2023-2024學(xué)年安徽省安慶市高二上冊12月月考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．）1．過點且傾斜角為90°的直線方程為（

）A． B． C． D．2．以橢圓的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．3．已知直線，若圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，則的值為（

）A． B．C． D．4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，在左支上過的弦的長為4，那么的周長是（

）A．24 B．20 C．16 D．85．若過橢圓內(nèi)一點的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為（

）．A． B．C． D．6．圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程為A． B．C． D．7．已知點在曲線（為參數(shù)）上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．8 D．4二、多選題（本題共4小題，每題5分，共20分．在給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分．）9．下列說法正確的是（

）A．直線必過定點B．直線在軸上的截距為C．直線的傾斜角為120°D．過點且垂直于直線的直線方程為10．一光線過點，經(jīng)傾斜角為的直線：反射后經(jīng)過點，則反射光線還經(jīng)過（

）A．點 B．點 C．點 D．點11．某同學(xué)利用圖形計算器研究教材中一例問題“設(shè)點，，直線，相交于點M，且它們的斜率之積為，求點M的軌跡方程”時，將其中已知條件“斜率之積為”拓展為“斜率之積為常數(shù)”之后，進行了如圖所示的作圖探究：參考該同學(xué)的探究，下列結(jié)論正確的有：（

）A．時，點M的軌跡為橢圓(不含與x軸的交點)B．時，點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓(不含與x軸的交點)C．時，點M的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(不含與x軸的交點)D．時，點M的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(不含與x軸的交點)12．已知點是直線上一定點，點、是圓上的動點，若的最大值為，則點的坐標可以是A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是．14．已知雙曲線的左、右焦點分別是，，直線過坐標原點且與雙曲線交于點，．若，則四邊形的面積為．15．已知圓，則過點的圓的切線方程為．16．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，若在直線上存在點，使線段的中垂線過點，則橢圓的離心率的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程.(1)焦距為，經(jīng)過點，且焦點在軸上；(2)焦點為，，且過點.18．已知點在圓上．(1)求該圓的圓心坐標及半徑長；(2)過點，斜率為的直線與圓相交于兩點，求弦的長．19．如圖所示，已知橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點，且(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在第二象限，，求的面積．20．橢圓（）的左右焦點分別為，，其中，為原點．橢圓上任意一點到，距離之和為．（1）求橢圓的標準方程及離心率；（2）過點的斜率為2的直線交橢圓于、兩點．求的面積．21．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E為棱AA1的中點，AB＝1，AA1＝2．（1）求點B到平面B1C1E的距離；（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．22．已知圓的半徑為2，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切．(1)求圓的方程；(2)若過點的直線與圓交于不同的兩點，且為坐標原點，求三角形的面積．1．B根據(jù)傾斜角為的直線的方程形式，判斷出正確選項.【詳解】由于過的直線傾斜角為，即直線垂直于軸，所以其直線方程為.故選：B本小題主要考查傾斜角為的直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】根據(jù)橢圓的焦點為雙曲線的頂點得到雙曲線焦點在軸上，，根據(jù)橢圓的長軸端點為雙曲線的焦點得到，然后根據(jù)求雙曲線的方程即可.【詳解】由題意得雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線的方程為，所以，，，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．D【分析】根據(jù)圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，可得直線過圓心，將圓心坐標代入直線方程即可得出答案.【詳解】解：因為圓，所以圓C的圓心坐標為，又因為圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，則，解得.故選：D.4．A【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到，，然后求周長即可.【詳解】由題意得，，，，所以的周長為.故選：A.5．A【分析】設(shè)出，坐標，利用點在橢圓上，通過平方差公式，結(jié)合中點坐標，求出直線的斜率，然后求解直線方程．【詳解】解：設(shè)弦的兩端點為，，，，為中點，，在橢圓上，，，兩式相減得：，，，可得：，則，且過點，有，整理得．故選：A．本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點差法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．6．C【詳解】圓心在曲線上，設(shè)圓心坐標為，半徑，當半徑最小時，圓的面積最小，由基本不等式得，當a=1時等號成立，此時半徑的最小值為，故圓的面積最小時，圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：C7．B【分析】消去參數(shù)得到曲線為圓，由的幾何意義及圓的切線方程得到取值范圍.【詳解】消去參數(shù)后得到，其圓心為，半徑為1，畫出圖形，的幾何意義為圓上的點與原點連線的斜率，設(shè)過點的圓的切線方程為，則，解得，結(jié)合圖形可得，的取值范圍是.故選：B8．A【分析】根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為可求解.【詳解】設(shè)右焦點為，則，依題意，有，，（當在線段上時，取等號）．故的最小值為9.故選：A.9．AD【分析】逐一分析各個選項的條件，再經(jīng)推理計算作答.【詳解】對于A，直線，即，恒過點，A正確；對于B，直線，即，在軸上的截距為，B不正確；對于C，直線的斜率，其傾斜角為，C不正確；對于D，直線的斜率為，則垂直于直線的直線斜率為，直線方程為：，即，D正確.故選：AD10．AD【分析】根據(jù)傾斜角可得方程，根據(jù)點關(guān)于直線對稱點的求解方法可求得關(guān)于的對稱點，由此可得反射光線所在直線方程，代入選項中的點即可得到結(jié)果.【詳解】直線傾斜角為，，，即，設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，解得：，反射光線所在直線方程為：，即，反射光線還經(jīng)過點，.故選：AD.11．BCD首先設(shè)，由，整理可得（），再根據(jù)各個選項中的取值范圍，結(jié)合橢圓和雙曲線的標準方程，進行分析判斷即可得解.【詳解】設(shè)，，整理可得（），對A，若，點M的軌跡為圓(不含與x軸的交點)，故A錯誤；對B，若，由（），則，故B正確；對C，若，由（），則，故C正確；對D，，（），，故D正確.故選：BCD.12．AC設(shè)點的坐標為，可得知當、均為圓的切線時，取得最大值，可得出四邊形為正方形，可得出，進而可求出點的坐標.【詳解】如下圖所示：原點到直線的距離為，則直線與圓相切，由圖可知，當、均為圓的切線時，取得最大值，連接、，由于的最大值為，且，，則四邊形為正方形，所以，由兩點間的距離公式得，整理得，解得或，因此，點的坐標為或.故選：AC.本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合問題，考查利用角的最值來求點的坐標，解題時要找出直線與圓相切這一臨界位置來進行分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.13．【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點列不等式求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為.14．【分析】由雙曲線的對稱性可知四邊形是矩形，結(jié)合雙曲線定義即可求出與，從而得出面積．【詳解】由雙曲線的對稱性可知，四邊形的對角線互相平分且相等，所以四邊形是矩形．設(shè)，，則．因為，所以，化簡得，所以四邊形的面積為．故15．或【分析】分切線斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到切線距離等于半徑得到答案.【詳解】當過點的切線斜率不存在時，方程為，為圓的切線，滿足要求，當過點的切線斜率存在時，設(shè)為，則圓心到切線方程的距離，解得，故切線方程為，故或16．【詳解】分析：設(shè)直線與軸的交點為，連接．由線段的中垂線過點，可得，所以．因為，由因為，所以．變形可得，進而可得，所以．根據(jù)橢圓的離心率，可得．詳解：設(shè)直線與軸的交點為，連接，∵的中垂線過點，∴，可得，又∵，且，∴，即，∴，，結(jié)合橢圓的離心率，得，故離心率的取值范圍是．點睛：求圓錐曲線的離心率，應(yīng)從條件得到關(guān)于的關(guān)系式．解題過程注意的關(guān)系．（1）直接根據(jù)題意建立的等式求解；（2）借助平面幾何關(guān)系建立的等式求解；（3）利用圓錐曲線的相關(guān)細則建立的等式求解；（4）運用數(shù)形結(jié)合建立的等式求解．17．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)雙曲線方程為，代入點可構(gòu)造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）設(shè)雙曲線方程為，代入點可構(gòu)造方程求得，由此可得雙曲線方程.【詳解】（1）雙曲線焦點在軸上，且，，可設(shè)雙曲線標準方程為：，又雙曲線經(jīng)過點，，解得：或（舍），雙曲線標準方程為：；（2）由焦點坐標可得：，且焦點在軸上，可設(shè)雙曲線標準方程為，又雙曲線經(jīng)過點，，解得：或（舍），雙曲線標準方程為.18．(1)圓心坐標為，半徑長為(2)【分析】（1）先根據(jù)點在圓上求出參數(shù)，再將圓的方程化為標準方程，即可得出圓心及半徑；（2）先寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長公式即可得解.【詳解】（1）因為點在圓上，所以，解得，所以該圓的標準方程為，所以該圓的圓心坐標為，半徑長為；（2）直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，所以.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求出，結(jié)合焦點坐標求出，從而可求，即可得出橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得的坐標，利用三角形的面積公式，可求△的面積．【詳解】（1）解：依題意得，又，，，，．所求橢圓的方程為．（2）解：設(shè)點坐標為，，所在直線的方程為，即．解方程組，并注意到，，可得．20．（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義可知，再根據(jù)，即可求出，由此即可求出橢圓的方程和離心率；（2）求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，求出，根據(jù)弦長公式求出的長度，再根據(jù)點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，，所以橢圓的標準方程為，離心率為；（2）直線的方程為，代入橢圓方程得設(shè)，則∴，又∵點到直線的距離即的面積為.關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了圓錐曲線中弦長公式的應(yīng)用.21．（1）；（2）．【分析】（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，用空間向量法求點到平面的距離；（2）求出二面角兩個面的法向量，用法向量夾角的余弦值得出二面角的余弦值（注意二面角是銳二面角還是鈍二面角），然后再得正弦值．【詳解】解：（1）如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，則B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），設(shè)平面B1C1E的法向量(u，v，w），則，取u＝1，得(1，0，﹣1），∴點B到平面B1C1E的距離為：d．（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），設(shè)平面CC1E的法向量(x，y，z），則，取x＝1，得(1，﹣1，0），設(shè)二面角B1﹣EC1﹣C的平面角為θ，則cosθ，∴sinθ，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值為．方法點睛：本題考查證明線面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出二面角的平面角并證明，然后解三角形得出結(jié)論；（2）空間向量法：建立空間直角坐標系，寫出各點為坐標，求出二面角兩個面的法向量，由兩個平面法向量的夾角得二面角