11)+tr(B/B11)(3)tr((A+B)/(A11+B11))≥tr(A/A11)+tr(B/B11)(3)公式(1)(2)(3)不難推到對(duì)于多個(gè)正定厄米特矩陣的情形,即定理2設(shè)A(j)∈Mn,j=1,2,…,m,是正定厄米特矩陣,且A(j)11(j)11∈Mk分別是A(j)的非奇異主子陣,那么λi(m∑j=1A(j)/m∑j=1A(j)11)≥λi(m∑j=1A(j)/A(j)11)(1′)k∑i