專題4.1函數(shù)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．知道現(xiàn)實(shí)生活中存在變量和常量，變量在變化的過(guò)程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍）；2．能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見簡(jiǎn)單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個(gè)值，會(huì)求出相應(yīng)的函數(shù)值．3．對(duì)函數(shù)關(guān)系的表示法（如解析法、列表法、圖象法）有初步認(rèn)識(shí)．4.理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其解析式之間的關(guān)系，會(huì)判斷一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上，明確交點(diǎn)坐標(biāo)反映到函數(shù)上的含義.5.初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點(diǎn)法”畫一個(gè)函數(shù)的圖象的一般步驟，對(duì)已知圖象能讀圖、識(shí)圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關(guān)系．【要點(diǎn)梳理】【知識(shí)點(diǎn)一】變量與常量變量：在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程中只能取同一數(shù)值的量。【知識(shí)點(diǎn)二】函數(shù)函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。例如：y=±x，當(dāng)x=1時(shí)，y有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以y=±x不是函數(shù)關(guān)系。對(duì)于不同的自變量x的取值，y的值可以相同，例如，函數(shù)：y=|x|，當(dāng)x=±1時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值都是1【知識(shí)點(diǎn)三】定義域一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域?！局R(shí)點(diǎn)四】確定函數(shù)取值范圍的方法：（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義【知識(shí)點(diǎn)五】三種表示方法列表法：列一張表，第一行表示自變量取的各個(gè)值，第二行表示相應(yīng)的函數(shù)值（即應(yīng)變量的對(duì)應(yīng)值）解析法：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。一般情況下，等號(hào)右邊的變量是自變量，等號(hào)左邊的變量是因變量。用函數(shù)解析式表示函數(shù)關(guān)系的方法就是公式法。圖象法：一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．以上三種方法的特點(diǎn)（1）：列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。（2）：解析法：即函數(shù)解析式，簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。（3）：圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系?！局R(shí)點(diǎn)六】描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟（通常選五點(diǎn)法）第一步：列表（根據(jù)自變量的取值范圍從小到大或從中間向兩邊取值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。【典型例題】類型一、函數(shù)的概念與圖象1．下列圖象中，表示y不是x的函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)的定義即可判斷．解：選項(xiàng)B中，當(dāng)x＞0時(shí)對(duì)每個(gè)x值都有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)定義中的“唯一性”，而選項(xiàng)A、C、D對(duì)每個(gè)x值都有唯一y值與之對(duì)應(yīng)．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的定義．判定依據(jù)是看是否滿足定義中的“任意性”、“唯一性”．舉一反三：【變式1】下列表達(dá)式中，y是x的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義：在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)，進(jìn)行求解即可．解：A、，對(duì)于一個(gè)x，存在有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，例如：當(dāng)x=1時(shí)，y=±1，y不是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)于一個(gè)x，存在有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，例如：當(dāng)x=1時(shí)，y=±2，y不是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)于一個(gè)x，對(duì)于任意的x，y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，y是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D、對(duì)于一個(gè)x，存在有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，例如：當(dāng)x=0時(shí)，y=±1，y不是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟記定義．【變式2】下列圖形中的曲線不表示y是x的函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的概念可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．解：由函數(shù)的概念可得：在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)量x，y，當(dāng)給x一個(gè)值時(shí)，y有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，就說(shuō)y是x的函數(shù)，x是自變量；因而圓不能表示y是x的函數(shù)圖象，因?yàn)閷?duì)x在某一部分的取值，y的對(duì)應(yīng)值不唯一，不符合函數(shù)的概念；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．類型二、函數(shù)的解析式2．等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm，底邊長(zhǎng)為ycm，那么y與x之間的函數(shù)解析式是_______，其中自變量x的取值范圍是_______．【答案】

y=20-2x

5cm<x<10cm解：∵等腰三角形的腰長(zhǎng)為xcm，底邊長(zhǎng)為ycm，周長(zhǎng)為20cm，∴2x+y=20，∴y=-2x+20，即x＜10，∵兩邊之和大于第三邊，∴x＞5，則x的取值范圍是：5＜x＜10.故答案為：y=20-2x；5cm<x<10cm.舉一反三：【變式1】在燒開水時(shí)，水溫達(dá)到100℃就會(huì)沸騰，下表是某同學(xué)做“觀察水的沸騰”實(shí)驗(yàn)時(shí)所記錄的兩個(gè)變量時(shí)間(分)和溫度T(℃)的數(shù)據(jù)：在水燒開之前(即)，溫度T與時(shí)間的關(guān)系式為__________.【答案】T=7t+30【分析】由表知開始時(shí)溫度為30℃，再每增加2分鐘，溫度增加14℃，即每增加1分鐘，溫度增加7℃，可得溫度T與時(shí)間t的關(guān)系式．解：∵開始時(shí)溫度為30℃，每增加1分鐘，溫度增加7℃，∴溫度T與時(shí)間t的關(guān)系式為：T=30+7t．故答案為T=7t+30．【點(diǎn)撥】本題考查了求函數(shù)的關(guān)系式，關(guān)鍵是得出開始時(shí)溫度為30℃，每增加1分鐘，溫度增加7℃．【變式2】如圖，在中，邊長(zhǎng)為10，邊上的高為6，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)長(zhǎng)為，則的面積與之間的關(guān)系式___．【答案】．【分析】要表達(dá)的面積，需要先明確的底，邊上的高是6，再利用面積公式列函數(shù)關(guān)系式．解：，邊上的高是6，．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了列函數(shù)關(guān)系式，熟知表示三角形的面積，需要確定底邊和底邊上的高是解決本題的關(guān)鍵．類型三、函數(shù)自變量取值范圍及自變量的值或函數(shù)值3.有一水箱，它的容積為500L，水箱內(nèi)原有水200L，現(xiàn)往水箱中注水，已知每分鐘注水10L．（1）寫出水箱內(nèi)水量(L)與注水時(shí)間(min)的函數(shù)關(guān)系．（2）求注水12min時(shí)水箱內(nèi)的水量？（3）需多長(zhǎng)時(shí)間把水箱注滿？【答案】（1）Q=10t+200；（2）320升；（3）30min【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“箱內(nèi)水量=每分鐘注入的量×?xí)r間+原有的水量”列出函數(shù)關(guān)系式；（2）把t=12代入（1）的關(guān)系式中可得此時(shí)水箱內(nèi)水量升；（3）把Q=500代入（1）的關(guān)系式中可得需要時(shí)間(min)．解：（1）根據(jù)題意，得：Q=200+10t（0≤t≤30）；（2）當(dāng)t=12時(shí)，Q=200+10×12=320升．答：注水12min時(shí)水箱內(nèi)的水量是320升；（3）當(dāng)Q=500時(shí)，500=200+10t，t=30．答：需30分鐘可以把水池注滿．【點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式的求法，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式．舉一反三：【變式1】在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在第一象限，且x＋y＝10，△OPA的面積為S．求：(1)S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x的取值范圍．(2)當(dāng)S＝28時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)（3，7）．【分析】（1）首先把x+y=10，變形成y=10-x，再利用三角形的面積求法：底×高÷2=S，可以得到S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；由P在第一象限，可得到x的取值范圍；（2）把S=28代入函數(shù)解析式即可得答案．解：(1)∵x+y=10，∴y=10-x，∴S=×8×（10-x）=40-4x，即S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S=40-4x；∵P（x，y）在第一象限，∴x＞0且y＞0，∴x＞0且10-x＞0，∴x的取值范圍是0＜x＜10；（2）∵S=28，∴28=40-4x，解得x=3，∴y=10-3=7，∴當(dāng)S=28時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，7）．【點(diǎn)撥】此題考查了列函數(shù)表達(dá)式，以及三角形的面積，解題時(shí)一定要注意自變量的取值范圍．【變式2】已知三角形的周長(zhǎng)為y(cm),三邊長(zhǎng)分別為9cm，5cm，x(cm)．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及其自變量x的取值范圍．(2)當(dāng)x=6時(shí)，求y的值．(3)當(dāng)y=19.5時(shí)，求x的值．【答案】(1)y=14+x（4<x<14）(2)y=20(3)x=5.5【分析】（1）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，可得函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得自變量的取值范圍；（2）根據(jù)自變量的值，代入函數(shù)關(guān)系式，可得函數(shù)值；（3）根據(jù)函數(shù)值，代入函數(shù)關(guān)系式，可得自變量的值．(1)解：由三角形的周長(zhǎng)公式，得：y=9+5+x，即y=14+x由三角形得三邊的關(guān)系，得：9-5<x<9+5，即4<x<14．(2)解：當(dāng)x=6時(shí)，y=14+6解得：y=20．(3)解：當(dāng)y=19.5時(shí)，19.5=14+x解得：x=5.5．【點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，利用了三角形的周長(zhǎng)公式，三角形三邊的關(guān)系．類型四、從函數(shù)圖象中獲取信息4．如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，△PAB的面積為y，y與x的關(guān)系圖象如圖2所示．(1)AB的長(zhǎng)度為______，BC的長(zhǎng)度為______．(2)求圖象中a和b的值．(3)在圖象中，當(dāng)m＝15時(shí)，求n的值．【答案】(1)8、5(2)a=18、b=20(3)12【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象直接可得答案；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合圖象可得a和b的值；（3）首先確定點(diǎn)P在AD上，求出AP的長(zhǎng)，再代入三角形面積公式即可.（1）解：由圖2知，當(dāng)x=5時(shí)，點(diǎn)P與C重合，∴BC=5，當(dāng)x=13時(shí)，點(diǎn)P與D重合，∴BC+CD=13，∴CD=8=AB，故答案為：8，5；（2）當(dāng)P與C點(diǎn)重合時(shí)，＝，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，＝5＋8＋5＝18；（3）∵，∴此時(shí)點(diǎn)P在AD邊上，且AP＝3．∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查函數(shù)圖象中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，理解題意，結(jié)合函數(shù)圖象及圖形得出相關(guān)信息是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】一慢車和一快車沿相同路線從A地到B地，兩車所行的路程s（千米）與慢車行駛的時(shí)間x（時(shí)）關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖像解決下列問(wèn)題：(1)快車比慢車晚小時(shí)出發(fā)，快車比慢車早到小時(shí)．快車追上慢車時(shí)，快車行駛了千米．(2)求A、B兩地相距多少千米？【答案】(1)2，4，276(2)828千米【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像中的數(shù)據(jù)，可以寫出快車比慢車晚幾小時(shí)出發(fā)，快車比慢車早到幾小時(shí)，快車追上慢車時(shí)，快車行駛了多少千米；（2）根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出慢車的速度，然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可計(jì)算出A、B兩地相距多少千米．（1）解：由圖像可得，慢車比快車晚2小時(shí)出發(fā)，快車比慢車早到18﹣14＝4（小時(shí)），快車追上慢車時(shí)，快行駛了276千米，故答案為：2，4，276；（2）解：由圖像可得，慢車的速度為：276÷6＝46（千米/時(shí)），46×18＝828（千米），答：A、B兩地相距828千米．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】某市推出電腦上網(wǎng)包月制，每月收取的費(fèi)用（元）與上網(wǎng)時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中，是線段，且平行于軸，是射線．若小李4月份上網(wǎng)20小時(shí)，他應(yīng)付多少元的上網(wǎng)費(fèi)？若小李5月份的上網(wǎng)費(fèi)為75元，則他5月份的上網(wǎng)時(shí)間是多少小時(shí)？【答案】(1)60元(2)35小時(shí)【分析】（1）有圖可知，當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間時(shí)，上網(wǎng)費(fèi)用為60元，可得出答案；（2）因?yàn)闀r(shí)，10小時(shí)收費(fèi)30元，所以每小時(shí)收費(fèi)3元，可得出，當(dāng)時(shí)代入即可求出上網(wǎng)時(shí)間．（1）解：有圖可知，當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間時(shí)，上網(wǎng)費(fèi)用為y=60元，∵20<30，∴應(yīng)付60元的上網(wǎng)費(fèi)．（2）由圖可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，解得：，∴小李在5月份的上網(wǎng)時(shí)間為35小時(shí)．【點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖像，根據(jù)圖像寫出函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．類型五、用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象5．在直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象（取值、描點(diǎn)、連線、畫圖）【答案】見分析【分析】根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線，作出圖象即可．解：列表：描點(diǎn)：如圖，描出點(diǎn)：，，，，，連線：如圖所示，∴圖中拋物線為函數(shù)的圖象．【點(diǎn)撥】本題考查畫函數(shù)圖像，一般步驟∶列表：①表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；②描點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)；③連線：按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)，正確求出各點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝x＋2的圖象．解：列表、描點(diǎn)、連線后得到的圖象，如圖所示.【變式2】畫出下面函數(shù)的圖像．（1）；（2）．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）先列表，再描點(diǎn)，最后用光滑的曲線順次把所描的點(diǎn)連接起來(lái)即可；（2）先列表，再描點(diǎn)，最后用光滑的曲線順次把所描的點(diǎn)連接起來(lái)即可．解：（1）列表得：x12y1（2）列表得：x12345y13（1）（2）圖如下所示：【點(diǎn)撥】本題主要考查了描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．類型六、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象6．如圖，在矩形ABCD中，，，E為BC上一點(diǎn)，，連接AE動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿AE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以的速度沿折線向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P，Q經(jīng)過(guò)的路線與線段PQ圍城的圖形面積為(1)______cm，______°；(2)求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】(1)AE＝；∠EAD＝45°(2)0≤t≤2時(shí)s＝t2；2＜t≤3時(shí)s＝2＋8t8；3＜t≤3.5時(shí)s＝t＋4【分析】（1）由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠EAD的度數(shù)；（2）分三種情況討論，由面積和差關(guān)系可求解．解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴cm，∠BAE＝∠BEA＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAE＝45°，故答案為：，45；（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD，∵AP＝，∠DAE＝45°，PF⊥AD，∴PF＝t＝AF，∴s＝S△PQA＝×AQ×PF＝t2，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝t，QD＝2t?4，∴DF＝4?t，∴s＝t2＋（2t?4＋t）（4?t）＝?t2＋8t?8，當(dāng)3＜t≤時(shí)，如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．∵CQ＝（3＋4）?2t＝7?2t，CE＝4?3＝1cm，∴s＝（1＋4）×3?（7?2t）×1＝t＋4．【點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)自變量的取值范圍，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD=8cm，BC=10cm，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的變化關(guān)系如圖2所示．由圖2知，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s，速度為cm/s，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)與點(diǎn)C的距離為cm；求在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，三角形ABE的面積y（）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（s）之間的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)后，求三角形ABE的面積．【答案】(1)3，3，1(2)y=12x（0＜x≤3）；(3)△ABE的面積為36cm2．【分析】（1）根據(jù)圖象解答即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．（1）解：根據(jù)題意和圖象，可得E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s，速度為3cm/s，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，BE=3×3=9（cm），此時(shí)距離點(diǎn)C：10-9=1（cm），故答案為：3，3，1；（2）解：根據(jù)題意得y=×BE×AD=×3x×8=12x，即y=12x（0＜x≤3）；（3）解：當(dāng)x=3時(shí)，y=12×3=36（cm2），故△ABE的