2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】（第02期）專題18三角形解答題（40題）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________專題18三角形解答題（40題）一、解答題1．（2021·廣西中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”證明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性質(zhì)，即可得到OD=OE；(2)根據(jù)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根據(jù)BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”證明兩個(gè)三角形全等.【詳解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；(2)∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.2．（2021·廣東中考真題）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，，，，證明：．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴∠B=∠C，∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣西中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠1＝∠2；（2）求證：△DOF≌△BOE．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）由（1）可知∠1=∠2，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得OD=OB，利用AAS即可證明△DOF≌△BOE．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，∴∠1＝∠2．（2）∵點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴OD=OB，在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．4．（2021·湖北中考真題）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東方向上．（1）求A，P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開(kāi)始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過(guò)這一海域？【答案】（1）；（2）海監(jiān)船由B處開(kāi)始沿南偏東小于的方向航行能安全通過(guò)這一海域【分析】(1)如圖1,作，交AB的延長(zhǎng)線于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC計(jì)算即可;(2)作差比較x與r的大小，判斷有危險(xiǎn)；以P為圓心，半徑r為作圓，作圓的切線計(jì)算∠PBD的大小，從而得到∠CBD的大小，從而判斷即可.【詳解】解：（1）如圖1，作，交AB的延長(zhǎng)線于C，由題意知：，．設(shè)：則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，；（2），．因此海監(jiān)船繼續(xù)向東航行有觸礁危險(xiǎn)；設(shè)海監(jiān)船無(wú)觸礁危險(xiǎn)的新航線為射線BD，以為圓心，為半徑作圓，過(guò)作圓P的切線交于點(diǎn)D，∴∠PDB=90°，由（1）得：∴，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海監(jiān)船由B處開(kāi)始沿南偏東小于的方向航行能安全通過(guò)這一海域．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，圓的切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活解直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南中考真題）如圖，矩形中為邊上一點(diǎn)，將沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線的中點(diǎn)F上．（1）證明：；（2）若，求折痕的長(zhǎng)度【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)證明再證明從而可得結(jié)論；（2）利用折疊與三角形全等的性質(zhì)求解再利用的余弦求解即可.【詳解】解：（1）矩形，由對(duì)折可得：為的中點(diǎn)，（2），由折疊可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.6．（2021·廣東中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)基本作圖—角平分線作法，作出的平分線AF即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到并求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，從而得到EF為中位線，進(jìn)而可證，，從而由有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分，（2）∵，且，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴又∵∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)定理，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．7．（2021·湖北中考真題）已知等邊三角形，過(guò)A點(diǎn)作的垂線l，點(diǎn)P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，把線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連．

（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、B在同側(cè)且時(shí)，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、B分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）AP=BQ；（2）見(jiàn)詳解；（3）或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先證明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥l，根據(jù)，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，設(shè)AP=x，則BQ=x，MQ=x-，QF=(x-)×，再列出關(guān)于x的方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∵在等邊三角形中，∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACP=∠BCQ，∴，∴=；（2）∵，CA⊥l，∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，∵在等邊三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，∴PD平分∠CBQ，∴直線垂直平分線段；（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在直線上方時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)BQ交l與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作與點(diǎn)F，由題意得，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，即，解得或，即AP的長(zhǎng)度為或；②當(dāng)點(diǎn)Q在直線l下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥l，由（1）小題，可知：，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，∴BE=，∴BM=BE÷sin60°=2÷=，設(shè)AP=x，則BQ=x，MQ=x-，QF=MQ×sin60°=(x-)×，∵的面積等于，∴AP×QF=，即：x×(x-)×=，解得：或（不合題意，舍去），∴AP=．綜上所述，AP的長(zhǎng)為：或或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇）（1）如圖①，O為AB的中點(diǎn)，直線l1、l2分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、B，且l1∥l2，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l2于點(diǎn)C，連接AC．求證：直線l1垂直平分AC；（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點(diǎn)P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ．用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）利用平行線等分線段定理證明直線l1平分AC；利用直角三角形的判定證明直線l1垂直AC；（2）以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l3于點(diǎn)C，連接PC并延長(zhǎng)交直線l4于點(diǎn)D，此時(shí)線段PD最短，點(diǎn)D即為所求．【詳解】（1）解：如圖①，連接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直線l1平分AC，由作圖可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l(xiāng)2垂直AC，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1垂直AC，即直線l1垂直平分AC．（2）如圖②，以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l3于點(diǎn)C，連接PC并延長(zhǎng)交直線l4于點(diǎn)D，此時(shí)線段PD最短，點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，與考查了尺規(guī)作圖．9．（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，，則有，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）可得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∴，由（1）可得，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇中考真題）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使兩點(diǎn)重合．點(diǎn)落在點(diǎn)處．已知，．（1）求證：是等腰三角形；（2）求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得,則,因?yàn)檎郫B，，即可得證；（2）設(shè)用含的代數(shù)式表示，由折疊，，再用勾股定理求解即可【詳解】（1）四邊形是矩形因?yàn)檎郫B，則是等腰三角形（2）四邊形是矩形,設(shè)，則因?yàn)檎郫B，則，,在中即解得：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，圖像的折疊，勾股定理，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2021·貴州中考真題）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD．

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；（拓展遷移）（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①AD＋AB＝AC，見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根據(jù)直角三角形中是斜邊的一半即可寫出數(shù)量關(guān)系；（2）①根據(jù)第一問(wèn)中的思路，過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，構(gòu)造證明△CFB△CED，根據(jù)全等的性質(zhì)得到FB＝DE，結(jié)合第一問(wèn)結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)題意應(yīng)用的正弦值求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)的數(shù)量關(guān)系即可求解四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝，∵∠ADC＝∠ABC＝，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，（2）①AD＋AB＝AC，理由：過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE，∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝，又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是辨認(rèn)出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線．12．（2021·吉林中考真題）圖①、圖2均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為3的平行四邊形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可：如以為頂點(diǎn)，為底邊，即可做出等腰三角形；（2）作底為1，高為3的平行四邊形即可．【詳解】解：（1）如圖①中，此時(shí)以為頂點(diǎn)，為底邊，該即為所求（答案不唯一）．（2）如圖②中，此時(shí)底，高，因此四邊形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握等腰三角形和平行四邊形的基本性質(zhì)．13．（2021·山東中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作；交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，則有，然后問(wèn)題可求證；（2）由題意易得，則有，然后由（1）可求解．【詳解】（1）證明：∵BD平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，由（1）可得．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定、角平分線的定義及平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定、角平分線的定義及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在山坡的坡腳A處豎有一根電線桿（即），為固定電線桿，在地面C處和坡面D處各裝一根引拉線和，它們的長(zhǎng)度相等．測(cè)得米，，求點(diǎn)D到的距離．【答案】【分析】作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函數(shù)及勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)求出答案即可．【詳解】如圖：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，在Rt△ABC中，，AC=6，∴AB=8，∴，在Rt△ABF中，，∴，，∴，∴，在Rt△ADE中，，∴．∴點(diǎn)D到的距離為米．．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理的計(jì)算，正確理解題意引出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·吉林中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）若．直接寫出的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（2）若，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）；（2）菱形，見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得；（2）由題意可得，，由“直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，得，得，則四邊形是平行四邊形，再由折疊得，于是判斷四邊形是菱形；（3）題中條件是“點(diǎn)是射線上一點(diǎn)”，因此又分兩種情況，即點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)或同側(cè)，正確地畫出圖形即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖①，在中，，∵是斜邊上的中線，，∴．（2）四邊形是菱形．理由如下：如圖②∵于點(diǎn)，∴，∴；由折疊得，，∵，∴；∵，，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；∵，∴，∴四邊形是菱形．（3）如圖③，點(diǎn)與點(diǎn)在直線異側(cè)，∵，∴；由折疊得，，∴；如圖④，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)，∵，∴，∴，由折疊得，，∴，∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形及特殊平行四邊形的判定等知識(shí)與方法，在解第（3）題時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫出圖形，以免丟解．16．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E、F，連接，與相交千點(diǎn)H．（1）求證：；（2）滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的的性質(zhì)定理證得DE=DF，再根據(jù)HL定理證明△AED≌△AFD，則有AE=AF，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）只需證得四邊形AEDF是矩形即可，【詳解】解：（1）∵是的角平分線，，，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，又∵AD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又是的角平分線，∴AD⊥EF；（2）滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形是正方形，理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，∴四邊形AEDF是矩形，又∵AE=AF，∴四邊形AEDF是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．17．（2021·遼寧中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，，．求證：．【答案】見(jiàn)詳解【分析】由題意易得，進(jìn)而易證，然后問(wèn)題可求證．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．（2021·遼寧中考真題）已知，，．（1）找出與相等的角并證明；（2）求證：；（3），，求．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)直接求解即可；（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可證明，進(jìn)一步證明和均為等腰三角形且頂角相等，即可證明；（3）由（2）可得，即可得，設(shè)，則，根據(jù)，可求得，即可證明，列比例求出，代入以上數(shù)據(jù)即可求得的值．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，，；（2）如圖，在BF上截取BP，使AE=BP，由（1）得，即，在和中，，，，，，，即，，，和均為等腰三角形，又，，和為頂角相等的等腰三角形，，；（3）又（1）可知，，，設(shè)，則，，，，則，，，，，，即，由此得，則，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形綜合，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有，等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解題關(guān)鍵．19．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）首先以A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC、AB于N、M，再分別以N、M為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q，再畫射線AQ交CB于E；（2）依據(jù)證明得到，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，為所作的平分線；（2）證明：如圖．連接DE，由(1)知：在和中∵∴，∴又∵∴，∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是得到．20．（2021·廣西中考真題）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）結(jié)論．證明，可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．21．（2021·廣西中考真題）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法），如圖，已知ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點(diǎn)E，使ADE∽ACB．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接即可．（2）作，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求．（2）如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖相似變換，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．22．（2021·江蘇中考真題）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，．（1）求證：；（2）將沿直線l翻折得到．①用直尺和圓規(guī)在圖中作出（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則直線與l的位置關(guān)系是__________．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②平行【分析】（1）根據(jù)“SAS”即可證明；（2）①以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫畫弧，兩個(gè)弧交于，連接B，C，即可；②過(guò)點(diǎn)作M⊥l，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥l，則M∥DN，且M=DN，證明四邊形MND是平行四邊形，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴BC=EF，∵，∴∠ABC=∠DEF，又∵，∴；（2）①如圖所示，即為所求；②∥l，理由如下：∵，與關(guān)于直線l對(duì)稱，∴，過(guò)點(diǎn)作M⊥l，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥l，則M∥DN，且M=DN，∴四邊形MND是平行四邊形，∴∥l，故答案是：平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．23．（2021·湖北中考真題）如圖，是的邊上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，．（1）求證：≌；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）1．【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)（1）可得，即由，根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：，，在和中，；（2）由（1）得∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．（2021·貴州中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）4-8【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵，∴（AAS），（2）∵，∴AN=DM=4，∵，∴，∴AB=，∴矩形的面積=×2=4，又∵，∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．25．（2021·吉林中考真題）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中找一格點(diǎn)M，按下列要求作圖：（1）在圖①中，連結(jié)MA、MB，使．（2）在圖②中，連結(jié)MA、MB、MC，使．（3）在圖③中，連結(jié)MA、MC，使．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得點(diǎn)M的位置；（2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)M即為斜邊AC的中點(diǎn)，由此可得點(diǎn)M的位置；（3）作出AB、AC的垂直平分線，交點(diǎn)即為M，M即為△ABC外接圓的圓心，連接AM，CM，根據(jù)圓周角定理可得，由此即可確定點(diǎn)M的位置．【詳解】（1）如圖①所示，點(diǎn)M即為所求．（2）如圖②所示，點(diǎn)M即為所求．（3）如圖③所示，點(diǎn)M即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，解決第（3）題時(shí)，確定△ABC外接圓的圓心是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．（2021·湖北中考真題）已知和都為正三角形，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的中線；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作的中線．【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)即可；（2）先延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，再連接，相交于點(diǎn)，然后連接，交于點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，則即為所求．

（2）分以下三步：①延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，②連接，相交于點(diǎn)，③連接，交于點(diǎn)，則即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了利用等邊三角形的性質(zhì)作圖、利用線段垂直平分線的判定與性質(zhì)作圖等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．27．（2021·黑龍江中考真題）（1）如圖，已知為邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點(diǎn)．使．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在上圖中，如果，則的周長(zhǎng)是_______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）9．【分析】（1）直接根據(jù)垂直平分線-尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)（1）中可知，即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】（1）作法：如圖所示，①連接（用虛線），②作的垂直平分線交于，③標(biāo)出點(diǎn)即為所求，（2）∵，∴，∴的周長(zhǎng)＝9．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的做法－尺規(guī)作圖，熟知垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2021·湖南中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請(qǐng)利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時(shí)，成立．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可證△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，即可；（3）將△ABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，由△ABC為等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF=tanα+tanβ,BE=1-tanα,CF=1-tanβ，可證△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵CD⊥BC，∴∠DCB=90°，∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），（2）證明∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，，即；（3）證明：將△ABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，連結(jié)FD，∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，∵，∴AC=，在Rt△ABC中由勾股定理∵AH⊥BC，∴BH=CH=AH=，∴EF=EH+FH=AHtanα+AHtanβ=tanα+tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，即，∴，整理得，即，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及其公式推導(dǎo)，掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．（2021·福建中考真題）如圖，在中，．線段是由線段平移得到的，點(diǎn)F在邊上，是以為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在的延長(zhǎng)線上．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)兩角和等于，然后通過(guò)等量代換即可證明；（2）通過(guò)平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對(duì)應(yīng)邊相等，通過(guò)等量代換即可證明．【詳解】證明：（1）在等腰直角三角形中，，∴．∵，∴，∴．（2）連接．由平移的性質(zhì)得．∴，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．由（1）得，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．30．（2021·江蘇中考真題）如圖，已知銳角中，．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，的半徑為5，則________．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作的平分線，作出AC的中垂線交CD于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）連接OA，∵，的平分線，∴AD=BD=，CD⊥AB，∵的半徑為5，∴OD=，∴CD=CO+OD=5+=，∴BC=，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．31．（2021·黑龍江中考真題）如圖所示，四邊形為正方形，在中，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)在同一條直線上．

（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）已知正方形和，用“邊角邊”證明兩三角形全等即可；（2）方法一：過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，則，從而求的，方法二：連接交于，交于，構(gòu)造相似三角形，從而求得；（3）不在直角三角形中，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求得結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形為正方形在和中．（2）方法一：，為正方形對(duì)角線設(shè)，則

在三角形中過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)是等腰直角三角形∴，．方法二：連接交于，交于

∵正方形，，，∴，，，為中點(diǎn)，設(shè)（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，為等腰直角三角形，，，在中．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，按要求作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．32．（2021·湖南中考真題）如圖1，在等腰直角三角形中，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，．

（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點(diǎn)．①證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，為等腰三角形？【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為2或時(shí)，為等腰三角形【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG，∠HAG=90°，從而得∠BAH=∠CAG，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）①由，得AH=AG，再證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=67.5°時(shí)，（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，分別畫出圖形求解，即可．【詳解】解：（1）∵線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，如圖，則∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，∴EH=；（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°時(shí)，如圖，則∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為2或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵．33．（2021·江蘇中考真題）如圖，與交于點(diǎn)O，，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定兩三角形全等即可；（2）先分別求出BE和DC的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能結(jié)合圖形建立線段之間的關(guān)聯(lián)等，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用等．34．（2021·上海中考真題）如圖，在梯形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊或邊于E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件、平行線性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推導(dǎo)，，由此可得；②若，那么在中，由．可得，作于H．設(shè)，那么．根據(jù)所對(duì)直角邊是斜邊的一半可知，由此可得的值．（2）①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，可得四邊形是矩形，設(shè)，在和中，根據(jù)，列方程求解即可．②當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，設(shè)，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．【詳解】（1）①由，得．由，得．因?yàn)槭切边吷系闹芯€，所以．所以．所以．所以．②若，那么在中，由．可得．作于H．設(shè)，那么．在中，，所以．所以．所以．（2）①如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，由是的中點(diǎn)，可得，所以四邊形是平行四邊形．又因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?，設(shè)，已知，所以．已知，所以．在和中，根據(jù)，列方程．解得，或（舍去負(fù)值）．②如圖6，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，設(shè)，已知，所以．設(shè)，已知，那么．一方面，由，得，所以，所以，另一方面，由是公共角，得．所以，所以．等量代換，得．由，得．將代入，整理，得．解得，或（舍去負(fù)值）．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，斜邊上的中線，勾股定理等，能夠運(yùn)用相似三角形邊的關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．35．（2021·遼寧阜新市教育服務(wù)中心中考真題）在圖1中似乎包含了一些曲線，其實(shí)它們是由多條線段構(gòu)成的．它不但漂亮，還蘊(yùn)含著很多美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是直線AB，BC上的點(diǎn)（E，F(xiàn)在直線AC的兩側(cè)），且．（1）如圖2，求證：；（2）若直線AC與EF相交于點(diǎn)G，如圖3，求證：；（3）設(shè)正方形ABCD的中心為O，，用含的式子表示的度數(shù)（不必證明）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．【分析】（1）四邊形ABCD是正方形，，，又知道，可得到即可求解；（2）作交AC于點(diǎn)H,則,知道四邊形ABCD是正方形可得，推出，，，，，得到，，又知道得到即可求解（3）分三種情況①點(diǎn)E在線段AB上、②點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上、③點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，逐一進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．又∵，∴．∴．（2）（解法一）作交AC于點(diǎn)H，如圖1．則．圖1∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵，∴．∴．由（1）同理可得，∴．（解法二）作交AC于點(diǎn)H，如圖2．圖2∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴，∵，∴．∴．∴．又∵，∴．連接CE，F(xiàn)H．又∵．∴四邊形CEHF是平行四邊形．∴．由（1）同理可得，∴．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵，∴∠ADE=∠CDF，∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，∵DE=DF，DG⊥EF，

∴∠GDF=∠2=45°，

∴∠1=45°-∠3，

∵∠BCD=90°，

∴∠3+∠2+∠CFE=90°，

∴∠3=90°-45°-α=45°-α，

∴∠1=45°-∠3=α，

∵∠DGO=∠ACD+∠1，

∴∠DGO=α+45°；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°，

∵，∴∠ADE=∠CDF，∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，∴∠EDA+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∵DE=DF，DG⊥EF，

∴∠GDF=∠GFD=∠BDC=45°，

∴∠1=∠2，

∵∠BCD=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∵∠3=∠CFE-∠GFD=α-45°，

∴∠2=90°-α+45°=135°-α，

∴∠1=∠2=135°-α，

∴∠DGO=90°-∠1=α-45°；

③當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ACD=45°，∠ABC=∠ADC=90°，

∵，∴∠ADE=∠CDF，∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，∴∠2=∠3，

∵DE=DF，DG⊥EF，

∴∠GDE=∠DEG=45°，∴∠1+∠3=45°，

∵∠ABC=90°，

∴∠CFE+∠2+∠DEG=90°，

∵∠CFE-∠2=45°，

∴∠CFE=∠1=α，

∴∠DGO+∠1=∠ACD=45°，

∴∠DGO=45°-α．

綜上：∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)得DE=DF，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．36．（2021·黑龍江中考真題）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連接AC．易證：AC（EC＋FG）．（提示：取AB的中點(diǎn)M，連接EM）（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖②進(jìn)行證明；（2）已知正方形ABCD的面積是27，連接AF，當(dāng)△ABE中有一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí)，則AF的長(zhǎng)為．

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，AC=（EC＋FG）；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=（FG－CE）；（2）或．【分析】（1）在AB的取一點(diǎn)M，使得AM=EC，連接EM，先證明△AME≌△ECF，得到AE=EF，再證明△ABE≌△EGF，得到BE=GF，結(jié)合圖形中的點(diǎn)E所在的位置，即可得出AC，EC，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)（1）證明過(guò)程中得出的結(jié)論：AE=EF，分∠BAE=30°或∠AEB=30°兩種情況,解直角三角形即可．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，AC=（EC＋FG）；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=（FG－CE）；證明如下：當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，在AB的取一點(diǎn)M，使得AM=EC，連接EM．∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEG=90°．∵在正方形ABCD中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°．∴∠BAE=∠FEG．∴∠BME=45°．∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°．∵CF平分∠DCG，GF⊥BC，∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG．∴∠AME=∠ECF．∴△AME≌△ECF．∴AE=EF．在△ABE和△EGF中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G，AE=EF，∴△ABE≌△EGF．∴BE=GF．∵AB=BC，∴AB=BC=CE+BE=CE+FG．∵AC=AB，∴當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，AC=（EC＋FG）；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，在AB的取一點(diǎn)M，使得AM=EC，連接EM．同理可證得BE=FG．∴AB=BC=BE－CE=FG－CE．∵AC=AB，∴當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=（FG－CE）．（2）∵正方形ABCD的面積是27，∴AB=BC=．根據(jù)（1）中AE=EF，∠AEF＝90°，可知AF=AE．當(dāng)在△ABE中，∠BAE=30°時(shí)，點(diǎn)E在BC邊上．∵cos∠BAE==，∴AE=6．∴AF=．當(dāng)在△ABE中，∠AEB=30°時(shí)，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上．∵sin∠BAE==，∴AE=．∴AF=．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)在幾何中的應(yīng)用、解直角三角形，考查了分類討論這一基本數(shù)學(xué)思想方法．解決這類題目的關(guān)鍵是正確的分情況討論，數(shù)形結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)．37．（2021·廣西中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF于點(diǎn)P，G為AD的中點(diǎn)，連接GP，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GP交AB于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：BE＝CF；（2）若AB＝6，BEBC，求GH的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）．【分析】（1）由ASA證明△ABE≌△BCF，即可得到BE＝CF；（2）由題意，得到，，然后證明△ABE∽△BPE，求出，，再證明△APG∽△BPH，求出，得到，然后利用勾股定理即可求出GH的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∵AE⊥BF，∴∠BPE=90°，∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，∴∠BAP=∠FBC，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；（2）由題意，在正方形ABCD中，∵AB＝6，BEBC，∴，，∴，∵G為AD的中點(diǎn)，∴，∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，∴△ABE∽△BPE，∴，即，∴，∵∠APB=90°，∴，∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，∴∠APG=∠HPB，∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，∴∠GAP=∠ABP，∴△APG∽△BPH，∴，即，∴，∴，在直角三角形AGH中，由勾股定理，則．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及余角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述知識(shí)，正確找出證明三角形相似的條件，從而進(jìn)行解題．38．（2021·江蘇中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與端點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，設(shè)．（1）求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】(1)．(2)DG//CF．理由見(jiàn)解析．(3)．【分析】(1)作輔助線BF，用垂直平分線的性質(zhì)，推導(dǎo)邊相等、角相等．再用三角形內(nèi)角和為算出．(2)作輔助線BF、AC，先導(dǎo)角證明是等腰直角三角形、是等腰直角三角形．再證明、，最后用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，證得DG//CF．(3)為等腰三角形，要分三種情況討論：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根據(jù)題目具體條件，舍掉了②、③種，第①種用正弦函數(shù)定義求出比值即可．【詳解】(1)解：連接BF，設(shè)AF和BE相交于點(diǎn)N．點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)FBE是AF的垂直平分線，AB=BF四邊形ABCD是正方形AB=BC，．(2)位置關(guān)系：平行．理由：連接BF，AC，DG設(shè)DC和FG的交點(diǎn)為點(diǎn)M，AF和BE相交于點(diǎn)N由(1)可知，是等腰直角三角形四邊形ABCD是正方形是等腰直角三角形垂直平分AF在和中，在和中，CF//DG(3)為等腰三角形有三種情況：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三種情況討論：①當(dāng)FH=BH時(shí)，作于點(diǎn)M由(1)可知：AB=BF，四邊形ABCD是正方形設(shè)AB=BF=BC=a將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到FH=BH是等腰三角形，在和中，BM=AE=②當(dāng)BF=FH時(shí)，設(shè)FH與BC