教學(xué)設(shè)計學(xué)科初中數(shù)學(xué)課題完全平方公式章節(jié)北師大版初中數(shù)學(xué)七下第一章第6節(jié)（分析本課時教學(xué)內(nèi)容在單元中的位置，學(xué)習(xí)內(nèi)容對發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的功能價值，蘊含的正確價值觀念等）本課時為“完全平方公式”的第1課時，是“數(shù)與代數(shù)”部分的重要組成部分，是在乘法分配律、字母表示數(shù)、整式的乘法之“多項式乘多項式”等前序教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進行的引入。學(xué)生通過探索與實踐，從“代數(shù)”與“幾何”兩個維度體會、理解、掌握完全平方公式的概念和運用，并能初步解決實際情景中的問題。在教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計上，本節(jié)課既是整式的乘法的典型特例，又是后續(xù)（八下）學(xué)習(xí)運用“公式法”進行因式分解的基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要意義，也在本章中起到舉足輕重的作用。在核心素養(yǎng)培育上，本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言來觀察、感悟、描述生活中的問題，在“代數(shù)運算”與“幾何直觀”的融合中加深體會二者的對立與統(tǒng)一，在獨立探索與小組合作中增強探究精神和鉆研意識，在深入理解中進一步感受“整體思想”和“互推思想”的重要意義，在與其他乘法公式的比較和拓展中感受數(shù)學(xué)的簡約美、統(tǒng)一美，從而培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、審美意識和鑒真能力。（分析學(xué)生與本課時學(xué)習(xí)相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、知識儲備、學(xué)科能力水平、學(xué)生興趣與發(fā)展需求、發(fā)展路徑等）進入初中半年，學(xué)生對于“整體思想”已經(jīng)有了一定的體會和把握，特別是通過對有理數(shù)運算法則、整式加減乘除運算等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對于用字母表示數(shù)、符號的確定、等式的性質(zhì)等前序內(nèi)容的應(yīng)用較為熟練。完全平方公式這一教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)單項式乘法、多項式乘法以及平方差公式基礎(chǔ)上的延續(xù)，是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊、具有普遍規(guī)律的算式的歸納和總結(jié)。按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從具體到抽象，由直觀圖形出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、驗證、最后建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生對公式從感性認(rèn)識、直觀認(rèn)識逐步發(fā)展到理性認(rèn)識、本質(zhì)認(rèn)識。事實上，只有讓學(xué)生經(jīng)歷乘法公式的形成過程，從幾何和代數(shù)兩個維度去理解公式內(nèi)涵，而不是單純地去記憶，運算在學(xué)生的腦子中和筆下才能活起來，數(shù)學(xué)科目教學(xué)才能發(fā)揮真正的育人價值。分析（分析本課時教學(xué)內(nèi)容與思政育人融合的知識點、內(nèi)在邏輯和具體路徑）“完全平方公式”是初中數(shù)學(xué)非常重要的知識，是很多代數(shù)問題重要的解題工具，也具有極為豐富的育人價值，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，期望從以下幾個方面發(fā)揮思政育人效力：理性思維，求真，求實。通過拼圖、計算，感受代數(shù)與幾何密不可分的關(guān)系，能夠在處理生活問題時更加注重方法的變通，從而培養(yǎng)學(xué)生理性思考的能力與求真務(wù)實的品質(zhì)。通過楊輝三角的引入，感受中國數(shù)學(xué)文化是文化史上的瑰麗結(jié)晶；滲透數(shù)學(xué)思想，強化學(xué)生的整體思想和符號意識；通過公式的變形與對比，引導(dǎo)學(xué)生體會事物的“變與不變”，既能夠“以不變應(yīng)萬變”，也能夠擁有“火眼金睛辨別真相”的能力和態(tài)度，逐漸形成克服困難、明辨是非的科學(xué)精神。培養(yǎng)良好品格，形成“實事求是，不自以為是”的扎實學(xué)風(fēng)；引導(dǎo)學(xué)生在既有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過分析探究解決當(dāng)前遇到的困難，感受“一步一個腳印”帶來的正向成長變化。感悟乘法模型的意義，引導(dǎo)學(xué)生形成模型意識和初步應(yīng)用模型的意識。（根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生實際，指向?qū)W科素養(yǎng)和思政育人，描述學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程后應(yīng)達成的目標(biāo)）（1）體會完全平方公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，了解公式的幾何背景和代數(shù)溯源，理解公式的本質(zhì)，會應(yīng)用公式進行簡單的計算和常見的變式訓(xùn)練。（2）通過讓學(xué)生親身經(jīng)歷完全平方公式的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納、概括、應(yīng)用意識，發(fā)展推理能力、溝通能力、表達能力、數(shù)形結(jié)合能力，增強學(xué)生的數(shù)感、激發(fā)數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)意識。（3）在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗和喜悅，增強克服困難、主動尋求變化以解決問題的探究精神與吃苦精神，樹立學(xué)習(xí)的自信心，認(rèn)識到用心觀察、努力探索在成長過程中的重要意義。重點：會從代數(shù)和幾何兩個角度推導(dǎo)完全平方公式，能根據(jù)特征記住、辨別、變形、應(yīng)用公式.難點：了解完全平方公式的數(shù)學(xué)文化背景，能運用整體思想進行簡單的計算和推理6.學(xué)習(xí)活動設(shè)計教師活動學(xué)生活動環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題教師活動（教學(xué)環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)情境、提出驅(qū)動性問題、學(xué)習(xí)任務(wù)類型等）小故事：灣區(qū)春似錦，鵬城花如夢。芳菲四月，萬物盎然，2023粵港澳大灣區(qū)花展如期而至。在其中一塊正方形土地上，按如圖分為“尋夢之旅”“繪夢藍(lán)圖”“筑夢舞臺”“造夢花市”四個板塊，問土地總面積（用字母表示）學(xué)生活動學(xué)生讀懂問題、實際動手操作（拼圖）能夠初步計算感知完全平方公式：（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的真實情景，引導(dǎo)學(xué)生從社會生活入手，發(fā)現(xiàn)、探究并解決數(shù)學(xué)問題。思政元素：本節(jié)課基于新課標(biāo)2022對核心素養(yǎng)的要求展開設(shè)計，即充分引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”環(huán)節(jié)二：探究問題，探索新知教師活動：板書：老大家：a2老二家：ab老三家：ab老四家：b2問題1：關(guān)于面積的等式，是如何列寫的？追問1：能否用學(xué)過的公式二次驗證？（a+b）2=a2+2ab+b2【板書】追問2：如果將b改為b，公式是怎樣的？（ab）2=a2－2ab+b2【板書】你能仿照上圖，用幾何方法驗證公式嗎？巧計口訣：首平方，末平方，首末兩倍放中央，符號看前方學(xué)生活動：拼圖、計算、獲取表達式（合并同類項）：（a+b）2=a2+2ab+b2學(xué)生回答1：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2學(xué)生回答2：[a+(b)]2=a2+(－2ab)+(－b)2=a2－2ab+b2設(shè)計意圖從幾何直觀和代數(shù)推理的雙重維度出發(fā)，讓學(xué)生在動手實踐中體會“變與不變”，激發(fā)學(xué)生用已有知識和經(jīng)驗解決問題，感受問題解決方案的多元化思政元素：在數(shù)形結(jié)合的過程中，體會數(shù)學(xué)表達的簡潔、多元與直觀美，引導(dǎo)學(xué)生體會“代數(shù)”與“幾何”之間相互依存、相輔相成的聯(lián)系與區(qū)別。環(huán)節(jié)三：應(yīng)用新知，反饋練習(xí)教師活動：辨別完全平方公式：(a+b)(ba)×(a+b)(ab)√(ab)(ba)×(ab)(a+b)√利用完全平方公式計算：(5－a)2(－3m－4n)2(－3a＋b)2(2x+y－3)(2x+y+3)學(xué)生活動（自主練習(xí)）舉手回答，關(guān)注公式特征和符號變化自主練習(xí)(5－a)2＝25－10a＋a2(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2(2x+y－3)(2x+y+3)=[(2x+y)－3][(2x+y)+3]=(2x+y)29=4x2＋4xy＋y29設(shè)計意圖在對公式的識別和體驗中，引導(dǎo)學(xué)生加強理解，逐漸熟練、靈活應(yīng)用完全平方公式。在對公式學(xué)習(xí)、應(yīng)用的過程中，第一階段要求精準(zhǔn)辨別，即深刻理解字母和符號的本質(zhì)，能夠快速、精準(zhǔn)識別；第二階段要求正確代入，即只對a、b兩數(shù)做乘除變形，學(xué)生通過直接套用公式即可解決問題，即只要找對方法，就可以“以不變應(yīng)萬變”；第三階段要求更進一步，將a、b作加減法變形，學(xué)生需要認(rèn)真觀察、運用“整體思想”求解，即“火眼金睛辨別真相”的意識。思政元素：培養(yǎng)學(xué)生求真，求實，嚴(yán)謹(jǐn)，準(zhǔn)確的務(wù)實精神。只要找對方法，就可以“以不變應(yīng)萬變”；也能夠擁有“辨別真相”的能力和態(tài)度，逐漸形成克服困難、明辨是非的科學(xué)精神。教師活動：利用完全平方公式求字母的值例題：如果x2＋mx＋9是一個完全平方式，求m的值∵x2＋mx＋9＝x2＋mx＋32∴mx＝±2·x·3，∴m＝±6變式：如果4x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值學(xué)生活動：分組活動、代表板書解答：∵4x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(2x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·2x·5y，∴m＋1＝±20∴m＝19或－21.設(shè)計意圖第一：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．在解題過程中，要注意辨別并正確化為兩數(shù)平方和的形式，同時要注意積的2倍的符號，避免漏解。如果二倍乘積項的符號不能直接確定，那么它必定是有兩個答案的第二：注重知識與方法的層次性和多樣性，講練結(jié)合、小組活動、逐步提升難度、規(guī)范書寫格式。在變式中，有3個易錯點：①是要正確得到公式中的a與b，注意整體思想；②是要注意積的2倍的符號；③是要突破固化思維，正確求解含±的一元一次方程，最終獲得m的兩個值。思政元素：一是通過自主思考和小組合作的方法，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題的過程，逐步積累并正確運用數(shù)學(xué)經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考意識、溝通與表達能力、團隊協(xié)作態(tài)度；二是強化學(xué)生的整體思想和符號意識，培養(yǎng)“實事求是，不自以為是”的扎實學(xué)風(fēng)；三是在既有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過分析探究解決當(dāng)前遇到的困難，感受“一步一個腳印”帶來的正向成長變化。教師活動：深度理解：觀察上述兩個公式，均為兩數(shù)和或差的平方的形式，我們稱之為“完全平方公式”。類比平方差公式所學(xué)，觀察、對比上述兩個公式，它們可視為分別由幾個部分構(gòu)成？嘗試歸類描述。學(xué)生活動：引導(dǎo)學(xué)生共同總結(jié)：①兩數(shù)和/差：a±b②兩數(shù)積：ab③兩數(shù)平方和：a2+b2設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維，提高歸納概括的能力，進而加強理解、輔助記憶思政元素：認(rèn)識問題不能僅停留于表面，要從深層次理解問題教師活動：結(jié)合深度理解所學(xué)，根據(jù)完全平方公式的構(gòu)成，靈活求解代數(shù)式（知二得一）例：若xy＝7，且xy＝5，則x2+y2=?∵x－y＝7，xy＝5且(x－y)2＝x2+y2－2xy∴x2+y2＝(x－y)2+2xy＝72+2×5＝59練：若(2023x)2+(x2022)2＝2021,則(2023x)(x2022)=？找隱藏條件：(2023x)+(x2022)=1換元法：學(xué)生活動：設(shè)a=2023－x，b=x－2022∵a+b=1∴(a+b)2=12=1∵a2+b2＝2021且(a+b)2＝a2+b2－2ab∴2ab＝a2+b2－(a+b)2＝2021－1＝2020∴ab=1010∴(2023x)(x2022)=1010設(shè)計意圖在運用所學(xué)基礎(chǔ)知識對復(fù)雜問題進行求解時，應(yīng)當(dāng)尋找共同點和突破口。當(dāng)題目中的條件給到①兩數(shù)和/差，②兩數(shù)積，③兩數(shù)平方和中的任意兩項時，一定能求出第三項，即“知二求一”；當(dāng)題目中的條件、問題共涉及到三項中的兩項時，考慮第三項為“隱藏條件”，利用換元法可求。思政元素：從一般到特殊，再從特殊到一般是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗總結(jié)中常見的思維方式；在應(yīng)對復(fù)雜問題時，更強調(diào)思維的變通性，要注意對隱藏條件的挖掘、運用以及靈活轉(zhuǎn)換。環(huán)節(jié)四：拓展延伸，思想提升教師活動：下表為楊輝三角系數(shù)表，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如(a＋b)n(n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a＋b)6展開式中所缺的系數(shù)。(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，......則(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋___a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6學(xué)生活動：自主讀題、合作探究（小組活動）解題思路：(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，觀察系數(shù)的規(guī)律，可得(a＋b)n的各項展開式的系數(shù)除首尾兩項都是1外，其余各項系數(shù)都等于(a＋b)n－1的相鄰兩個系數(shù)的和。由此可得(a＋b)4的各項系數(shù)依次為1、4、6、4、1；(a＋b)5的各項系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各項系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1。故本空填20。設(shè)計意圖對于規(guī)律探究題，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵。思政元素：一是科普公式蘊含的數(shù)學(xué)史。楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形，它的排列形如三角形，因為首現(xiàn)于南宋數(shù)學(xué)家楊輝的《詳解九章算法》得名。楊輝三角的美妙之處在于：楊輝三角完美的體現(xiàn)了中國古代數(shù)形結(jié)合的思想。將繁雜難懂的公式轉(zhuǎn)化為了簡單明了的圖形，它是如此足夠簡單，但本身在數(shù)學(xué)上卻擁有豐富的魅力，與斐波那契數(shù)列、二項式展開、二項式分布等均相關(guān)。二是感悟乘法模型的意義，引導(dǎo)學(xué)生形成模型意識和初步應(yīng)用模型的意識。環(huán)節(jié)五：歸納總結(jié)，建構(gòu)聯(lián)系教師活動：根據(jù)板書回顧，今天學(xué)了什么知識？今天學(xué)這個知識，我們是如何研究的？通過學(xué)習(xí)，你有哪些數(shù)學(xué)方面的提高？有哪些對生活的新思考？學(xué)生活動：本堂課注重問題導(dǎo)向、講練結(jié)合、教學(xué)相長，留足時間給學(xué)生去探索、練習(xí)、小組合作，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)與幾何的角度對公式進行認(rèn)識和理解，這種教學(xué)方式能夠較好地促進學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力?！爸笠弧薄巴诰蛘嫦唷?.板書設(shè)計“知二求一”“挖掘真相”兩數(shù)和/差兩數(shù)積兩數(shù)和/差兩數(shù)積兩數(shù)平方和（a+b）2=a2+2ab+b2（ab）2=a2－2ab+b2特征歸納：“統(tǒng)一美”“變與不變”“統(tǒng)一美”“變與不變”例1：例1：如果x2＋mx＋9是一個完全平方式，求m的值例2：若xy＝7，且xy＝5，則x2+y2=? 設(shè)計意圖從學(xué)了什么，怎么學(xué)的，構(gòu)建聯(lián)系三個層次去進行歸納總結(jié)，升華本節(jié)課內(nèi)容，形成主板書8.作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計（1）基礎(chǔ)性作業(yè):完成配套練習(xí)題，預(yù)計20分鐘；（2）拓展性作業(yè)：在特色花園展中，各板塊積極引入社會力量，以