2022年湖南省湘潭市湘潭縣青山中學中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號

涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.--C.|-3|

3

2.（3分）下列立體圖形中，左視圖是三角形的是（）

3.（3分）下列計算正確的是（）

235235532

A.a+a=aB.（a）=aC.aH-a=aD.3a-2ci=\

4.（3分）一元二次方程39-2x-l=0根的情況為（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

5.（3分）已知一組數(shù)據(jù)：6,2,8,x,7,它們的平均數(shù)是6,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）

A.6B.2C.8D.7

6.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）

C.2個D.1個

7.（3分）正比例函數(shù)y=fcr（k/0）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=的

圖象大致是（）

X

A.B.

8.（3分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，湘潭某家小

型快遞公司的分揀工小李和小江，在分揀同一類物件時，小李分揀120個物件所用的時間與

小江分揀90個物件所用的時間相同，已知小李每小時比小江多分揀20個物件.若設小江每

小時分揀x個物件，則可列方程為（）

12090?12090C12090C12090

AA.--------——D.------------——C.-----U.-----

x-20xx+20xxx-20xx+20

二、填空題（本大題共8小題，請將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24

分）

9.（3分）若分式標的值為零，則x的值是—.

x—2

10.（3分）因式分解：—.

II.（3分）為慶祝建黨70周年，某校開展以“我和我親愛的祖國”為主題的“快閃”活動，

七年級準備從三名男生和二名女生中選出一名同學領唱，如果每一位同學被選中的機會均等,

則選出的恰為女生的概率是—.

12.（3分）2020年來爆發(fā)的新冠疫情打亂了全球各國的發(fā)展節(jié)奏.我們中國在黨中央的領

導下，利用中國社會主義制度優(yōu)勢，以生命至上的人權理念，在無數(shù)醫(yī)護人員的拼命奮戰(zhàn)下

取得舉世抗疫成就.但在一些資主義國家消極抗疫政策下.截至2022年3月17日，全球累

計確診462058428人.用科學記數(shù)法表示為人.（精確到0.01）

13.（3分）連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形是—.

14.（3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,43=2,過點C作CD_LAB,

垂足為。，則CD的長度是—.

15.（3分）如圖，直線Zl=60°,Z2=4O°,則N3=

a

1

b

16.（3分）定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為/=—1,這個數(shù)，?叫做虛數(shù)單位，把形

如4+〃的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫做這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部.它的加、減、

乘法運算與整數(shù)的加、減、乘法運算類似.

例如計算：（4+i）+（6-2i）=4+6+i-2i=10-i

(2-0(3-z)=6-2/-3z+r=6-5/-1=5-5/

根據(jù)以上信息計算（1+2/）（2-/）+（2-if=—.

三、解答題（本大題共10小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程

寫在答題卡相應位置上，滿分72分）

17.（6分）計-算：（-1）2020-V8+4cos450-（夕'.

18.（6分）先化簡再求值：（x-三+J-2,其中x滿足f+x—2=（）.

x+1x2+2x+l

19.（6分）如圖，某高速公路建設中需要測量某條江的寬度飛機上的測量人員在C處

測得A、8兩點的俯角分別為45。和30。.若飛機離地面的高度C”為1200米，且點H、A、

3在同一水平線上，求這條江的寬度AB.（參考數(shù)據(jù)：血=1.414,73?1.732,結果精確

20.（6分）某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情

況，隨機選取該校部分學生進行調(diào)查，要求每名學生從中只選取一類最喜歡的電視節(jié)目，以

下是根據(jù)調(diào)查結果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.

類別ABCDE

節(jié)目類型新聞體育動畫娛樂戲曲

人數(shù)1230549

（1）被調(diào)查學生的總數(shù)為人，統(tǒng)計表中m的值為—，統(tǒng)計圖中〃的值為一.

（2）求統(tǒng)計圖中E類所對應扇形的圓心角.

（3）該校共有2000名學生，根據(jù)調(diào)查結果，估計該校最喜歡新聞節(jié)目的學生數(shù).

20%

21.（6分）如圖，矩形中，￡是AD的中點，延長CE,BA交于點F,連接AC,DF.

（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）當CF平分N88時，寫出8c與C￡>的數(shù)量關系，并說明理由.

22.（6分）端午節(jié)“賽龍舟，吃粽子”是中華民族的傳統(tǒng)習俗.節(jié)日期間，小邱家包了三

種不同餡的粽子，分別是：紅棗粽子（記為A）,豆沙粽子（記為硝，肉粽子（記為C）,

這些粽子除了餡不同，其余均相同.粽子煮好后，小邱的媽媽給一個白盤中放入了兩個

紅棗粽子，一個豆沙粽子和一個肉粽子；給一個花盤中放入了兩個肉粽子，一個紅棗粽

子和一個豆沙粽子.

根據(jù)以上情況，請你回答下列問題：

（1）假設小邱從白盤中隨機取一個粽子，恰好取到紅棗粽子的概率是多少？

（2）若小邱先從白盤里的四個粽子中隨機取一個粽子，再從花盤里的四個粽子中隨機取一

個粽子，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小邱取到的兩個粽子中一個是紅棗粽子、一

個是豆沙粽子的概率.

23.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，M與x軸的正半軸交于A、3兩點，與y軸的

正半軸相切于點C,連接M4、MC,已知M半徑為2,ZAMC=60°,雙曲線y=±（x>0）

經(jīng)過圓心

（1）求雙曲線y=K的解析式;

（2）求直線的解析式.

Bx

24.（8分）某書店在“讀書節(jié)”之前，圖書按標價銷售，在“讀書節(jié)”期間制定了活動計

劃.

（1）“讀書節(jié)”之前小明發(fā)現(xiàn)：購買5本A圖書和8本B圖書共花279元，購買10本A圖

書比購買6本5圖書多花162元，請求出A、5圖書的標價；

（2）“讀書節(jié)”期間書店計劃用不超過3680元購進A、8圖書共200本，且A圖書不少于

50本，A、B兩種圖書進價分別為24元、16元；銷售時準備A圖書每本降價1.5元，3圖

書價格不變，那么書店如何進貨才能使利潤最大？

25.（10分）如圖1,AABC中，ZABC=45°,A"于點”，點。在AH上，且￡歸=C”，

連結8D.

（1）求證：BD=AC;

（2）將繞點H旋轉，得到（點3,。分別與點E,尸對應），連接AE.

①如圖2,當點尸落在AC上時（產(chǎn)不與C重合），若C尸=1,tanC=3,求AE的長；

②如圖3,當是由&3/憶＞繞點”逆時針旋轉30。得到時，設射線CF與AE■相交于點G,

連接G”,試探究線段G4與所之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由.

H

圖2

26.（10分）已知拋物線G：y=-3（x-iy+4與拋物線G：＞=-（x-b）2+&的頂點相同.

（1）求拋物線C2解析式的一般形式;

(2)已知點3的坐標為(-2,3).

①問題探究：在y軸上是否存在點使線段Affi繞點〃逆時針旋轉90。得到線段MB',

且點B'恰好落在拋物線G上，若存在，求出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

②問題應用：在y軸上存在點P,使線段總繞點P順時針旋轉90。得到線段P8,且點B'恰

好落在拋物線G上，請直接寫出點尸坐標.

2022年湖南省湘潭市湘潭縣青山中學中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號

涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.--C.|-3|D.-

33

【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，由此即可得

到答案.

【解答】解：-3的相反數(shù)是|-31=3.

故選：C.

【點評】本題考查相反數(shù)，絕對值的概念，關鍵是掌握相反數(shù)的定義，絕對值的意義.

2.（3分）下列立體圖形中，左視圖是三角形的是（）

EE口4

【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形.

【解答】解：A、該圖形左視圖是正方形，故此選項不合題意；

3、該圖形左視圖是矩形，故此選項不合題意；

C、該圖形左視圖是中間有一條虛線的矩形，故此選項不合題意；

。、左視圖是三角形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵.注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在

三視圖中.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.（a2）3=a5C.a5-e-a3=a2D.3a—2a=l

【分析】根據(jù)合并同類項法則可判斷選項A和。，根據(jù)積的乘方法則可判斷選項B，根據(jù)

同底數(shù)基的除法法則可判斷選項C.

【解答】解：A.不是同類項，不能合并，選項A不符合題意；

3.（/）3=〃，選項3不符合題意;

c.a5^a3=a2,選項C符合題意：

D.3a-2a=a,選項。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查了合并同類項，積的乘方以及同底數(shù)幕的除法，掌握相關的法則是解

題的關鍵.

4.（3分）一元二次方程3/-2x-l=0根的情況為（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【分析】先計算出根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義對各選項進行判斷.

【解答】解：△=（-2）2-4X3X（-1）=16>0,

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：B.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程以2+法+。=0（“二0）的根與△=/-4"有

如下關系：當△>?時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：當△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)

根；當時，方程無實數(shù)根.

5.（3分）己知一組數(shù)據(jù)：6,2,8,x,7,它們的平均數(shù)是6,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）

A.6B.2C.8D.7

【分析】首先根據(jù)平均數(shù)為6求出x的值，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解.

【解答】解：數(shù)據(jù)6,2,8,x,7的平均數(shù)是6,

「.6+2+8+元+7=6x5,

解得：x=7,

這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：2,6,7,7,8,

則中位數(shù)為7；

故選：D.

【點評】本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的知識，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻?/p>

序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)

據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)

中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).

6.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義即可判斷.

【解答】解：第1個圖形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；

第2個圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

第3個圖形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；

第4個圖形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意.

共3個圖形符合題意.

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確把握相關定義是解題關鍵.

7.（3分）正比例函數(shù)y=伙*0）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=的

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出4>0,進而可得出-&<0,由1>0,-4<0禾U用一

次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，可找出一次函數(shù)丫=》-上的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，此題得

解.

【解答】解：.?正比例函數(shù)），=fcv（AxO）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，

:.k>0,

—k<0.

又1>0,

.?.一次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過第一、三、四象限.

故選：B.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，牢記“％>0,

萬<0oy=6+b的圖象在一、三、四象限”是解題的關鍵.

8.(3分)現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，湘潭某家小

型快遞公司的分揀工小李和小江，在分揀同一類物件時，小李分揀120個物件所用的時間與

小江分揀90個物件所用的時間相同，已知小李每小時比小江多分揀20個物件.若設小江每

小時分揀x個物件，則可列方程為()

1209012090「1209012090

A.B._r—D._

x-20xx+20xxx-20xx+20

【分析】根據(jù)題意，可以列出相應的分式方程，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

12090

x+20x

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分

式方程.

二、填空題(本大題共8小題，請將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24

分)

9.(3分)若分式小工的值為零，則x的值是-2.

x-2~~

【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

【解答】解：若分式上的值為零，則x+2=0且x—2片0,

x-2

...X的值是-2,

故答案為：-2.

【點評】本題主?？疾榱朔质街禐榱愕臈l件，注意：“分母不為零”這個條件不能少.

10.(3分)因式分解:x3y2-x3=—x3(y+l)(y-l)

【分析】先提取公因式V,再利用平方差公式分解可得.

【解答】解：原式=x3(y2_l)=x3(y+D(y_1),

故答案為：x3(y+l)(y—1).

【點評】本題主要考查提公因式法與公式法的綜合運用，解題的關鍵是熟練掌握

一般整式的因式分解的步驟--先提取公因式，再利用公式法分解.

11.（3分）為慶祝建黨70周年，某校開展以“我和我親愛的祖國”為主題的“快閃”活動，

七年級準備從三名男生和二名女生中選出一名同學領唱，如果每一位同學被選中的機會均等,

則選出的恰為女生的概率是--

一5-

【分析】隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)+所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).

【解答】解：選出的恰為女生的概率為二一=2.

3+25

故答案為：

5

【點評】本題考查了概率，掌握概率公式計算是關鍵.

12.（3分）2020年來爆發(fā)的新冠疫情打亂了全球各國的發(fā)展節(jié)奏.我們中國在黨中央的領

導下，利用中國社會主義制度優(yōu)勢，以生命至上的人權理念，在無數(shù)醫(yī)護人員的拼命奮戰(zhàn)下

取得舉世抗疫成就.但在一些資主義國家消極抗疫政策下.截至2022年3月17日，全球累

計確診462058428人.用科學記數(shù)法表示為_4.62、1（）8_人.（精確到0。1）

【分析】根據(jù)科學記數(shù)法定義解答.

【解答】解：462058428?4.62xlO8.

故答案為：4.62x10s.

【點評】本題考查了科學記數(shù)法，熟悉科學記數(shù)法的定義是解題的關鍵.

13.（3分）連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形是平行四邊形.

【分析】連接原四邊形的一條對角線，根據(jù)中位線定理，可得新四邊形的一組對邊平行且等

于對角線的一半，即一組對邊平行且相等.則新四邊形是平行四邊形.

【解答】解：如圖：

根據(jù)中位線定理可得：GF=>BD宜GFUBD,EH=>BD且EH//BD,

22

/.EH=FG,EHHFG,

：.四邊形是平行四邊形.

故答案為：平行四邊形.

【點評】本題主要考查學生對平行四邊形的判定的掌握情況,掌握中位線定理是解題的關鍵.

14.（3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,AB=2,過點C作CD_LAB,

垂足為。，則C￡）的長度是1.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：?.CA=CB.ZACB=90°,CDLAB,

：.AD=DB,

:.CD=-AB=],

2

故答案為1.

【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？?/p>

題型.

15.（3分）如圖，直線a//b,Zl=60°.Z2=40°,則/3=_80。_.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N4,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解答】解：al1b

.■.Z4=Z1=6O°,

.'.Z3=l80°-Z4-Z2=80°,

故答案為：80°.

【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握兩直線平行，同位角相等是

解題的關鍵.

16.（3分）定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為『=-1,這個數(shù)，叫做虛數(shù)單位，把形

如a+6的數(shù)叫做復數(shù)，其中°叫做這個復數(shù)的實部，匕叫做這個復數(shù)的虛部.它的加、減、

乘法運算與整數(shù)的加、減、乘法運算類似.

例如計一算：(4+i)+(6-2i)=4+6+i—2i=10—i

(2-z)(3-z)=6-2z-3/+?2=6-5z-l=5-5z

根據(jù)以上信息計算(1+2/)(2-Z)+(2-i)2=_7-/_.

【分析】認真讀懂題意，掌握新定義，利用新定義計算.

【解答】解：(l+2i)(2-z)+(2-02=2-/+4/-2r+4-4z+r=2+3z+2=7-z.

故答案為：7-i.

【點評】本題考查了實數(shù)運算的新定義，解題的關鍵是掌握新定義，利用新定義計算.

三、解答題(本大題共10小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程

寫在答題卡相應位置上，滿分72分)

17.(6分)計算：(-1)2020-^+4cos45°-.

【分析】利用乘方運算，算術平方根，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)累計算.

【解答】解：(_l)2020-V8+4cos45o-(^)-1

=l-2V2+4x--2

2

=1-2直+2嫄-2

=-1.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關鍵是掌握乘方運算，算術平方根，特殊角的三角

函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)基.

18.(6分)先化簡再求值：(x-三十2”一2，其中x滿足f+x-2=0.

x+\x2+2x+l

【分析】原式通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最

簡結果，把已知等式變形后代入計算即可求出值.

［解答］解：原式=Mx+D-3x.色士Di

x+1x-2

_x(x-2)(x+1)2

x+1x-2

=x(x+l)

=X2+XJ

x2+x-2=0,

.'.x2+x=2,

則原式=2.

【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

19.（6分）如圖，某高速公路建設中需要測量某條江的寬度43,飛機上的測量人員在C處

測得A、8兩點的俯角分別為45。和30。.若飛機離地面的高度CH為1200米，且點〃、A、

8在同一水平線上，求這條江的寬度他.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,6al.732,結果精確

【分析】在RtAACH和RtAHCB中，利用銳角三角函數(shù)，用C4表示出AH、8H的長，然

后計算出43的長.

【解答】解：由于CD//HB,

ZCAH=ZACD=45°,NB=NBCD=30°,

在RtAACH中,

ZCAH=45°,

.\ZCAH=ZACH=45°,

AH=CH=1200(加)，

在RtAHCB,tanB=—,

HB

HB==1200=1200向附，

tan8tan30°

AB=HB-HA=\200g-1200=1200x(1.732-1)=878(/M).

答:這條江的寬度A8=878m.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角、俯角問題.題目難度不大，解決本題的關

鍵是用含C4的式子表示出AH和8〃.

20.（6分）某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情

況，隨機選取該校部分學生進行調(diào)查，要求每名學生從中只選取一類最喜歡的電視節(jié)目，以

下是根據(jù)調(diào)查結果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.

類別ABCDE

節(jié)目類型新聞體育動畫娛樂戲曲

人數(shù)1230m549

（1）被調(diào)查學生的總數(shù)為人，統(tǒng)計表中加的值為45,統(tǒng)計圖中”的值為—

（2）求統(tǒng)計圖中E類所對應扇形的圓心角.

（3）該校共有2000名學生，根據(jù)調(diào)查結果，估計該校最喜歡新聞節(jié)目的學生數(shù).

【分析】（1）根據(jù)體育的人數(shù)除以體育所占的百分比，可得答案；根據(jù)娛樂的人數(shù)除以抽測

的人數(shù)，可得答案；

（2）根據(jù)圓周角乘戲曲所占的百分比，可得答案；

（3）根據(jù)局部估計總體，可得答案.

【解答】解：⑴30^-20%=150（人），

^=150-（12+30+54+9）=45,

54

—X100%=36%,

150

故答案為：45；36；

（2）統(tǒng)計圖中E類所對應扇形的圓心角為：

9

—x360°=21.6°:

150

12

（3）2000x—=160（人），

150

答：該校最喜愛新聞節(jié)目的學生數(shù)160人.

【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，掌握從扇形統(tǒng)計圖，統(tǒng)計表中獲取有效信息是解題關鍵.

21.（6分）如圖，矩形ABCZ）中，E是4）的中點，延長CE,區(qū)4交于點連接AC,DF.

（1）求證：四邊形AC"是平行四邊形；

（2）當CF平分N3CD時，寫出8C與8的數(shù)量關系，并說明理由.

【分析】（1）利用矩形的性質(zhì),即可判定=,即可得到8=E4,再根據(jù)CD//AF,

即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）先判定△口?是等腰直角三角形，可得C￡>=DE,再根據(jù)E是4）的中點，可得

4）=28,依據(jù)A￡>=BC,即可得到3c=28.

【解答】解：（1）四邊形ABCD是矩形，

AB//CD,

:.ZFAE=ZCDE,

E是AD的中點，

AE=DE，

又/FEA=NCED,

/.AE4E=ACDE(ASA),

:.CD=FA,

又CDHAF,

四邊形ACD尸是平行四邊形;

(2)BC=2CD.

證明：CF平分/BCD,

ZDCE=45°,

ZCDE=90°t

「.△COE是等腰直角三角形,

CD=DE，

后是4)的中點，

:.AD=2DE，

,\AD=2CDf

AD=BC,

:.BC=2CD.

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要證明兩直線平行和兩

線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)?/p>

的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的.

22.（6分）端午節(jié)“賽龍舟，吃粽子”是中華民族的傳統(tǒng)習俗.節(jié)日期間，小邱家包了三

種不同餡的粽子，分別是：紅棗粽子（記為A）,豆沙粽子（記為3）,肉粽子（記為C）,

這些粽子除了餡不同，其余均相同.粽子煮好后，小邱的媽媽給一個白盤中放入了兩個

紅棗粽子，一個豆沙粽子和一個肉粽子；給一個花盤中放入了兩個肉粽子，一個紅棗粽

子和一個豆沙粽子.

根據(jù)以上情況，請你回答下列問題：

（1）假設小邱從白盤中隨機取一個粽子，恰好取到紅棗粽子的概率是多少？

（2）若小邱先從白盤里的四個粽子中隨機取一個粽子，再從花盤里的四個粽子中隨機取一

個粽子，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小邱取到的兩個粽子中一個是紅棗粽子、一

個是豆沙粽子的概率.

【分析】（1）根據(jù)題意可以得到小邱從白盤中隨機取一個粽子，恰好取到紅棗粽子的概率；

（2）根據(jù)題意可以寫出所有的可能性，從而可以解答本題.

【解答】解：（1）由題意可得，

小邱從白盤中隨機取一個粽子，恰好取到紅棗粽子的概率是：-=

42

即小邱從白盤中隨機取一個粽子，恰好取到紅棗粽子的概率是1；

2

（2）由題意可得，出現(xiàn)的所有可能性是:

A。3O

A”AAAA「AB*：AC，

百BA。BA。B屏

oCA+CA。CB,CO

oCA*CA。co

二小邱取到的兩個粽子中一個是紅棗粽子、一個是豆沙粽子的概率是：

16

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，寫出所有的

可能性，利用概率的知識解答.

23.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，M與x軸的正半軸交于A、3兩點，與y軸的

正半軸相切于點C，連接M4、MC,已知M半徑為2,ZAMC=60°,雙曲線y=4(x>0)

X

經(jīng)過圓心M.

(1)求雙曲線y=V的解析式;

X

(2)求直線的解析式.

【分析】(1)先求出?！?2,再判斷出四邊形OCMN是矩形，得出MM,進而求出點M的

坐標，即可得出結論;

(2)先求出點C的坐標，再用三角函數(shù)求出4V,進而求出點B的坐標，即可得出結論.

【解答】解：(1)如圖，過點〃作MTVLx軸于N,

.-.ZMNO=90°,

加切y軸于C,

...NOCM=90°,

■.NCON=90°,

/./CON=NOCM=NONM=90°,

二.四邊形OCMN是矩形，

:.AM=CM=2,ZCMN=90°,

ZAMC=(A)°,

:.ZAMN=30°f

在RtAANM中，MN=AM?cosZAMN=2x—=,

2

:.MQ,而,

k

.雙曲線y=—(x>0)經(jīng)過圓心M,

x

.4=2x6=26,

??.雙曲線的解析式為y=亞。>0)；

X

(2)如圖，過點B,C作直線，

由(1)知，四邊形OCWN是矩形，

/.CM=ON=2>OC=MN=上,

.yo,G),

在RtAANM中，ZAMN=30°,AM=2,

.\AN=1,

MNLAB,

:.BN=AN=\,OB=ON+BN=3,

8(3,0),

設直線的解析式為y=，

3kr+b=0

「b=6，

【點評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，待定系

數(shù)法，求出點M的坐標是解本題的關鍵.

24.(8分)某書店在“讀書節(jié)”之前，圖書按標價銷售，在“讀書節(jié)”期間制定了活動計

劃.

(1)“讀書節(jié)”之前小明發(fā)現(xiàn)：購買5本A圖書和8本3圖書共花279元，購買10本A圖

書比購買6本8圖書多花162元，請求出A、8圖書的標價；

(2)“讀書節(jié)”期間書店計劃用不超過3680元購進A、5圖書共200本，且A圖書不少于

50本，4、5兩種圖書進價分別為24元、16元；銷售時準備A圖書每本降價1.5元，3圖

書價格不變，那么書店如何進貨才能使利潤最大？

【分析】(1)根據(jù)“購買5本A圖書和8本3圖書共花279元，購買10本A圖書比購買6

本B圖書多花162元”列方程組解答即可；

(2)設購進A圖書f本，總利潤為w元，分別求出卬與/的函數(shù)關系式以及/的取值范圍，

再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：(1)設A圖書的標價為x元，8圖書的標價為y元.

根據(jù)題意得+=

[10x-6y=162

解得」

[y=18

答：A圖書的標價為27元，3圖書的標價為18元；

(2)設購進A圖書f本，總利潤為w元.

由題意得，

24/+16(200-/),,3680

解不等式，得f,,60

又一1..50,

.?.5斕60,

w=(27-1.5-24)r+(18-16)(200-r)=-0.5r+400,

-0.5<0,w隨，的增大而減小，

.?.當f=50時，w有最大值.

答：A圖書購進50本，B圖書購進150本時，利潤最大.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，涉及了一元一次方程的應用、一元一次不等式組的應

用、一次函數(shù)的最值問題，解答本題的關鍵在于讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關

系，列出方程和不等式組求解.

25.（10分）如圖bAABC中，ZABC=45°,A"_L8C于點”，點。在AH上，且=CH,

連結比〉

（1）求證：BD=AC；

⑵將繞點”旋轉，得到AE//E（點3,。分別與點E,尸對應），連接AE.

①如圖2,當點尸落在AC上時（F不與C重合），若C尸=1,tanC=3,求AE的長；

②如圖3,當AEHF是由ABHD繞點、H逆時針旋轉30°得到時，設射線CF與他相交于點G,

連接G",試探究線段G”馬斯之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由.

【分析】（1）先判斷出A"=3",再判斷出=即可；

（2）①先根據(jù)tanC=3,求出A"=3C”，然后根據(jù)AE”4sA/7/C,得到，AE=3CF,

可得結論；

②方法1、先判斷出AAGQSAC”。，得到器=需，然后判斷出AAQCsAGQH,用相似

比即可.

方法2、取砂的中點K,連接GK,HK,先證明GK=，K=」￡F,再證明AGK”是等邊

三角形即可.

【解答】（1）證明：在RtAAHB中,ZABC=45°,

；.AH=BH,

在和AAHC中,

AH=BH

ZBHD=ZAHC=90°,

DH=CH

BD=AC，

(2)解：①如圖，

在RtAAHC中,

tanC=3,

.AH_

??----=3,

CH

ZA//C=Z￡HF=90°,

.?.ZAHE=NCHF,

HA=HE,HC=HF,

:.^EHA^AFHC,

AEAH「

——=----=3,

CFCH

CF=1,

.?.A￡=3；

②結論：EF=2HG.

方法1、如圖1,

AEHF是由ABHD繞點H逆時針旋轉30°得到,

；.HD=HF,ZAHF=30°

.?./CHF=90。+30°=120°,

由①有，A4￡H和"HC都為等腰三角形，

??.NGAH=ZHCG=3H

s.CGLAE,

點C,H,G,A四點共圓，

:.ZCGH=ZCAH,

設CG與AH交于點Q,

ZAQC=ZGQH9

「.AAQCSAGQ”，

.AC_AQ_1__

HGGQsin30°

AEHF