3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時(shí)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．(數(shù)學(xué)抽象)已知雙曲線C的方程為x2－y24＝1，(1)觀察方程中x與y是否有取值范圍，由此指出雙曲線C在平面直角坐標(biāo)系中的位置特征；(2)指出雙曲線C是否關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；(3)指出雙曲線C與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(4)如果(x，y)滿足雙曲線C的方程，說出當(dāng)|x|增大時(shí)，|y|將怎樣變化，并指出這反映了雙曲線的形狀具有什么特點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝y(tǒng)2a2－x2b2＝圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(－a，0)，A2(a，0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)軸長實(shí)軸長：2a；虛軸長：2b漸近線y＝±bay＝±_ab離心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)雙曲線的離心率對(duì)雙曲線的形狀有何影響？提示：以雙曲線x2a2－y2b2＝1(ae＝ca＝a2+b2a＝1+b2a2，故當(dāng)ba的值越大，漸近線y＝bax的斜率越大，雙曲線的開口越大知識(shí)點(diǎn)2等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為2．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)雙曲線x2a2－y2b2＝1與y2a2－x2b(2)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關(guān)． ()(3)離心率是2的雙曲線為等軸雙曲線． ()提示：(1)√雙曲線x2a2－y2b2＝1與y2a2－x2b(2)×等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x.(3)√等軸雙曲線的離心率是2.2．雙曲線x2－4y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______，______；中心坐標(biāo)為______；頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，________；實(shí)軸長為________，虛軸長為________．-52，052，0(0，0)(－1，0)(1，0)21[將x2－4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程由此可得實(shí)半軸長a＝1，虛半軸長b＝12，半焦距c＝5所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是-52，0，52，0，中心坐標(biāo)為(0，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，(1，0)，3．雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(3，45[由題意可得3解得a因此，該雙曲線的虛軸長2b＝45．]類型1根據(jù)雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)【例1】(源自湘教版教材)求雙曲線x29－y2[解]由雙曲線方程可得實(shí)半軸長a＝3，虛半軸長b＝4.c＝a2+b2＝9+16＝5，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，從而，漸近線方程為y＝±bax＝±43x，離心率e＝ca為畫出雙曲線的草圖，在坐標(biāo)系中畫出漸近線y＝±43x，頂點(diǎn)(±3，0)．算出雙曲線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)，例如取x＝5，算出y＝163≈5.33，可見點(diǎn)(5，±5.33)在雙曲線上．將y軸右邊已知的三點(diǎn)(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次連成光滑曲線并讓它逐步接近漸近線，就畫出了雙曲線的一支．由對(duì)稱性可畫出位于y軸左邊的另一支，由雙曲線方程研究幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定焦點(diǎn)位置，進(jìn)而確定a，b的值是關(guān)鍵．(2)由c2＝a2＋b2(易與橢圓中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)．(3)漸近線是雙曲線的重要性質(zhì)：先畫漸近線可使圖形更準(zhǔn)確，焦點(diǎn)到漸近線距離為虛半軸長．(4)注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應(yīng)用．如過雙曲線x2a2－y2b2＝1的左焦點(diǎn)F1(－c，0)垂直于x軸的弦AB，則[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率為43A．y＝±43x B．y＝±3C．y＝±73x D．y＝±3(2)求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．(1)C[由e2＝1＋b2a2得169＝∴b2a2＝79，即又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則雙曲線漸近線方程為y＝±73x，故選C．(2)[解]把雙曲線方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2m－y2n＝1(m>0由此可知，實(shí)半軸長a＝m，虛半軸長b＝n，c＝m+焦點(diǎn)坐標(biāo)為(m+n，0)，(－m+離心率e＝ca＝m+n頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－m，0)，(m，0)，漸近線方程為y＝±nmx即y＝±m(xù)nmx類型2由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)虛軸長為12，離心率為54(2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±32x(3)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，－2)．[思路導(dǎo)引]分析[解](1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2－由題知2b＝12，ca＝54，且c2＝a2＋b∴b＝6，c＝10，a＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x264－y236＝1或y(2)法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由ba＝32且a＝3，得b＝∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29－y當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由ab＝32且a＝得b＝2.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29－x法二：設(shè)以直線y＝±32x為漸近線的雙曲線的方程為x24－y29當(dāng)λ>0時(shí)，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6，解得λ＝9當(dāng)λ<0時(shí)，a2＝－9λ，∴2a＝2-9λ＝6，解得λ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29－y2814＝1或(3)設(shè)與雙曲線x22－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為x22－y2＝k(k≠0)，將點(diǎn)M(2，－2)的坐標(biāo)代入得k＝222－(－2)2＝－2，∴1．由幾何性質(zhì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解題思路由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時(shí)，方程可能有兩種形式，此時(shí)應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．2．常見雙曲線方程的設(shè)法(1)漸近線為y＝±nmx的雙曲線方程可設(shè)為x2m2－y2n2＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A(2)與雙曲線x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2(3)與雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為x2a2－y2b2＝λ(λ＞0)[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知雙曲線E與雙曲線x216－y29＝1共漸近線，且過點(diǎn)A(23，－3)．若雙曲線M以雙曲線[解]由題意，設(shè)雙曲線E的方程為x216－y29＝t(∵點(diǎn)A(23，－3)在雙曲線E上，∴23216－-329＝t∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y294－又雙曲線M以雙曲線E的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，∴雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24－y類型3雙曲線的離心率【例3】已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a，0)和(0，b)，且點(diǎn)(1，0)到直線l的距離與點(diǎn)(－1，0)到直線l的距離之和s[思路導(dǎo)引]寫出直線b>0寫出點(diǎn)-1，[解]由題意可知直線l的方程為xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.點(diǎn)(1，0)到直線l的距離d1＝ba-1a2+b2，點(diǎn)(－1所以s＝d1＋d2＝2aba2由s≥45c，得2abc≥即5ac2-a2≥2c2，則5e2即4e4－25e2＋25≤0，得54≤e2≤因?yàn)閑>1，所以e的取值范圍是52結(jié)合橢圓離心率的求法，試總結(jié)雙曲線離心率的求解方法．提示：(1)若可求得a，c，則直接利用e＝ca得解(2)若已知a，b，可直接利用e＝1+ba(3)若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)設(shè)F為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|A．23C．2D．5(2)實(shí)軸長為2的雙曲線C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i＝1，2，3，4)滿足|PiB|＝2|PiA|，其中A，B分別是雙曲線x2－y2＝1A．577，C．75，+(1)A(2)A[(1)如圖，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A，由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸．∵|PQ|＝|OF|＝c，∴|PA|＝c2∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，A為圓心，∴|OA|＝c2.∴Pc又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝a2上，∴c24＋c24＝a2，即c22＝a2，∴e2＝c2a2＝2(2)依題意可得a＝1，A(－1，0)，B(1，0)，設(shè)P(x，y)，則由|PB|＝2|PA|，得x-12+整理得x+532＋y由y得1+1b2x2＋103x＋因?yàn)殡p曲線C上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i＝1，2，3，4)滿足|PiB|＝2|PiA|，所以方程1+1b2x2＋103x＋2所以只需Δ＝1009－81+1b2>0，解得b則e＝ca＝1+b2a2＝1+故選A．]1．(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則()A．實(shí)軸長為82 B．虛軸長為4C．焦距為6 D．離心率為3ABD[雙曲線方程x2－8y2＝32化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x232－y24＝1，可得a＝42，b＝2，所以雙曲線的實(shí)軸長為82，虛軸長為4，焦距為12，離心率為324.故選ABD2．若雙曲線x2a2－y2＝1(a>0)的離心率為2，則其實(shí)軸長為A．3B．23C．33D．D[由題意得e2＝1＋1a2，即1＋1a解得a＝33，則實(shí)軸長為233，故選3．焦點(diǎn)在x軸上，一條漸近線的方程為y＝3x，虛軸長為43的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x24－y212＝1 B．xC．x248－y216＝1 D．xA[根據(jù)題意，要求雙曲線的虛軸長2b＝43，即b＝23.又雙曲線的一條漸近線的方程為y＝3x，所以ba＝3，則a＝2.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24－y212＝1.4．已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>052[由雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，可得其一條漸近線的方程為y＝bax又由圓C：x2＋y