第4講圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題1．(2019·安徽省考試試題)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點為P，右頂點為Q，直線PQ與圓x2＋y2＝eq\f(4,5)相切于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(4,5))).(1)求橢圓C的方程；(2)若不經(jīng)過點P的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，求證：直線l過定點．解：(1)由已知得直線OM(O為坐標原點)的斜率kOM＝2，則直線PQ的斜率kPQ＝－eq\f(1,kOM)＝－eq\f(1,2)，所以直線PQ的方程為y－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,5)))，即x＋2y＝2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a＝2，b＝1，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)證明：當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件．當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y＝kx＋n(n≠1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1,y＝kx＋n))，消去y整理得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，得4k2＋1>n2.①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－8kn,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(4（n2－1）,4k2＋1).②由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n，所以(k2＋1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0，③由②③得n＝1(舍)，或n＝－eq\f(3,5)，滿足①.此時l的方程為y＝kx－eq\f(3,5)，故直線l過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,5))).2．(2019·南昌市第一次模擬測試)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(1,2)，P是C上的一個動點，且△F1PF2面積的最大值為4eq\r(3).(1)求C的方程；(2)設(shè)C的左、右頂點分別為A，B，若直線PA，PB分別交直線x＝2于M，N兩點，過點F1作以MN為直徑的圓的切線，證明：切線長為定值，并求該定值．解：(1)設(shè)P(x0，y0)，橢圓的半焦距為c.因為S△F1PF2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|≤eq\f(1,2)·2c·b＝bc，所以bc＝4eq\r(3).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a2＝b2＋c2，所以a＝4，b＝2eq\r(3)，c＝2，所以C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)可知A(－4，0)，B(4，0)，F(xiàn)1(－2，0)．由題可知，x0≠2，且x0≠±4.設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則直線PA的方程為y＝k1(x＋4)，令x＝2得y＝6k1，故M(2，6k1)．直線PB的方程為y＝k2(x－4)，令x＝2得y＝－2k2，故N(2，－2k2)．記以MN為直徑的圓為圓D，則D(2，3k1－k2)．如圖，過點F1作圓D的一條切線，切點為T，連接F1D，DT，則|F1T|2＝|F1D|2－|DT|2，所以|F1T|2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，又k1＝eq\f(y0,x0＋4)，k2＝eq\f(y0,x0－4)，所以k1·k2＝eq\f(y0,x0＋4)·eq\f(y0,x0－4)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－16)，由eq\f(xeq\o\al(2,0),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＝1，得yeq\o\al(2,0)＝－eq\f(3,4)(xeq\o\al(2,0)－16)，所以k1·k2＝－eq\f(3,4)，則|F1T|2＝16－12k1k2＝16－12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝25，所以|F1T|＝5.故切線長為定值5.3．(2019·廣州市調(diào)研測試)已知動圓C過定點F(1，0)，且與定直線x＝－1相切．(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程；(2)過點M(－2，0)的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點P，Q，試探究在x軸上是否存在定點N(異于點M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)法一：依題意知，動圓圓心C到定點F(1，0)的距離，與到定直線x＝－1的距離相等，由拋物線的定義，可得動圓圓心C的軌跡E是以F(1，0)為焦點，x＝－1為準線的拋物線，其中p＝2.所以動圓圓心C的軌跡E的方程為y2＝4x.法二：設(shè)動圓圓心C(x，y)，依題意得eq\r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，化簡得y2＝4x，即為動圓圓心C的軌跡E的方程．(2)假設(shè)存在點N(x0，0)滿足題設(shè)條件．由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直線PN與QN的斜率互為相反數(shù)，即kPN＋kQN＝0.①易知直線PQ的斜率必存在且不為0，設(shè)直線PQ：x＝my－2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,x＝my－2))，得y2－4my＋8＝0.由Δ＝(－4m)2－4×8>0，得m>eq\r(2)或m<－eq\r(2).設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝8.由①得kPN＋kQN＝eq\f(y1,x1－x0)＋eq\f(y2,x2－x0)＝eq\f(y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）,（x1－x0）（x2－x0）)＝0，所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0，即y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0.消去x1，x2，得eq\f(1,4)y1yeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,4)y2yeq\o\al(2,1)－x0(y1＋y2)＝0，即eq\f(1,4)y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0.因為y1＋y2≠0，所以x0＝eq\f(1,4)y1y2＝2，所以存在點N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.4．(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知拋物線C1：x2＝2py(p＞0)和圓C2：(x＋1)2＋y2＝2，傾斜角為45°的直線l1過C1的焦點，且l1與C2相切．(1)求p的值；(2)動點M在C1的準線上，動點A在C1上，若C1在A點處的切線l2交y軸于點B，設(shè)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．解：(1)依題意，設(shè)直線l1的方程為y＝x＋eq\f(p,2)，因為直線l1與圓C2相切，所以圓心C2(－1，0)到直線l1：y＝x＋eq\f(p,2)的距離d＝eq\f(|－1＋\f(p,2)|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2)，即eq\f(|－1＋\f(p,2)|,\r(2))＝eq\r(2)，解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.(2)法一：依題意設(shè)M(m，－3)，由(1)知拋物線C1的方程為x2＝12y，所以y＝eq\f(x2,12)，所以y′＝eq\f(x,6)，設(shè)A(x1，y1)，則以A為切點的切線l2的斜率為k＝eq\f(x1,6)，所以切線l2的方程為y＝eq\f(1,6)x1(x－x1)＋y1.令x＝0，則y＝－eq\f(1,6)xeq\o\al(2,1)＋y1＝－eq\f(1,6)×12y1＋y1＝－y1，即B點的坐標為(0，－y1)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1－m，y1＋3)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－m，－y1＋3)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x1－2m，6)，所以eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x1－m，3)，設(shè)N點坐標為(x，y)，則y＝3，所以點N在定直線y＝3上．法二：設(shè)M(m，－3)，由(1)知拋物線C1的方程為x2＝12y，①設(shè)l2的斜率為k，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,12)xeq\o\al(2,1)))，則以A為切點的切線l2的方程為y＝k(x－x1)＋eq\f(1,12)xeq\o\al(2,1)，②聯(lián)立①②得，x2＝12[k(x－x1)＋eq\f(1,12)xeq\o\al(2,1)]，因為Δ＝144k2－48kx1＋4xeq\o\al(2,1)＝0，所以k＝eq\f(x1,6)，所以切線l2的方程為y＝eq\f(1,6)x1(x－x1)＋eq\f(1,12)xeq\o\al(2,1)，令x＝0，得B點坐標為(0，－eq\f(1,12)xeq\o\al(2,1))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－m，\f(1,12)xeq\o\al(2,1)＋3))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq