卡爾曼濾波器推導(dǎo)卡爾曼濾波器是一種最優(yōu)濾波器，可以估計出具有高斯噪聲干擾的線性動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。它不僅可以用于預(yù)測未來的狀態(tài)，還可以通過觀測值進(jìn)行更新以獲得更準(zhǔn)確的狀態(tài)估計。

設(shè)想一個離散時間的線性動態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)可以用向量表示，系統(tǒng)的動態(tài)方程可以表示為：

x(k)=Ax(k-1)+Bu(k-1)+w(k-1)

其中，x(k)表示在時刻k的系統(tǒng)狀態(tài)，A和B分別為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和輸入矩陣，u(k-1)為輸入向量，w(k-1)為過程噪聲向量，表示系統(tǒng)動態(tài)的不確定性。

假設(shè)我們通過傳感器觀測到系統(tǒng)的輸出，其觀測方程可以表示為：

z(k)=Hx(k)+v(k)

其中，z(k)為觀測值，H為觀測矩陣，v(k)為觀測噪聲向量，表示觀測的不確定性。

卡爾曼濾波器的主要目標(biāo)是通過觀測值z(k)來估計系統(tǒng)的狀態(tài)x(k)，在不斷接收到新的觀測值時，對狀態(tài)進(jìn)行更新。

卡爾曼濾波器有兩個主要的步驟：預(yù)測步驟和更新步驟。

預(yù)測步驟：

首先根據(jù)上一時刻的狀態(tài)估計和系統(tǒng)模型進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測。狀態(tài)估計可以用一個狀態(tài)向量x_hat(k-1|k-1)表示，表示在時刻(k-1)時對時刻k狀態(tài)的最佳估計。

x_hat(k|k-1)=Ax_hat(k-1|k-1)+Bu(k-1)

然后，根據(jù)系統(tǒng)的過程噪聲協(xié)方差矩陣Q和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A，計算出預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣P(k|k-1)：

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A^T+Q

更新步驟：

根據(jù)觀測值z(k)和預(yù)測的狀態(tài)x_hat(k|k-1)進(jìn)行狀態(tài)更新。首先計算測量殘差，即觀測值與預(yù)測的觀測值之間的差異：

y(k)=z(k)-Hx_hat(k|k-1)

然后，根據(jù)測量噪聲協(xié)方差矩陣R、觀測矩陣H和預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣P(k|k-1)，計算卡爾曼增益K(k)：

K(k)=P(k|k-1)H^T(HP(k|k-1)H^T+R)^-1

最后，利用卡爾曼增益和測量殘差，更新狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差矩陣：

x_hat(k|k)=x_hat(k|k-1)+K(k)y(k)

P(k|k)=(I-K(k)H)P(k|k-1)

通過不斷的預(yù)測和更新步驟，可以實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的準(zhǔn)確估計。

需要注意的是，卡爾曼濾波器的有效性依賴于對系統(tǒng)動態(tài)和測量噪聲的準(zhǔn)確建模，同時也要求系統(tǒng)的動態(tài)和測量