第一章第15課時(shí)一、選擇題1．要得到函數(shù)y＝sineq\f(1,2)x的圖象，只需將函數(shù)y＝sineq\f(1,2)eq\a\vs4\al\co1()x－eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1()的圖象()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位 B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位C．向左平移eq\f(2π,3)個(gè)單位 D．向右平移eq\f(2π,3)個(gè)單位【答案】A【解析】由y＝sineq\f(1,2)x＝sineq\f(1,2)eq\a\vs4\al\co1([)x＋eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1()－eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1(])可知，將y＝sineq\f(1,2)eq\a\vs4\al\co1()x－eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1()的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位可得y＝sineq\f(1,2)x的圖象．故選A．2．如圖所示是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋2圖象的一部分，它的振幅，周期，初相分別是()A．A＝3，T＝eq\f(4,3)π，φ＝－eq\f(π,6) B．A＝1，T＝eq\f(4,3)π，φ＝－eq\f(3π,4)C．A＝1，T＝eq\f(2,3)π，φ＝－eq\f(3π,4) D．A＝1，T＝eq\f(2,3)π，φ＝－eq\f(π,6)【答案】B【解析】由圖可知A＝1，又eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(4π,6)，∴T＝eq\f(4,3)π.又圖象過(guò)eq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,6)，1eq\a\vs4\al\co1()，代入y＝sineq\a\vs4\al\co1()eq\f(3,2)x＋φeq\a\vs4\al\co1()＋2，可得φ＝－eq\f(3π,4).故選B．3．函數(shù)y＝coseq\a\vs4\al\co1()2x＋eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1()圖象的一條對(duì)稱軸是()A．x＝eq\f(π,3) B．x＝eq\f(π,12)C．x＝－eq\f(5π,12) D．x＝0【答案】A【解析】當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，y＝－1，∴x＝eq\f(π,3)是函數(shù)y＝coseq\a\vs4\al\co1()2x＋eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1()的一條對(duì)稱軸．故選A．4．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\a\vs4\al\co1()eq\f(4π,3)，0eq\a\vs4\al\co1()中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)【答案】A【解析】∵函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\a\vs4\al\co1()eq\f(4π,3)，0eq\a\vs4\al\co1()中心對(duì)稱，∴2×eq\f(4π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，即φ＝kπ－eq\f(13π,6)(k∈Z)．由此得|φ|min＝eq\f(π,6).故選A．二、填空題5．函數(shù)y＝－2sineq\a\vs4\al\co1()4x＋eq\f(2,3)πeq\a\vs4\al\co1()的圖象與x軸的交點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的一點(diǎn)是________．【答案】eq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,12)，0eq\a\vs4\al\co1()【解析】令4x＋eq\f(2,3)π＝kπ，得x＝eq\f(1,4)kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)．當(dāng)k＝1時(shí)，|x|min＝eq\f(π,12).∴離原點(diǎn)最近的一點(diǎn)是eq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,12)，0eq\a\vs4\al\co1().6．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間eq\a\vs4\al\co1([)0，eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1(])上的最大值是eq\r(2)，則ω＝________.【答案】eq\f(3,4)【解析】∵0<ω<1，則T＝eq\f(2π,ω)>2π，∴f(x)在區(qū)間eq\a\vs4\al\co1([)0，eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1(])上為增函數(shù)，故f(x)max＝feq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,3)eq\a\vs4\al\co1()，即2sineq\f(ωπ,3)＝eq\r(2).又0<ω<1，則ω＝eq\f(3,4).三、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若f(0)＝eq\f(\r(2),2)，求φ的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于eq\f(π,3)，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象左平移m個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．【解析】(1)f(0)＝eq\f(\r(2),2)，得sinφ＝eq\f(\r(2),2)，又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).(2)由(1)得f(x)＝sineq\a\vs4\al\co1()ωx＋eq\f(π,4)eq\a\vs4\al\co1()，又eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，而T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝3.∴f(x)＝sineq\a\vs4\al\co1()3x＋eq\f(π,4)eq\a\vs4\al\co1().函數(shù)f(x)的圖象左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sineq\a\vs4\al\co1([)3(x＋m)＋eq\f(π,4)eq\a\vs4\al\co1(]).g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即m＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，∴最小正實(shí)數(shù)m＝eq\f(π,12).8．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\a\vs4\al\co1()A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)eq\a\vs4\al\co1()的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值和最小值點(diǎn)分別為(x0,2)和(x0＋3π，－2)：(1)求f(x)的解析式；(2)將y＝f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,3)，然后再將所得到的圖象沿x軸正方向平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，寫出g(x)的解析式，并作出在長(zhǎng)度為一個(gè)周期上的圖象．【解析】(1)由已知，易得A＝2，eq\f(T,2)＝(x0＋3π)－x0＝3π，∴T＝6π，ω＝eq\f(1,3).把(0,1)代入y＝2sineq\a\vs4\al\co1()eq\f(1,3)x＋φeq\a\vs4\al\co1()，得2sinφ＝1.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴y＝2sineq\a\vs4\al\co1()eq\f(1,3)x＋eq\f(π,6)eq\a\vs4\al\co1()即為所求．(2)將y＝2sineq\a\vs4\al\co1()eq\f(1,3)x＋eq\f(π,6)eq\a\vs4\al\co1()圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,3)后的函數(shù)解析式為y＝2sineq\a\vs4\al\co1()x＋eq\f(π,6)eq\a\vs4\al\co1()，再沿x正方向平移eq\f(π,3)個(gè)單位