第五章三角函數(shù)第5.1.1講任意角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負(fù)角與零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合.二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、任意角的概念2、軸線角象限角3、終邊相同的角三、核心知識(shí)一、任意角1、角的分類2、角的加法與減法名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線

做任何旋轉(zhuǎn)形成的角（1）兩角相等：如果兩角α，β的且旋轉(zhuǎn)量相等，就稱α=β。（2）角的加法：設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β。（3）角的減法：①把射線OA繞端點(diǎn)O按旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角，角α的相反角記作α②角的減法：：α－β＝.二、象限角：1.前提：角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與重合。2.分類：若交的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾。若角的終邊在上，則這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限。三、終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合即任一角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。三、核心例題題型1任意角的概念1．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【詳解】銳角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正確；選項(xiàng)B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差整數(shù)倍，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C．小于的角不一定在第一象限，也可以為負(fù)角，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D．根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負(fù)角，第一象限角可以為正角，此時(shí)第二象限角小于第一象限角，故錯(cuò)誤.故選：A2．手表走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為（

）A．60° B．60° C．30° D．30°【答案】B【詳解】時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30°，由于時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)數(shù).所以手表走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.故選：B3．每周一的早晨，我們都會(huì)在學(xué)校的操場(chǎng)上舉行升國(guó)旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時(shí)間，鐘表的分針走過(guò)的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分針是順時(shí)針走的，形成的角度是負(fù)角，又分針走過(guò)了10分鐘，走過(guò)的角度大小為，綜上，分針走過(guò)的角度是．故選：D．4．已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【詳解】因?yàn)锳={|為銳角}，D={|為小于的正角}，對(duì)于集合，小于的角包括零角與負(fù)角，對(duì)于集合，C={|為第一象限角}，所以A=D，故選：D5．射線繞端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，由位置繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，得，則射線旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為（）A．逆時(shí)針， B．順時(shí)針，C．逆時(shí)針， D．順時(shí)針，【答案】B【詳解】由題意可得，設(shè)，則，解得，所以射線繞端點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故選：B題型2軸線角象限角6．角是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)終邊相同角的集合知，與終邊相同，又是第二象限角.故選：B.7．若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若是第一象限角，則，，則是第四象限角，故D錯(cuò)誤；，則是第一象限角，故A錯(cuò)誤；，則是第二象限角，故B錯(cuò)誤；，則是第三象限角，故C錯(cuò)誤.故選：C.8．若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【詳解】由題意是第二象限角，所以不妨設(shè)，所以，由象限角的定義可知是第四象限角.故選：D.9．若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，則，因此，而為偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則為第四象限角，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則為第二象限角，所以的終邊所在的象限是第二、四象限.故選：D10．若是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【詳解】由與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，可知若是第二象限角，則是第三象限角，所以是第二象限角．故選：B.題型3終邊相同的角11．下列各角中，與角終邊重合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與角終邊重合的角為：，則當(dāng)時(shí)，，故C正確.經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)都不正確.故選：C.12．與角終邊相同的角可表示為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】，角與角的終邊相同，與角終邊相同的角可表示為.故選：B.13．集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以選項(xiàng)C滿足題意.故選：C.14．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．15．下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角為當(dāng)時(shí)，，正確.經(jīng)驗(yàn)證，其他三項(xiàng)均不符合要求.故選：.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．下列各角中，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：B2．下列各命題正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內(nèi)角必是第一，二象限角C．不相等的角終邊必不相同D．相等的角終邊相同【答案】D【詳解】為第一象限角，顯然不是銳角，A錯(cuò)誤；為軸線角，不屬于第一，二象限角，B錯(cuò)誤；與的終邊相同，C錯(cuò)誤；兩角相等終邊相同，D正確.故選：D3．若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】角是第二象限角，則,所以，故角的終邊在第三象限，故選：C4．已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榕c角終邊相同的角的集合為，當(dāng)時(shí)，得到，又，所以易知BCD均不符合題意.故選：A.5．已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【詳解】因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，記,所以所以為第二象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記,所以所以為第四象限角，所以為第二或第四象限角，故選:A.6．將的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與的終邊重合，則與終邊相同的角的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，則且，所以與終邊相同的角的集合為.故選：B7．已知集合，則M，P之間的關(guān)系為（）A．M=P B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.8．已知點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心的圓周上，從x軸正半軸，沿著逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，速度為每分鐘轉(zhuǎn)A在2分鐘時(shí)落在第三象限，18分鐘時(shí)回到出發(fā)位置，則大小是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】由題意得，，故，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?8分鐘時(shí)回到出發(fā)位置，所以，故，可得，所以，因?yàn)?，所以或，或，即?故選：C.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且為第二象限角，所以是第二象限角，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：第三象限角的集合為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：終邊在軸上的角的集合為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若角為銳角，即，則，所以角不一定為鈍角，例如，則為直角，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．下列表示中正確的是（

）A．終邊在軸上的角的集合是B．終邊在第二象限的角的集合為C．終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是D．終邊在直線上的角的集合是【答案】ABC【詳解】A，B中表示顯然正確；對(duì)于C，終邊在軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合為，其并集為，故C中表示正確；對(duì)于D，終邊在直線上的角的集合為或，其并集為，故D中表示不正確．故選：ABC三、填空題11．把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.【答案】【詳解】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.故答案為：.12．已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【答案】【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：四、解答題13．用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無(wú)特別說(shuō)明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．14．已知，.(1)指出各自終邊所在的象限；(2)在內(nèi)找出與終邊相同的所有角.【詳解】（1），在第二象限；在第一象限；（2），與終邊相同的角為，取范圍內(nèi)與它們終邊相同的所有角有與終邊相同的角為，取，則范圍內(nèi)與它們終邊相同的