19立體幾何中軌跡問題 1 1【題型二】由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡 【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距(或定長)求軌跡 9 【題型五】投影求軌跡 16 【典例分析】如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F、G、H、N分別是CC?、C?D?、DD?、【答案】D【分析】連接GH、HN,有GH//BA?,HN//BD,邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN//面A?BD,則點(diǎn)M軌跡c.證得面A?BD//面GHN,由已知得點(diǎn)M須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，由此可得選項(xiàng).【詳解】則GH//BA?,HN//BD,又GH面A?BD,BA?面A?BD,所以GH//面A?BD,同理可證得NH//面A?BD,又GH∩HN=H,∴面A?BD//面GHN,又∵點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，MN//面A?BD,則點(diǎn)M須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，則點(diǎn)M軌跡的長度是【提分秘籍】【變式演練】1.在三棱臺(tái)ABC-ABC中，點(diǎn)D在AB上，且AA//BD,點(diǎn)M是三角形ABC內(nèi)(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面BDM1/平面AACC,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A.三角形ABC邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)【分析】過D作DEIIAC交BC于E,連接BE,證明平面BDE/1平面AACC,得M∈DE,即得結(jié)論.【詳解】如圖，過D作DE//AC交BC于E,連接BE,BD/|AA,BD平面AAC?C,AAC平面AACC,同理DE//平面AACC,又BD∩DE=D,BD,DEC所以平面BDE//平面AACC,所以M∈DE,(M所以BD//平面AACC,不與D重合，否則沒有平面BDM),2.已知正方體ABCD-AB?CD的棱長為2,E、F分別是棱AA、AD?的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，若直線DP與平面BEF無公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長度為A.√2+1B.√5【答案】B【分析】出a、b所滿足的等式，求出點(diǎn)P的軌跡與線段AD、BC的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.【詳解】EQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up10(Ul),B)令b=0,可得a=2;令b=2,可得a=1.底面AB?C?D?內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),若AP//平面BDEF,則P點(diǎn)的軌跡長為()A.1B.【答案】B【分析】由分別取棱AB、AD?的中點(diǎn)M、N,連接MN,由線面平行得面面平行，得動(dòng)點(diǎn)軌跡，從而可計(jì)算其長度.【詳解】如圖所示，分別取棱AB、A?D的中點(diǎn)M、N,連接MN,連接B;D,∵M(jìn)、N、E、F為所在棱的中點(diǎn)，∴MN//B;D,EFI/B,D,∴MN又MNα平面BDEF,EFC平面BDEF,∴MN//平面BDEF,連接NF,由NF//AB,NF=AB,ABI/AB,AB=AB,則四邊形ANFB為平行四邊形，則AN//FB,而AN平面BDEF,FBC平面BDEF,則AN11平面BDEF.可得NF//AB,NF=AB,又AN∩NM=N,∴平面AMN//平面BDEF.又P是上底面AB?C?D?內(nèi)一點(diǎn)，且AP//平面BDEF,【題型二】動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡【典例分析】【答案】B【分析】如圖，連接AC,證明BC⊥B;Q,又BC?⊥B?C,即得解.【詳解】因?yàn)锽C⊥AQ,BC⊥AB,AQ∩AB=A,AQ,ABC平面ABQ,所以BC?⊥平面ABQ,又BQC平面ABQ,1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡【變式演練】1.在正方體ABCD-ABC?D?中，點(diǎn)P在側(cè)面BCCB,及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持AP⊥BD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為()A.線段CBB.線段BC;C.BB?的中點(diǎn)與CC的中點(diǎn)連成的線段D.BC的中點(diǎn)與B?C的中點(diǎn)連成的線段【分析】總是保持AP與BD?垂直，得到點(diǎn)P的軌跡為面ACB與面BCC?B,的交線.【詳解】如圖，連接AC,AB,BC,在正方體ABCD-A,BC?D?中，有BD⊥平面ACB,2.在棱長為1的正方體ABCD-ABCD?中，M,N分別為BD,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP⊥CN.給出下列說法：①點(diǎn)P可以是棱BB的中點(diǎn)；))B【答案】②④【分析】的坐標(biāo)，從而得到MP的最大值，即可判斷選項(xiàng)②,通過分析判斷可得點(diǎn)P不可能是棱BB的中點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)①,又EF=GH=1,可判斷選項(xiàng)③和選項(xiàng)④.【詳解】∵該正方體的棱長為1,M,N分別為BD,B;C的中點(diǎn)，,,,,,即EF⊥CN,EH⊥CN,∴CN⊥平面EFGH,為使MP⊥CN,必有點(diǎn)P∈平面EFGH,;,與平面DAE的垂線垂直，則下列說法不正確的是()A.A,F與D,E不可能平行D.三棱錐F-ABD,的體積為定值【分析】設(shè)平面DAE與直線BC交于G,連接AG,EG,則G為BC的中點(diǎn)，分別取B;B,BC的中點(diǎn)M,N,連接AM,MN,AN,證明平面AMN//平面D,AE,即可分析選項(xiàng)ABC的正誤；再由MN//EG,得點(diǎn)F到平面DAE的距離為定值，可得三棱錐F-ABD?的體積【詳解】解：設(shè)平面DAE與直線BC交于G,連接AG,EG,則G為BC的中點(diǎn)，分別取B,B,BC的中點(diǎn)M,N,如圖，∵AM//DE,AME平面D?AE,DEC平面D,AE,∴AM//平面D?AE,同理可得MNI/平面D,AE,∴平面AMN/Ⅱ平面DAE,而AFI平面DAE,∴AFC平面AMN,得點(diǎn)F的軌跡為一條線段，故C正確；∵平面AMN//平面D?AE,BE和平面D,AE相交，∴AF與BE是異面直線，故B正確；∵M(jìn)NI/EG,則點(diǎn)F到平面D?AE的距離為定值，∴三棱錐F-ABD,的體積為定值，故D正確.【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距(或者定距)求軌跡【典例分析】已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1,P為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若P到棱CD,A?D?距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是()A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線【答案】D【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求出點(diǎn)P的軌跡方程即可判斷.【詳解】如圖示，過P作PE⊥AB與E,過P作PF⊥AD于F,過F作FG//AA?交APG,由題意可知PE=PGD.【提分秘籍】求解軌跡【變式演練】1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面P底面ABCD,M為正方形ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MC.則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為()【詳解】稱系。設(shè)正方形ABCD的邊長為0,M(50),W0cxsa,0sysa,段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與正方體(各個(gè)面)所圍成的幾何體的體積為()出圖形，結(jié)合球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接PF、NF,因?yàn)锳DI/A'D',AD=AD,且E、F分別為AD、A'D'的中點(diǎn)，故AE//A'F且AE=A'F,所以，四邊形AA'FE為平行四邊形，故EF//AA'且EF=AA'=4,∵AA'⊥平面A'BCD',則EF⊥平面A'B'CD',因?yàn)镕NC平面A'B'CD,所以，EF⊥FN,所以，線段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與正方體(各個(gè)面)所圍成的幾何體為球F的A.2√3B.2√6【分析】【詳解】解：不妨令OP⊥OC,則OP⊥底面OABC,∵D是OP上的動(dòng)點(diǎn)，∴OD⊥底面OABC,可得OD⊥OE,又Q為DE的中點(diǎn)，即Q的軌跡是以O(shè)為球心，以球【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角(或定角)求軌跡【典例分析】正方體ABCD-ABCD?中，M,N分別為AB,AB?的中點(diǎn)，P是邊C?D,上的一個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),Q是平面PMB,上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線MN與直線AN夾角與直線MN與直線NQ的夾角相等，則點(diǎn)Q所在軌跡為()A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.拋物線或雙曲線【分析】曲線的性質(zhì)判斷Q所在軌跡的形狀.【詳解】則點(diǎn)P的軌跡是()【分析】【詳解】故可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是橢圓.2.如圖所示，ABCD-ABC?D?為動(dòng)點(diǎn)，若∠PBC=∠BC?C,則P點(diǎn)的軌跡為()A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.圓【答案】B【分析】據(jù)方程判定軌跡類型.【詳解】3.在長方體ABCD-ABCD中，AB=AD=6,AZAPD=∠CPM,則點(diǎn)P的軌跡與長方體的側(cè)面DCC,D,的交線長等于【分析】方程，確定點(diǎn)P的軌跡與長方體的面DCC?D,的交線，進(jìn)而求得交線長.【詳解】當(dāng)P在面DCC?D?內(nèi)時(shí)，AD⊥面DCC?D,CM⊥又∠APD=∠MPC,在Rt?PDA與Rt?PCM中，∵AD=6,則MC=3,,即PD=2PC.在平面DCCD中，以DC所在直線為x軸，以DC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)∴點(diǎn)P的軌跡是以F(5,0)為圓心，半徑為4的圓.設(shè)圓F與面DCC?D?的交點(diǎn)為E、M,作EK垂直x軸于點(diǎn)K,如圖，.故【題型五】投影求軌跡【典例分析】可以得到橢圓(其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)),實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.在生活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個(gè)占A正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得AA,與小球相切.若AA=5,小球半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為()【分析】設(shè)A?F=x,從而可得AA=5,AA?=x+2,AA?=x+3,利用勾股定理可得x=10,再由AA=5,AA?=x+2,AA?=x+3,:52+(x+2)2=(【提分秘籍】【變式演練】1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為O',在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C.如圖，橢圓中心為O,球與地面的接觸點(diǎn)為E,OE=4.若光線與地面所成角為0,橢圓的離心率e=【分析】根據(jù)平行投影計(jì)算出橢圓C的短半軸長b,再求出光線與水平面所成銳角的正弦，進(jìn)而求得橢圓C的長軸長2a而得解.【詳解】連接OO',則∠OOE=0,因?yàn)镺E=3,OE=4,如圖：橢圓的長軸長2a是AC,過A向BC做垂線，垂足是B,則AB⊥OO,OE⊥AC,【典例分析】如圖，將四邊形ABCD中，ADC沿著AC翻折到ADC,則翻折過程中線段DB中點(diǎn)M的軌跡是()A.橢圓的一段B.拋物線的一段【答案】D過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F,過點(diǎn)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E,連接DE,BF,再分別分析翻折前、后的變化量與不變量，在翻折后的圖形中取BE中點(diǎn)O,進(jìn)而可得答案.【詳解】解：在四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F,過點(diǎn)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E,連接DE,BF,如圖1,B當(dāng)。ADC沿著AC翻折到AD?C,形成如圖2的幾所以線段DB中點(diǎn)M的軌跡是以BE中點(diǎn)O為圓心的圓弧上的部分.故選：D【提分秘籍】【變式演練】1.已知△ABC的邊長都為2,在邊AB上任取一點(diǎn)D,沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD.在平面BCD內(nèi)過點(diǎn)B作BP⊥平面ACD,垂足為P,那么隨著點(diǎn)D的變化，點(diǎn)P的軌跡長度為()【分析】根據(jù)題意，先確定點(diǎn)P軌跡的形狀，進(jìn)而求出軌跡的長度即可.【詳解】由題意，在平面BCD內(nèi)作BQ⊥CD,交CD于Q,因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD,平面BCD與平面ACD交于CD,所以BQ⊥平面ACD,又BP⊥平面ACD