題型四與圓有關(guān)的證明與計(jì)算類(lèi)型一與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算1.如圖，D是⊙O上的一點(diǎn)，C是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD，CD，且∠A＝∠BDC.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CM平分∠ACD，且分別交AD，BD于點(diǎn)M，N，當(dāng)DM＝2時(shí)，求MN的長(zhǎng).第1題圖2.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP＝AC.(1)求證：PA是⊙O的切線；(2)若AB＝3，BC＝2，求⊙O的半徑.第2題圖3.(2019南充)如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD，∠BCD＝∠A.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若BC＝5，BD＝3，求點(diǎn)O到CD的距離.第3題圖4.(2019濟(jì)寧)如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，E為OD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CAE＝2∠C，AC與BD交于點(diǎn)H，與OE交于點(diǎn)F.(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若DH＝9，tanC＝，求直徑AB的長(zhǎng).第4題圖

類(lèi)型二與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算1.(2019河南定心卷)如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AD，CD.(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝5，BC＝3，求AE的長(zhǎng).第1題圖2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，連接BE.(1)求證：BC＝BH；(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的長(zhǎng).第2題圖3.如圖，半圓O的直徑為AB，D是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使CD＝BD，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線交AC于點(diǎn)E.(1)求證：DE⊥AC；(2)若BD＝2，且AB＝3BD，求DE的長(zhǎng).第3題圖4.(2019桂林改編)如圖，BM是以AB為直徑的⊙O的切線，B為切點(diǎn)，BC平分∠ABM，弦CD交AB于點(diǎn)E，DE＝OE.(1)求證：∠CAE＝∠CBA；(2)求證：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值.第4題圖

類(lèi)型三特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究題1.如圖所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線AD相交于點(diǎn)E，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F.(1)線段BF與圖中哪條線段相等？寫(xiě)出來(lái)并加以證明；(2)若AB＝12，BC＝13，P從E出發(fā)沿ED方向運(yùn)動(dòng)，Q從C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)且速度均為每秒1個(gè)單位.填空：①當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形EPCQ是矩形；②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形EPCQ是菱形.第1題圖2.如圖，已知BC是⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點(diǎn)A，CD∥OA交⊙O于另一點(diǎn)E.(1)求證：△ACD∽△BCA；(2)若A是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則①當(dāng)∠B＝時(shí)，以A，O，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形；②當(dāng)∠B＝時(shí)，以A，O，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.第2題圖3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E.(1)求證：EB＝EC；(2)填空：①當(dāng)∠BAC＝時(shí)，△CDE為等邊三角形；②連接OD，當(dāng)∠BAC＝時(shí)，四邊形OBED是菱形.第3題圖4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交EC于點(diǎn)F.(1)求證：EF＝FC；(2)填空：①當(dāng)∠ACD的度數(shù)為時(shí)，四邊形ODFC為正方形；②若AD＝4，DC＝2，則四邊形ABCD的最大面積是.第4題圖

5.(2019許昌模擬)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，分別交AC，AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)填空：①當(dāng)∠BAC的度數(shù)為時(shí)，四邊形ACDO為菱形；②若⊙O的半徑為5，AC＝3CE，則BC的長(zhǎng)為.第5題圖6.如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC與⊙O相切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥PC交⊙O于另一點(diǎn)D，連接PA，PB，PO.(1)求證：AP平分∠CAB；(2)若P是直徑AB上方半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為2，則①當(dāng)弦AP＝時(shí)，以A，O，P，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形；②當(dāng)弧AP＝時(shí)，以A，D，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.第6題圖7.(2019新鄉(xiāng)模擬)如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，且PA＝AB，PA，PB交⊙O于D，E兩點(diǎn)，∠PAB為銳角，連接DE，OD，OE.(1)求證：∠EDO＝∠EBO；(2)填空：若AB＝8，①△AOD的最大面積為；②當(dāng)DE＝時(shí)，四邊形OBED為菱形.第7題圖8.如圖，點(diǎn)A，C，B是⊙O上三點(diǎn)，且C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)是弦AB上兩點(diǎn)，且AF＝BE.(1)求證：OE＝OF；(2)填空：若⊙O的半徑為eq\r(2)，①當(dāng)∠AOB＝時(shí)，四邊形AOBC是菱形；②當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，四邊形AOBC的面積是.第8題圖9.(2019開(kāi)封模擬)如圖，在?ABCD中，⊙O是△ABC的外接圓，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，點(diǎn)P是劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合)，連接PA，PB，PC.(1)求證：CA＝CB；(2)當(dāng)AP＝AC時(shí)，試判斷△APC與△CBA是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)填空：當(dāng)∠D＝時(shí)，四邊形ABCD是菱形.第9題圖10.如圖，以△ABC一邊AB為直徑作⊙O，與另外兩邊分別交于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接DE.(1)證明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①當(dāng)∠B＝時(shí)，四邊形BDEO是菱形；②當(dāng)∠B＝時(shí)，△AOE是直角三角形.第10題圖11.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，連接BD，CD.(1)求證：△BDE≌△CDE；(2)填空：①連接CF，當(dāng)∠BAC＝時(shí)，四邊形BDCF是菱形；②當(dāng)∠FBD＝時(shí)，四邊形ABDC是正方形.第11題圖12.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，AD＝OC.(1)求證：四邊形OCAD是平行四邊形；(2)探究：①當(dāng)∠B＝時(shí)，四邊形OCAD是菱形；②當(dāng)∠B滿(mǎn)足什么條件時(shí)，AD與⊙O相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.第12題圖

參考答案類(lèi)型一與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算1.(1)證明：如解圖，連接OD.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°.∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；第1題解圖(2)解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴在Rt△NDM中，由勾股定理得，MN＝eq\r(DM2＋DN2)＝2eq\r(2).2.(1)證明：如解圖，連接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACO＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥PA，∵OA為⊙O的半徑，∴PA是⊙O的切線；第2題解圖(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，∴BE＝BC·cosB＝1，CE＝eq\r(3)，∵AB＝3，∴AE＝AB－BE＝2，∴在Rt△ACE中，AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\r(7)，∴AP＝AC＝eq\r(7).∴在Rt△PAO中，OA＝tan30°·eq\r(7)＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(7)＝eq\f(\r(21),3)，∴⊙O的半徑為eq\f(\r(21),3).3.(1)證明：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°.∴∠A＋∠ACD＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.又∵OC為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E.在Rt△BCD中，∵BC＝5，BD＝3，∴CD＝4.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠BCD＝∠A，∴Rt△BDC∽R(shí)t△CDA.∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(3,4)，∴AD＝eq\f(16,3).∵OE⊥CD，∴E為CD的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(8,3).∴點(diǎn)O到CD的距離為eq\f(8,3).第3題解圖4.(1)證明：∵D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，即∠AFO＝90°，∴∠CAB＋∠AOF＝90°.又∵∠CAE＝2∠C＝2∠B＝∠AOF，∴∠CAE＋∠CAB＝∠AOF＋∠CAB＝90°＝∠EAO，∴EA⊥AB.又∵AB為⊙O的直徑，∴AE是⊙O的切線；(2)解：如解圖，連接AD，∵∠C＝∠B＝∠HDF，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠C＝∠DAH＝∠B，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴Rt△ADH∽R(shí)t△BDA，∵tanC＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(DH,DA)＝eq\f(3,4)，∵DH＝9，∴AD＝12，BD＝16，在Rt△DAB中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝20.第4題解圖類(lèi)型二與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算1.(1)證明：如解圖，連接OC，∵直線MN與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥MN.∵BD∥MN，∴OC⊥BD.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴∠BAE＝∠CAD.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠ACD,AB＝AC,∠BAE＝∠CAD))，∴△ABE≌△ACD(ASA)；第1題解圖(2)解：由(1)知∠BAC＝∠CAD＝∠CBD，∴△BCE∽△ACB.∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(CE,CB).∵AC＝AB＝5，BC＝3，∴CE＝eq\f(9,5).∴AE＝AC－CE＝eq\f(16,5).2.(1)證明：如解圖，連接OE，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC.∵∠C＝90°，∴BC⊥AC.∴OE∥BC.∴∠CBE＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠EBO＝∠OEB.∴∠CBE＝∠EBO，∵CE⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH.在Rt△EBC和Rt△EBH中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝HE，,BE＝BE，))∴Rt△EBC≌Rt△EBH(HL)．∴BC＝BH；第2題解圖(2)解：∵AB＝5，AC＝4，∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝3.∵BC＝BH，∴BH＝3.∴AH＝AB－BH＝5－3＝2.設(shè)CE＝EH＝x，則AE＝4－x，在Rt△AEH中，根據(jù)勾股定理可得AH2＋EH2＝AE2，即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2)，∴CE＝eq\f(3,2).3.(1)證明：如解圖，連接OD.∵DE是半圓O的切線，切點(diǎn)為D，∴OD⊥DE，∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC.∴DE⊥AC；第3題解圖(2)解：如解圖，連接AD，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵DC＝BD＝2，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD.又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ADB＝∠DEC，∴△ABD∽△DCE.∴eq\f(DE,AD)＝eq\f(DC,AB)，即DE＝eq\f(AD·DC,AB)，在Rt△ABD中，BD＝2，AB＝3BD＝6，∴AD＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)，∴DE＝eq\f(4\r(2)×2,6)＝eq\f(4\r(2),3).4.(1)證明：∵BM是⊙O的切線，∴∠ABM＝90°.∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠ABM＝45°.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠CAE＝∠CBA；(2)證明：如解圖，連接OC和OD.∵OC＝DO，DE＝OE，∴∠OCD＝∠ODC＝∠DOE.∴△OCD∽△EDO，∴eq\f(DO,OE)＝eq\f(DC,OD)，即DO2＝OE·DC.又∵OA＝DO，∴OA2＝OE·DC；第4題解圖(3)解：由(1)知，△ACB為等腰直角三角形，∴C為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，CO⊥AB，如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，設(shè)圓的半徑為r，∠DCO＝θ，則有∠EOD＝∠CDO＝θ，∠CEO＝∠EOD＋∠CDO＝2θ，由θ＋2θ＝90°，得θ＝30°，在Rt△COE中，OE＝eq\f(\r(3),3)r，則AE＝r－eq\f(\r(3),3)r＝eq\f(3－\r(3),3)r，AC＝eq\r(2)r.在Rt△AEF中，AF＝EF＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3－\r(3),3)r＝eq\f(3\r(2)－\r(6),6)r，∴CF＝AC－AF＝eq\r(2)r－eq\f(3\r(2)－\r(6),6)r＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),6)r，∴tan∠ACD＝eq\f(EF,CF)＝eq\f(\f(3\r(2)－\r(6),6)r,\f(3\r(2)＋\r(6),6)r)＝2－eq\r(3).類(lèi)型三特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究題1.解：(1)BF＝AE.證明如下：由題意可知∠A＝∠BFC＝90°，BC＝BE.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，在△ABE與△FCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAB＝∠BFC,∠AEB＝∠FBC,BE＝CB))，∴△ABE≌△FCB(AAS)．∴AE＝BF；(2)①8；【解法提示】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵四邊形EPCQ是矩形，∴∠APC＝90°，∴四邊形ABCP是矩形，∴AP＝BC.由勾股定理知AE＝5，∴EP＝13－5＝8，∴t＝8.②13.【解法提示】∵四邊形EPCQ是菱形，∴QE＝QC，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，∴CQ＝CB＝13，∴t＝13.2.(1)證明：∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AD，∵CD∥OA，∴∠ADC＝90°，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ADC，又∵CD∥OA，∴∠ACD＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACD＝∠ACO，∴△ACD∽△BCA；(2)解：①45°；【解法提示】∵四邊形AOCD為正方形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∵∠BAC＝90°，OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝90°－45°＝45°.②60°.【解法提示】如解圖，連接AE，∵AD為切線，∴∠DAE＝∠ECA，∠OAD＝90°.∵四邊形AOCE為菱形，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠DAE＝∠ECA＝∠OAC＝30°，∴∠ACO＝30°，∴∠AOB＝∠ACO＋∠OAC＝30°＋30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝60°.第2題解圖3.(1)證明：如解圖，連接OD，BD，∵∠ABC＝90°，AB是⊙O的直徑，∴BC是⊙O的切線．∵DE是⊙O的切線，∴BE＝DE.∴∠EBD＝∠EDB.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠EBD＋∠C＝90°，∠EDB＋∠CDE＝90°.∴∠C＝∠EDC.∴DE＝CE.∴EB＝EC；第3題解圖(2)解：①30°；【解法提示】當(dāng)△CDE為等邊三角形時(shí)，則∠CDE＝∠C＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.②45°.【解法提示】當(dāng)四邊形OBED是菱形時(shí)，BO＝DE，DE∥OB，BE＝OD，BE∥OD，∵∠ABC＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OD＝OA，∴∠BAC＝45°.4.(1)證明：∵AC是⊙O的直徑，CE⊥AC，∴CE是⊙O的切線．又∵DF是⊙O的切線，且交CE于點(diǎn)F，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠E＝90°，∠CDF＋∠EDF＝90°，∴∠E＝∠EDF，∴DF＝EF，∴EF＝FC；(2)解：①45°；【解法提示】如解圖，連接OD，∵四邊形ODFC是正方形，∴∠DOC＝90°，又∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，∴∠ACD＝∠OCD＝45°.第4題解圖②9.【解法提示】∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝4，DC＝2，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝2eq\r(5)，∴要使四邊形ABCD的面積最大，則△ABC的面積最大，∴當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，△ABC的面積最大，∴四邊形ABCD的最大面積＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\r(5)＝9.5.(1)證明：如解圖，連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，又∵OD為⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；第5題解圖(2)解：①60°；【解法提示】如解圖，連接CD，當(dāng)四邊形ACDO為菱形時(shí)，AO∥CD，AC∥OD，已知AD為∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠ODA＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠CDA＝∠CBA，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠BAC＝60°.②8.【解法提示】如解圖，設(shè)OD與BC交于點(diǎn)G，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AC，∴四邊形CEDG是矩形，∴DG＝CE，∵AC＝3CE，∴OG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3,2)CE，∴OD＝eq\f(5,2)CE＝5，∴CE＝2，∴AC＝6，∵AB＝2×5＝10，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8.6.(1)證明：如解圖，∵PC與⊙O相切于點(diǎn)P，∴OP⊥PC.∵AC⊥PC，∴AC∥OP.∴∠1＝∠3.∵OP＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP平分∠CAB；第6題解圖(2)解：①2eq\r(2)；【解法提示】∵AOPC為正方形，∴OP＝OA＝2，∠POA＝90°，∴AP＝eq\r(OP2＋OA2)＝2eq\r(2).②eq\f(2,3)π或eq\f(4,3)π.【解法提示】當(dāng)AD＝AP＝OP＝OD時(shí)，∵四邊形ADOP為菱形，∴△AOP和△AOD為等邊三角形，則∠AOP＝60°，leq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\f(60×2π,180)＝eq\f(2,3)π；當(dāng)AD＝DP＝PO＝OA時(shí)，∵四邊形ADPO為菱形，∴△AOD和△DOP為等邊三角形，則∠AOP＝120°，leq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\f(120×2π,180)＝eq\f(4,3)π.綜上所述，當(dāng)弧AP為eq\f(2,3)π或eq\f(4,3)π時(shí)，以A，D，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．7.(1)證明：如解圖，連接AE,第7題解圖∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵PA＝AB，∴E為PB的中點(diǎn)，∵AO＝OB，∴OE∥PA，∴∠ADO＝∠DOE，∠A＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，∵OD＝OE＝OB，∴∠EDO＝∠EBO；(2)解：①8；【解法提示】∵AB＝8，∴OA＝4，當(dāng)OA邊上的高最大時(shí)，△AOD的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，∴S△AOD＝eq\f(1,2)×4×4＝8.②4.【解法提示】當(dāng)四邊形OBED為菱形時(shí)，OD＝OB＝BE＝DE＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝4.8.(1)證明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵AF＝BE，∴AE＝BF，在△OAE和△OBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB,∠OAB＝∠OBA,AE＝BF))，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF；(2)解：①120°；②eq\r(2).【解法提示】①如解圖，連接OC，∵四邊形AOBC是菱形，∴OA＝AC＝BC＝OB，∵OA＝OC，∴OA＝AC＝BC＝OB＝OC，∴△AOC和△BOC都是等邊三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝60°＋60°＝120°；②如解圖，設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D，∵點(diǎn)C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AD＝BD，∠AOC＝∠BOC＝45°，∴OD＝BD，∵OB＝eq\r(2)，∴BD＝OD＝1，∴AB＝2，∴S四邊形AOBC＝S△AOB＋S△ACB＝eq\f(1,2)AB·OD＋eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).第8題解圖9.(1)證明：如解圖，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴CE⊥CD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴CE⊥AB，∴AE＝BE，∴CA＝CB；第9題解圖(2)解：當(dāng)AC＝AP時(shí)，△APC≌△CBA.理由如下：∵CA＝CB，AC＝AP，∴∠ABC＝∠BAC，∠APC＝∠ACP，∵∠ABC＝∠APC，∴∠BAC＝∠ACP，在△APC與△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APC＝∠CBA,∠ACP＝∠CAB,AC＝CA))，∴△APC≌△CBA(AAS)；(3)解：60°.【解法提示】∵ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，由(1)可知，CA＝CB，∴△ABC是等邊三角形，∴∠D＝∠B＝60°.10.(1)證明：如解圖，連接A