2023-2024學(xué)年山西介休市高三上冊第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A．B．或C．D．或2．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．43．若角的終邊上有一點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C．-1 D．4．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若，，，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

10．已知，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為.若，且，則（

）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．有最大值 D．沒有極值12．已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若，，且為偶函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱D．函數(shù)是周期為1的函數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.14．大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)的倍時(shí)，它的游速是.15．設(shè)，則.16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，方程的所有解從小到大依次記為，則的所有可能取值集合為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知，.(1)求的值；(2)求的值.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.19．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.(1)求，的解析式；(2)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿足，且長度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)A到小島建三段棧道，與，水平面上的點(diǎn)B在線段上，且，均與圓C相切，切點(diǎn)分別為D，E，其中棧道，，和小島在同一個(gè)平面上.此外在半圓小島上再修建棧道，以及，需要修建的棧道總長度的最小值為多少百米？22．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1．D【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算后判斷．【詳解】因?yàn)榧?，，所以或，所以或，故選：D．2．C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性求解．【詳解】的最小正周期為.故選：C.3．C【分析】根據(jù)公式，即可得到本題答案.【詳解】由已知，得，解得.因?yàn)?，所以，則.故選：C4．B【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，滿足“”，但不滿足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.綜上，可知“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．A【分析】根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號(hào)后，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解．【詳解】要使在上為單調(diào)函數(shù)，則或解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.6．B【分析】借助函數(shù)圖象，可直接判斷的大小關(guān)系.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中作出，，，的圖象，由圖象可知.故選：B.7．D【分析】由函數(shù)圖象的對稱性求得，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】根據(jù)已知得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，易知在上為增函數(shù)，所以由得，，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故選：D.8．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在兩點(diǎn)處的切線斜率，即可得出是的兩根，利用韋達(dá)定理即可得出的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知的定義域?yàn)椋?，易得，由?dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為,同理可得，點(diǎn)處切線斜率為；又因?yàn)閮蓷l切線與直線平行，可得，即所以是關(guān)于方程的兩根，所以，即，又可得；所以，由可得即，所以的取值范圍是.故選：D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的位置關(guān)系得出關(guān)于的等量關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)定義域和韋達(dá)定理即可求得表達(dá)式的取值范圍.9．AC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論．【詳解】當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.故選：AC.10．BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的對稱性，通過構(gòu)造函數(shù)法逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，于是有，由，所?當(dāng)，時(shí)，，A錯(cuò)誤；，，B正確；因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，因?yàn)?，所以，因此C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，，所以，因此D正確.故選：BD.11．AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，引入函數(shù)，由得其遞增，從而可確定的正負(fù)得的單調(diào)性，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋院愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，，故恒成立；當(dāng)時(shí)，，，，，故恒成立.所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.故選：AD.12．ABD【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.【詳解】對于A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，令，得到，故A正確；對于B，由，得，由得，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故B正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)是周期為1的函數(shù)，故D正確.故選：ABD.13．1【分析】根據(jù)弧長公式結(jié)合面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，又，所以，，扇形的面積.故1.14．##【分析】設(shè)大西洋鮭魚靜止時(shí)的耗氧量為，計(jì)算出的值，再將代入，即可得解.【詳解】設(shè)大西洋鮭魚靜止時(shí)的耗氧量為，則，可得，將代入可得，.故答案為.15．##【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合特殊角的正切值和正弦值進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故16．【分析】將方程的解轉(zhuǎn)化為與直線的交點(diǎn)，并可知與均關(guān)于點(diǎn)對稱，作出的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定不同取值時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合對稱性即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由得，則方程的解即為與的交點(diǎn)，作出圖象如圖所示，如圖所示，當(dāng)即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與有5個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榕c均關(guān)于對稱，所以；當(dāng)即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與有7個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榕c均關(guān)于對稱，所以；當(dāng)即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與有5個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榕c均關(guān)于對稱，所以；當(dāng)即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榕c均關(guān)于對稱，所以；當(dāng)即時(shí)，如圖中和所示時(shí)，與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，所以，綜上所述的所有可能取值集合為，故本題考查利用函數(shù)對稱性，函數(shù)圖像求解方程根的個(gè)數(shù)問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).17．(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值再根據(jù)角的范圍判斷符號(hào)即可；（2）先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，所?（2）由解得，，所以；所以.18．(1)，，，(2)【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換公式化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間與對稱中心；（2）由三角函數(shù)圖象變換求得，再利用對稱性求得值，得函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得值域．【詳解】（1），令（），則（），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）.令，則，，所以函數(shù)的對稱中心為，.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以，即，，又，所以.所以.因?yàn)椋?，所以的值域?yàn)?19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，則，因?yàn)闀r(shí)，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，符合題意.要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）令，由（1）得，且，故，，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，，故.要使有兩個(gè)根，則.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．(1)，(2)【分析】（1）利用奇偶性求，通過解方程組法可得；（2）利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡方程（去對數(shù)號(hào)），再換元設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（*）只有一個(gè)大于0的根，然后分類討論可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）因?yàn)?，①所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，所以，②由①②得，.（2）由，得，化簡得，令，則，即關(guān)于的方程（*）只有一個(gè)大于0的根.①當(dāng)時(shí)，，滿足條件；②當(dāng)方程（*）有一正一負(fù)兩根時(shí)，滿足條件，則，所以；③當(dāng)方程（*）有兩個(gè)相等的正根時(shí)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足條件.當(dāng)時(shí)，，舍去．綜上所述，或，即的取值范圍為.21．【分析】連接，，對稱性，設(shè)，由直角三角形用表示出，再求出圓弧，的長，利用求出的范圍，再利用導(dǎo)數(shù)可求得棧道總長度的最小值．【詳解】連接，，由半圓半徑為1得.由對稱性，設(shè)，又，，所以，，易知，所以，的長均為，又，故，故.令且，設(shè)，，所以.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：－0＋單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以棧道總長度的最小值為（百米）.22．(1)(2)【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定單調(diào)性進(jìn)而求出最小值即可；（2）先移向構(gòu)造新函數(shù)，再分類討論求a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由得；由得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以.（2）設(shè)，則，，令，則，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)