第23講證明數(shù)列不等式一．解答題（共47小題）1．（2021?浙江月考）設等差數(shù)列的前為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式（2）記數(shù)列的前項和為，求證：2．（2021春?江油市校級期中）等比數(shù)列的前項和為，已知對任意的，點，均在函數(shù)且，，均為常數(shù)）的圖象上．（1）求的值；（2）當時，記，求數(shù)列的前項和（3）由（2），是否存在最小的整數(shù)，使得對于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．3．（2021春?蘭山區(qū)校級月考）等比數(shù)列的前項和為，已知對任意的，點均在函數(shù)且，，均為常數(shù)）的圖象上．（1）求的值；（2）當時，記，證明：對任意的，不等式成立．4．數(shù)列的前項和為，已知對任意的，點均在函數(shù)且，均為常數(shù)）的圖象上．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）當時，記，證明：數(shù)列的前項和．5．（2021?臨沂期中）等比數(shù)列的前項和為，已知對任意，點均在函數(shù)為常數(shù)）的圖象上．（1）求的值；（2）記，數(shù)列的前項和為，試比較與的大?。?．已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，點，均在函數(shù)的圖象上；又，，且，對任意都成立，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）求證：；，．7．，等比數(shù)列的前項和為，點，均在函數(shù)上．（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前項和為，是否存在，使得對任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．8．已知，求證：．9．（2021?嘉興模擬）設數(shù)列的前項和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，，證明：，．10．（2021春?秀山縣校級月考）設函數(shù)，．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）設，證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）．11．（2021春?陽江校級月考）設數(shù)列滿足，，，2，3，，（1）求，，；（2）猜想出的一個通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論；（3）設，數(shù)列的前項和為，求證：．12．（2012秋?濟源校級期中）設數(shù)列滿足，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：．13．（2007?崇文區(qū)一模）已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，證明．14．（2021春?紹興期中）已知正項數(shù)列滿足：，，為數(shù)列的前項和．求證：對任意正整數(shù)，有；設數(shù)列的前項和為，求證：對任意，總存在正整數(shù)，使得時，．15．（2021?邯鄲一模）已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足：且，試比較與的大小，并證明你的結論．16．（2021?安徽三模）已知正項數(shù)列的前項和為，且①求，，；②求數(shù)列的通項公式；③若數(shù)列滿足，，求證：．17．（2021春?歷下區(qū)校級期中）（1）已知，，比較和的大小并給出解答過程；（2）證明：對任意的，不等式成立．18．（2021?鹽城三模）（1）已知，比較與的大小，試將其推廣至一般性結論并證明；（2）求證：．19．（2021春?棗莊校級月考）（1）已知，，都是正數(shù)，且，用分析法證明；（2）已知數(shù)列的通項公式為，．利用（1）的結論證明如下等式：．20．（2021?杭州期中）已知數(shù)列的前項和滿足，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，證明：．21．（2021?沙坪壩區(qū)校級一模）已知數(shù)列的前項之積滿足條件：①為首項為2的等差數(shù)列；②．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，其前項和為．求證：對任意正整數(shù)，有．22．已知數(shù)列中，為的前項和，，，．（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：．23．（2021?賓陽縣校級期中）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式和前項和；（2）證明不等式且24．已知函數(shù)，，為常數(shù)）（1）若方程在區(qū)間，上有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，證明不等式在，上恒成立；（3）證明：，（參考數(shù)據(jù)：25．（2021?衡水校級模擬）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點，處的切線方程；（2）記為的從小到大的第個極值點，證明：不等式．26．（2012?洛陽模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，對于任意的，且，證明：不等式．27．證明不等式：．28．（2021春?辛集市校級月考）已知．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設函數(shù)，若關于的方程有解，求實數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明不等式：29．（2021?大慶一模）已知函數(shù)（1）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍；（2）在（1）中，取最小值時，設函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式：且．30．（2021春?荔灣區(qū)校級月考）已知數(shù)列的前項和為，，當時，．數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若數(shù)列的前項和為，求證：．31．（2021春?淮安期末）已知數(shù)列的前項和滿足：，數(shù)列滿足：對任意有．（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：當時，．32．（2009秋?沙坪壩區(qū)校級月考）表示不超過的最大整數(shù)，正項數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：；（3）已知數(shù)列的前項和為，求證：當時，有．33．（2021?黃岡模擬）已知數(shù)列滿足，首項為；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求證：；（3）設數(shù)列滿足，其中為一個給定的正整數(shù)，求證：當時，恒有．34．（2021?桃城區(qū)校級模擬）設公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，若是與的等比中項，，．（1）求，與；（2）若，求證：．35．（2021?柯橋區(qū)期末）設等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列的前項和為，滿足，．（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；（Ⅱ）記，，證明：．36．（2021?蕪湖二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．各項為正數(shù)的數(shù)列中，對于一切，有，且，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求證：．37．（2021?溫州期末）已知數(shù)列的前項和為，滿足，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設為數(shù)列的前項和，求證：對任意，都有．38．（2021?溫州三模）已知正項數(shù)列滿足，，且對任意的正整數(shù)，是和的等差中項．（1）證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設，為前項和，證明：．39．（2021?中原區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，將的底數(shù)與指數(shù)互換得到，設數(shù)列的前項和為，求證：．40．（2021?浙江開學）已知數(shù)列的前項積為，，且對一切均有．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列的前項和為，求證：．41．（2021?臺州模擬）已知數(shù)列，的前項和分別為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）求證：．42．（2021春?浙江月考）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項和為．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明：．43．（2021?浙江模擬）已知數(shù)列的前項之積為，即，且，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，，求證：對一切，均有．44．已知平面直角坐標系，在軸的正半軸上，依次取點，，，，并在第一象限內(nèi)的拋物線上依次取點，，，，，使得△都為等邊三角形，其中為坐標原點，設第個三角形的邊長為．（1）求（1），（2），并猜想（不要求證明）；（2）令，記為數(shù)列中落在區(qū)間，內(nèi)的項的個數(shù)，設數(shù)列的前項和為，試問是否存在實數(shù)，使得對任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：，，求證：．45．（2021?山東模擬）在①，②這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并給出解答．已知數(shù)列的前項和為，滿足____，____；又知正項等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）證明：．46．（2021?閔行區(qū)期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且對任意的恒成立．