第05講直線與圓的位置關系及切線的判定與性質了解直線與圓的三種位置關系；了解圓的切線的概念；掌握直線與圓位置關系的性質。知識點1直線與圓的位置關系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；知識點2切線的性質與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。知識點3切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分知識點4三角形的內切圓和內心1、三角形的內切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。2、三角形的內心三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。注意：內切圓及有關計算。（1）三角形內切圓的圓心是三個內角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOADC【題型1直線與圓的位置關系的判定】【典例1】（2023?濱江區(qū)二模）已知⊙O的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【變式1-1】（2022秋?江漢區(qū)校級期末）已知⊙O半徑為4cm，若直線上一點P與圓心O距離為4cm，那么直線與圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【變式1-2】（2022秋?洪山區(qū)校級期末）圓的半徑是6.5cm，如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【變式1-3】（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【題型2利用切線的性質求有關的角度/邊長的運算】【典例2】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）A．2 B．4 C． D．【變式2-1】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C． D．【變式2-2】（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C＝30°，OA＝2，則BD的長為（）?A．2 B．2 C．3 D．3【變式2-3】（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點D，連接BD．若BD平分∠ABC，，則線段AB的長是（）A． B． C．3 D．6【典例3】（2023?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，D是AC上一點，以AD為直徑的半圓O恰好切CB于點B．連接BD，若∠CBD＝21°，則∠C的度數為（）A．42° B．45° C．46° D．48°【變式3-1】（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式3-2】（2023?浙江二模）如圖，AC與⊙O相切于點A，B為⊙O上一點，BC經過圓心O，若∠B＝25°，則∠C的大小等于（）A．20° B．40° C．25° D．50°【變式3-3】（2023?泰安三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠E＝40°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠CDB等于（）?A．25° B．30° C．35° D．40°【題型3切線的判定】【典例4】（2023?東莞市校級模擬）如圖，∠AOB＝60°，以OB為半徑的⊙O交OA于點C，且OC＝CA，求證：AB是⊙O的切線．【變式4-1】（新疆期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E．在AC上取一點D，使得DE＝AD．求證：DE是⊙O的切線．【變式4-2】（昭通期末）如圖，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，點C是BD的延長線上的一點，CD＝2，求證：AC是⊙O的切線．【變式4-3】（大名縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，∠BAF的平分線AE交⊙O于點E，過點E作ED⊥AF，交AF的延長線于點D，延長DE、AB相交于點C．求證：CD是⊙O的切線．【題型4切線的性質與判定的綜合運用】【典例5】（2023?牧野區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半徑．【變式5-1】（2023?廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長．【變式5-2】（2023?金寨縣校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD＝CB，AC，BD相交于點E，過點C作CF∥BD，CF與AB的延長線相交于點F，連接AD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的長．【變式5-3】（2023?德慶縣二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的圓交邊AC于點D，交邊AB于點E，且BC＝BE．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半徑．?【題型5利用切線長定理的性質求線段長度或周長】【典例6】（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的內切圓，點D、E分別為邊AB、AC上的點，且DE為⊙O的切線，若△ABC的周長為25，BC的長是9，則△ADE的周長是（）A．7 B．8 C．9 D．16【變式6-1】（2022秋?鳳臺縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【變式6-2】（2022秋?林州市期中）如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，CD切⊙O于點E，且分別交PA，PB于點C，D，若PA＝6，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．12 D．10【變式6-3】2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【題型6三角形的內切圓與內心】【典例7-1】（2023?炎陵縣模擬）如圖，已知圓O是△ABC的內切圓，且∠A＝70°，則∠BOC的度數是（）?A．140° B．135° C．125° D．110°【典例7-2】（2023?泗陽縣一模）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內切圓）直徑是多少？”此問題中，該內切圓的直徑長是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【變式7-1】（2023?婁底一模）如圖，△ABC的內切圓圓O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝53°，則∠A的度數是（）A．36° B．53° C．74° D．128°【變式7-2】（2022秋?豐寧縣校級期末）如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O為△ABC的內切圓，與三邊的切點分別為D、E、F，則⊙O的面積為（）（結果保留π）A．π B．2π C．3π D．4π【變式7-3】（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．21．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點B，連結OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數為（）A．25° B．35° C．40° D．45°2．（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數是（）A．25° B．35° C．40° D．50°4．（2023?濱州）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為．5．（2023?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為．6．（2023?浙江）如圖，點A是⊙O外一點，AB，AC分別與⊙O相切于點B，C，點D在上．已知∠A＝50°，則∠D的度數是．7．（2023?金華）如圖，點A在第一象限內，⊙A與x軸相切于點B，與y軸相交于點C，D，連結AB，過點A作AH⊥CD于點H．（1）求證：四邊形ABOH為矩形．（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長．8．（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點C，AD平分∠CAB交⊙O于點D，過點D作直線DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．連接BD并延長交AC于點M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長．9．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點P．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長．1．（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定2．（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是（）A．點B在⊙A內 B．直線BC與⊙A相離 C．點C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切3．（2023?綠園區(qū)校級模擬）將一個含有30°的直角三角板按如圖所示的位置擺放，一個頂點O與⊙O的圓心重合，一條直角邊AB與⊙O相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O′A′B，使點O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點C．則∠OCB為（）A．60° B．65° C．85° D．90°4．（2023?船營區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，若AC＝PC，則∠P的度數是（）A．15° B．20° C．30° D．45°5．（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則△ABC的內切圓的半徑r是（）A．2 B．3 C．4 D．無法判斷6．（2022秋?聊城期末）如圖，△ABC中，∠A＝80°，點O是△ABC的內心，則∠BOC的度數為（）A．100° B．160° C．80° D．130°7．（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，△ABC是一張周長為18cm的三角形紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．13cm B．8cm C．6.5cm D．隨直線MN的變化而變化8．（2022秋?南沙區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是⊙