./變分原理與變分法1.1關于變分原理與變分法〔物質世界存在的基本守恒法則大自然總是以可能最好的方式安排一切,似乎存在著各種安排原理：晝/夜,日/月,陰/陽,靜止/運動等矛盾/統(tǒng)一的協(xié)調體；對靜止事物：平衡體的最小能量原理,對稱/相似原理；對運動事物：能量守恒,動量〔矩守恒,熵增原理等。變分原理是自然界靜止<相對穩(wěn)定狀態(tài)>事物中的一個普遍適應的數(shù)學定律,獲稱最小作用原理。Examples:①光線最短路徑傳播；②光線入射角等于反射角,光線在反射中也是光傳播最短路徑〔Heron；③光線折射遵循時間最短的途徑〔Fermat；BABAv1v1v2v2CECESummary:實際上光的傳播遵循最小能量原理；在靜力學中的穩(wěn)定平衡本質上是勢能最小的原理。二、變分法是自然界變分原理的數(shù)學規(guī)劃方法〔求解約束方程系統(tǒng)極值的數(shù)學方法,是計算泛函駐值的數(shù)學理論數(shù)學上的泛函定義定義：數(shù)學空間〔集合上的元素〔定義域與一個實數(shù)域間〔值域間的〔映射關系特征描述法：{J:}Examples:①矩陣數(shù)：線性算子〔矩陣空間數(shù)域‖A‖1=；；②函數(shù)的積分：函數(shù)空間數(shù)域Note:泛函的自變量是集合中的元素〔定義域；值域是實數(shù)域。Discussion：①判定下列那些是泛函：；；3x+5y=2；E、JE、Jconstsq<x>q<x>x物理問題中的泛函舉例xx=0,x=0,固支；x=l,自由i.梁的彎曲應變能：ii.彈性地基貯存的能量：iii.外力位能：iv.系統(tǒng)總的勢能：泛函的提法：有一種梁的撓度函數(shù)〔與載荷無關,就會有一個對應的系統(tǒng)勢能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數(shù)中,找一個w<x>,使系統(tǒng)勢能泛函取最小值。②最速降線問題問題：已知空間兩點A和B,A高于B,要求在兩點間連接一條曲線,使得有重物從A沿此曲線自由下滑時,從A到B所需時間最短〔忽略摩擦力。作法：i.通過A和B作一垂直于水平面的平面,取坐標系如圖。B點坐標<a,b>,設曲線為y=y<x>,并已知：x=0,y=0；x=a,y=bii.建立泛函：設P<x,y>是曲線上的點,P點的速度由能量守恒定律求得：命ds為曲線弧長的微分,有：xAyxAy重物從A點滑到B點的總時間：pyBpyBT=泛函駐值提法：在0≤x≤a的區(qū)間找一個函數(shù)y<x>使其滿足端點幾何條件并使T取最小值。③圓周問題問題：在長度一定的閉曲線中,什么曲線所圍成的面積最大。作法：i.假設所考慮的曲線用參數(shù)形式表示：x=x<s>,y=y<s>s為參數(shù)。取s1為曲線上的某一定點,則坐標表示x1=x<s1>,y1=y<s1>,因曲線是封閉的,必存在一個s2點使x2=x<s2>,y2=y<s2>與點s1<x1,y1>重合。ii.該封閉曲線的周長：L=該曲線所圍成的面積：R=iii.轉換R的表達式由Green公式：取P=-,Q=,則：∴泛函駐值的提法：等周問題即是在滿足端點條件x<s1>=x<s2>,y<s1>=y<s2>及周長一定條件下,尋找一個曲線函數(shù)使泛函R取駐值。④Discussion懸索線問題：已知空間中A,B兩點及一條長度L>的懸索,單位長的質量為m。假設繩索的長度是不變的,并忽略繩索的彎曲剛度,把此繩索的兩端掛在A,B兩點,求在平衡狀態(tài)下繩索的形狀。要求：列出懸索線應滿足的泛函式及泛函駐值提法。提示：繩索在平衡狀態(tài)下,其勢能應為最小值。1.2變分法〔泛函駐值的計算方法關于計算固體力學中的泛函、泛函極值的提法①這里所研究的泛函一般用積分顯式表達,并不等于所有泛函都能用顯式積分表達。②所要研究的泛函都可表示成在一定區(qū)間或一定區(qū)域的函數(shù)及其導數(shù)〔或偏導數(shù)的積分形式,即：a.b.c.泛函中的可變化函數(shù)稱為自變函數(shù),或稱宗量〔argument,x或y僅是積分變量,是被積函數(shù)的定義域。〔被積函數(shù)是復合函數(shù)概念的推廣③要說清楚一個泛函的極值問題,應注意：a.應把泛函本身講清楚〔即寫出它的形式；b.還必須講明白自變函數(shù)的性質,如：-獨立的自變函數(shù)的個數(shù)〔導函數(shù)并不獨立；-每個自變函數(shù)定義的區(qū)間/區(qū)域；-這些自變函數(shù)應滿足的條件〔如：邊界條件及其受約束的條件等。c.除了個別特殊情況外,一般情況下增加一個條件會使泛函極值及相應的自變函數(shù)變化性質發(fā)生變化。如：極小值可能變大；極大值可能變??；非極值的駐值可能成為極值。若干背景知識①泛函的駐值問題可以轉化為等價的微分方程問題,變分法的理論計算就是完成這類工作。本章容沿襲此方法,是要把問題的理論基礎講明確。②從近似解的角度出發(fā),直接求解泛函的駐值,比解微分方程更加方便,也更為實用。特別計算機技術的發(fā)展,帶來了大規(guī)模數(shù)值計算的可能性〔有限元的思想基礎。③經(jīng)Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli等數(shù)學先驅的卓越工作,完成了①的系統(tǒng)方法。④但把微分方程問題轉換為泛函問題還很不成熟。在物理、力學中,即先猜想一個泛函的駐值問題,再校對是否與原微分方程問題等價。⑤泛函駐值的計算〔數(shù)值先驅工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。關于變分法的一個預備定理若f<x>在[a,b]上連續(xù),若對任意滿足<a>=<b>=0的連續(xù)函數(shù)x都有：則f<x>在[a,b]上處處為零。反證法：設x0為[a,b]中的點,在x0點f<x0>≠0,可取f<x0>>0,∵f<x>在區(qū)間上連續(xù),必存在x0的一個充分小鄰域上f<x>>0,x0-<x<x0+又∵x為任意連續(xù)函數(shù)〔滿足邊界條件,可取x也在該鄰域大于零,而在該鄰域外恒等于零。所以有矛盾！即必須為零；同理可證小于零情況。該定理可推廣多元變量的函數(shù)問題。1.2.1定積分的駐值〔變分問題目的：通過簡單泛函的極值分析,獲得建立變分法的基本概念、計算步驟〔把變分解轉化成微分方程問題：在自變量x的區(qū)間[a,b]決定一個函數(shù)y<x>,使它滿足邊界條件：,并使泛函：取極值。計算方法1：先用變分觀點解釋G.H曲線的增量yβHDBCαAGabxabxxdx設想已取得了一條曲線GACH方程為：y=y<x>在GACH附近另取一條曲線GBDH,令該曲線無限接近GACH,其方程為：是一個無窮小量,稱為自變函數(shù)的變分〔若x不變,即為曲線縱坐標的增量〔注意與函數(shù)微分的區(qū)別,這里函數(shù)的變分仍然是一個函數(shù)相應兩條曲線,獲得兩個泛函值：基本引理：證：推廣：另一條認識的思路：DHβyx：DHβyxBCA：BCAGα：Gαba：badxdx＝因為是的連續(xù)可導函數(shù)〔工程上一般如此,故很小時,也很小,即取等式兩端的一階無窮小量,即：〔可以從Tailor展開式去理解稱為泛函V的一階變分,簡稱變分,即泛函的一階變分是泛函增量中的一階小量部分〔把自變函數(shù)的變分作為一階小量所以,變分的運算服從無窮小量的運算規(guī)則。計算方法2：〔把求泛函的極值轉化成求普通函數(shù)的極值記：<固定>當在y0上取極值,則相應于的泛函值現(xiàn)在成為普通的函數(shù)極值條件：〔先不管該條件,現(xiàn)僅研究其導數(shù)計算上兩式中出現(xiàn),和并不能獨立變化,可設法把項轉換成只與有關的項。取分步積分：取：代入一階變分式：要選定的函數(shù)滿足邊界條件,所以：,計算若方括號的函數(shù)在區(qū)間不為0,則可任選使大于零或小于零,即使V不能獲得極值,故需方括號的項為零。即：〔Euler方程此即與泛函駐值等價的微分方程?；颍毫钣勺兎只径ɡ恚喝我膺B續(xù)函數(shù),方括號中函數(shù)連續(xù)。Example最速降線問題：〔注不顯含x代入Euler方程,并乘以函數(shù)Q可得：由于<F中不顯含x>,上式