四邊形專題訓(xùn)練〔一〕----平行四邊形與特殊的平行四邊形【知識(shí)精講】1.主要概念〔1〕平行四邊形——有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．〔2〕矩形——有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．〔3〕菱形——有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．〔4〕正方形——有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形〔5〕梯形——只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形．〔6〕等腰梯形——兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．〔7〕直角梯形——有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形．〔8〕三角形中位線——連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．2.幾種特殊四邊形的關(guān)系3.幾種特殊四邊形的主要特征圖形邊角對(duì)角線平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等對(duì)角線互相平分矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都相等對(duì)角線互相平分且相等菱形對(duì)邊平行，四邊都相等對(duì)角相等對(duì)角線垂直平分，平分對(duì)角正方形對(duì)邊平行，四邊都相等四個(gè)角都相等對(duì)角線垂直平分且相等，平分對(duì)角等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個(gè)角相等兩條對(duì)角線相等附:矩形菱形正方形的性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定·有三個(gè)角是直角;·是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;·是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等.·四邊相等的四邊形；·是平行四邊形且有一組鄰邊相等；·是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直?！な蔷匦?，且有一組鄰邊相等；·是菱形，且有一個(gè)角是直角。對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形4.解決四邊形問(wèn)題常用的方法〔1〕有些四邊形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決．〔2〕有些梯形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問(wèn)題來(lái)解決．〔3〕有時(shí)也可以運(yùn)用平移、軸對(duì)稱來(lái)構(gòu)造圖形，解決四邊形問(wèn)題．考點(diǎn)分析：四邊形的內(nèi)容是平行線與三角形兩局部知識(shí)的應(yīng)用和深化．是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，所占分值較高．考查內(nèi)容主要是與四邊形有關(guān)的角、周長(zhǎng)、面積、線段、折疊、證明等問(wèn)題，近年來(lái)又出現(xiàn)了許多與四邊形有關(guān)的開(kāi)放探索題、操作題，以及四邊形與相似、函數(shù)知識(shí)結(jié)合的綜合題．【典型例題】一.矩形矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，矩形也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線，有兩條對(duì)稱軸；矩形的性質(zhì):(具有平行四邊形的一切特征)矩形性質(zhì)1:矩形的四個(gè)角都是直角．矩形性質(zhì)2:矩形的對(duì)角線相等且互相平分．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：對(duì)角錢相等的平行四邊形是矩形．矩形判定方法2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．矩形判定方法3：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．矩形判定方法4：(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形．例1：如圖，矩形ABCD，AB長(zhǎng)8cm，對(duì)角線比AD邊長(zhǎng)4cm．求AD的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BD的距離AE的長(zhǎng)．例2：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于F，假設(shè)AE=BC．求證：CE＝EF．例3．如圖，矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm，求AE的長(zhǎng)．例4、如圖，在ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：AB=CF；(2)當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFC是矩形，并說(shuō)明理由．二．菱形【強(qiáng)調(diào)】菱形〔1〕是平行四邊形；〔2〕一組鄰邊相等．菱形的性質(zhì)性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的判定菱形判定方法1:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．注意此方法包括兩個(gè)條件：〔1〕是一個(gè)平行四邊形；〔2〕兩條對(duì)角線互相垂直．菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．例1：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．例2：如圖ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．例3、如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.例4、如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE、BD交于M，假設(shè)AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求證：AM=BE。例5．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E．求線段的長(zhǎng)．例6、如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，DF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于F。請(qǐng)你猜測(cè)DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜測(cè)例7、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.〔1〕求證：△BDE≌△BCF；〔2〕判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；〔3〕設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍.三．正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形〔菱形〕②有一個(gè)角是直角的平行四邊形〔矩形〕正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對(duì)邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．注意：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．正方形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)：〔1〕是平行四邊形；〔2〕有一個(gè)角是直角；〔3〕有一組鄰邊相等．2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.例1：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求證：OE=OF．例2：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)．求證：四邊形PQMN是正方形．例3、如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)〔P與A、C不重合〕，點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.〔1〕求證：①PE=PD；②PE⊥PD；〔2〕設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.AABCPDE例4．〔2006年河南省〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E為底邊BC的中點(diǎn)，且DE∥AB，試判斷△ADE的形狀，并給出證明．例5：〔2023深圳〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠C＝2∠E．〔1〕求證：梯形ABCD是等腰梯形．〔2〕假設(shè)∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的長(zhǎng)．【方法總結(jié)】1.化歸思想貫穿于本章學(xué)習(xí)內(nèi)容的始終，對(duì)于四邊形的性質(zhì)和識(shí)別，往往通過(guò)變四邊形為三角形，變一般四邊形為平行四邊形進(jìn)行研究．2.巧作輔助線，常見(jiàn)的輔助線有：〔1〕過(guò)四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作垂線；〔2〕作四邊形的一邊的平行線；〔3〕作四邊形對(duì)角線的平行線；〔4〕過(guò)三角形〔或梯形〕一邊中點(diǎn)作平行于另一邊〔或底邊〕的平行線．【同步拓展訓(xùn)練】一.選擇題1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是〔〕A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直且平分C．四條邊都相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角2.菱形的周長(zhǎng)為40，兩鄰邊所夾銳角為30°，那么菱形的面積為〔〕A．30 B．40 C．50 D．603.如下圖，平行四邊形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，那么∠DAE等于〔〕A．20° B．25° C．30° D．35°4.△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于D，E為AC中點(diǎn)，AB＝6，那么DE等于〔〕A．6 B．3 C．2 D．1二.填空題1.四邊形的內(nèi)角和等于__________°，外角和等于__________°．2.正方形的面積為4，那么它的邊長(zhǎng)為_(kāi)_________，一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)_________．3.一個(gè)多邊形，假設(shè)它的內(nèi)角和等于外角和的3倍，那么它是__________邊形．*4.如果四邊形ABCD滿足____________________條件，那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線AC和BD互相垂直〔只需填寫一組你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件〕．5.菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12，面積為30，那么這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為_(kāi)_________．*6.如下圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，那么AF的長(zhǎng)為_(kāi)_________．7.，如下圖，△ABC三邊的中點(diǎn)分別為D、E、F，如果AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，那么△DEF的周長(zhǎng)是*8.如圖：矩形紙片ABCD，AB＝2，點(diǎn)E在BC上，且AE＝EC．假設(shè)將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC上，那么AC的長(zhǎng)是__________．【思維能力提升】三.解答題1.：如下圖，平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AB到E，延長(zhǎng)CD到F，使BE＝DF．試說(shuō)明AC與EF互相平分．2.如下圖，正方形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，OE＝OF，連結(jié)BE，連結(jié)CF并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G，試說(shuō)明∠ACG＝∠DBG．3**3.如下圖，平行四邊形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分別是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分線，AQ與BN交于P，CN與DQ交于M，在不添加其它條件的情況下，試寫出一個(gè)由上述條件推出的結(jié)論，并說(shuō)明理由〔要求：推理過(guò)程要用到“平行四邊形〞和“角平分線〞這兩個(gè)條件〕．【家庭作業(yè)】1.平行四邊形ABCD，以下結(jié)論中不一定成立的是〔〕A．AB＝CD B．AC＝BDC．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 D．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形2.如圖，EF過(guò)矩形的對(duì)角線交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，如果陰影局部的面積為12，那么矩形的面積為