第4講一次函數(shù)和反比例函數(shù)?？碱}型：知識(shí)清單：函數(shù)圖象性質(zhì)經(jīng)過(guò)象限變化規(guī)律（為常數(shù)且）過(guò)一二三象限圖象左低右高，隨增大而增大（正比例函數(shù)）過(guò)一三象限過(guò)一三四象限過(guò)一二四象限圖象左高右低，隨增大而減?。ㄕ壤瘮?shù)）過(guò)二四象限過(guò)二三四象限過(guò)一三象限在每個(gè)象限內(nèi)，隨增大而減小過(guò)二四象限在每個(gè)象限內(nèi)，隨增大而增大【典例剖析】1.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，連接OA、OB、AB，若∠AOB＝90°，則OBAB＝第1題圖第2題圖2.如圖，已知點(diǎn)A（t，1）在第一象限，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到OB，若反比例數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，則＝．3.如圖，直線(xiàn)l與反比例函數(shù)的圖象在第二象限交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，連接OC，∠ACO的角平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面積為6，則k的值為．第3題圖第4題圖4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，是第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，．若的面積是20，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．5.如圖所示，一次函數(shù)y＝x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，將直線(xiàn)AB向下平移與反比例函數(shù)交于點(diǎn)C、D，連接BC交x軸于點(diǎn)E，連接AC，已知BE＝3CE，且S△ACE＝．（1）求直線(xiàn)BC和反比例函數(shù)解析式；（2）連接BD，求△BCD的面積．6.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，4）和點(diǎn)B（4，n）．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，連接OA，OB，OM，若S△AOM＝S△BOM，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【總結(jié)】①反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題一般可用鉛錘法或割補(bǔ)法進(jìn)行求解；②面積比值和倍數(shù)問(wèn)題可先表示出兩個(gè)三角形的面積，也可以利用幾何法轉(zhuǎn)換為底邊或高的比值關(guān)系進(jìn)行解答。7.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A（﹣1，﹣4）和點(diǎn)B（4，m）（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）已知直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P（n，0）在x軸的負(fù)半軸上，若△BCP為等腰三角形，求n的值．【總結(jié)】等腰三角形一般利用“兩圓一線(xiàn)”作出三角形，然后再根據(jù)腰相等用兩點(diǎn)間的距離公式列出相關(guān)方程解答。8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）求過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在反比例函數(shù)上，點(diǎn)D在x軸上，當(dāng)以P、D、O三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P、D的坐標(biāo)；（3）反向延長(zhǎng)OB，與反比例函數(shù)在第三象限交于點(diǎn)F，點(diǎn)Q是x軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以F、Q、B三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【總結(jié)】直角三角形一般利用“兩線(xiàn)一圓”作出三角形，然后再利用①代數(shù)法：勾股定理寫(xiě)方程；②幾何法：作K型相似解答。特別地：等腰直角三角形可作K型全等進(jìn)行解答。9.如圖，反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)A（3，4），直線(xiàn)AC與x軸交于點(diǎn)C（6，0），過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B．（1）求反比例函數(shù)和直線(xiàn)AC的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）在平面內(nèi)有點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有D點(diǎn)的坐標(biāo)．【總結(jié)】平行四邊形的存在問(wèn)題一般利用對(duì)角線(xiàn)互相平行，對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行對(duì)角線(xiàn)分類(lèi)，然后利用中點(diǎn)重合，兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別相等列出方程（組）解答。10.如圖，已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2）．（1）求雙曲線(xiàn)解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)．（2）將直線(xiàn)向下平移一個(gè)單位得直線(xiàn)l，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+PQ的最小值．（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，連接PA，PB，若的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，取位于A點(diǎn)下方的點(diǎn)P，將線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PC，連接BC，點(diǎn)M是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，連接MB，若，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【真題演練】1.（2022天津）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）2.（2022寧波）如圖，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B，D都在函數(shù)的圖象上，BE⊥軸于點(diǎn)E．若DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交軸于點(diǎn)F，當(dāng)矩形OABC的面積為時(shí)，的值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．3.（2022衡陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于A（3，1），B（﹣1，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M，N分別在反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上，若四邊形OCNM是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．4.（2022成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（a，4），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AC，交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C，連接BC，當(dāng)線(xiàn)段AC被y軸分成長(zhǎng)度比為1：2的兩部分時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（3）我們把有兩個(gè)內(nèi)角是直角，且一條對(duì)角線(xiàn)垂直平分另一條對(duì)角線(xiàn)的四邊形稱(chēng)為“完美箏形”．設(shè)P是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPQ是完美箏形時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．5.（2023成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn).求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；若點(diǎn)C在直線(xiàn)上，且△ABC的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；P是直線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫(huà)△PDE，使它與△PAB位似，相似比為.若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的值.【中考預(yù)測(cè)】1.（改編題）如圖，已知點(diǎn)A（1，t）在第一象限，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OB，若反比例數(shù)（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，則k＝．2.（原創(chuàng)題）已知矩形OABC的邊OA和OC分別在軸和軸的正半軸上，邊BC和ABC分別與反比例函