專題05一次方程（組）及其應(yīng)用（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】 1【考點(diǎn)2方程的解】 2【考點(diǎn)3等式的性質(zhì)】 2【考點(diǎn)4解一元一次方程】 3【考點(diǎn)5含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】 4【考點(diǎn)6解二元一次方程（組）】 5【考點(diǎn)7同解方程（組）】 5【考點(diǎn)8解三元一次方程組】 5【考點(diǎn)9由實(shí)際問題抽象出一次方程】 6【考點(diǎn)10一元一次方程的應(yīng)用】 6【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的應(yīng)用】 7【考點(diǎn)12三元一次方程組的應(yīng)用】 8【要點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】1.含有未知數(shù)的等式叫做方程。2.只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。4.方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，這樣的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解?！究键c(diǎn)1方程的相關(guān)概念】【例1】（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a?b?3ya+b=2是關(guān)于x、y的二元一次方程，則A．29 B．2 C．32【變式1-1】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A．4x?y=?1y=2x+3 B．1x?1=y3x+y=0 C．【變式1-2】（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（

）A．xy=1 B．x2?1=0 C．x?y=1 【變式1-3】（2022·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【考點(diǎn)2方程的解】【例2】（2022·山東聊城·中考真題）關(guān)于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8【變式2-1】（2022·廣西·中考真題）方程3x＝2x＋7的解是（

）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7【變式2-2】（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數(shù)式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數(shù)式【變式2-3】（2022·浙江·寧波外國語學(xué)校一模）若{x=ay=b是二元一次方程組{x+y=2【要點(diǎn)2等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c。等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；ac=b【考點(diǎn)3等式的性質(zhì)】【例3】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【變式3-1】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【變式3-2】（2022·四川·梓潼縣教育研究室二模）有8個(gè)球編號(hào)是①至⑧，其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)都輕1克，為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重．那么，兩個(gè)輕球的編號(hào)是（

）A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤【變式3-3】（2022·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x=m，等式兩邊都乘以x，得x2等式兩邊都減m2，得x等式兩邊分別分解因式，得x+mx?m等式兩邊都除以x?m，得x+m=m．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．【要點(diǎn)3解方程的一般步驟】1.解一元一次方程的一般步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。2、解二元一次方程組的方法①代入消元法；②加減消元法。代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法?！究键c(diǎn)4解一元一次方程】【例4】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號(hào)，得3x+3?1=2x?2②移項(xiàng)，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項(xiàng)，得x=?4④以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式4-1】（2022·海南·中考真題）若代數(shù)式x+1的值為6，則x等于（

）A．5 B．?5 C．7 D．?7【變式4-2】（2022·云南昆明·二模）某校圖書閱覽室按如圖所示的規(guī)律擺放桌椅（矩形表示桌子，圓點(diǎn)表示椅子），八年級(jí)（3）班42人到這個(gè)閱覽室參加讀書活動(dòng)恰好坐滿，需要桌子_________張．【變式4-3】（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+#＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)(1)嘉淇猜#是2，請(qǐng)解一元一次方程3x?12(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？【考點(diǎn)5含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】【例5】（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，則x的值為（

）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不對(duì)【變式5-1】（2022·重慶南開中學(xué)三模）若關(guān)于x的方程|x|=ax+1只有一個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是_．【變式5-2】（2022·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)關(guān)于x的方程x?1+考慮如下說法：①當(dāng)a取某些值時(shí)，方程（1）有兩個(gè)整數(shù)解；②對(duì)某個(gè)有理數(shù)a，方程（1）有唯一的整數(shù)解；③當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，方程（1）沒有整數(shù)解；④不論a為何值時(shí)，方程（1）至多有4個(gè)整數(shù)解．其中正確的說法的序號(hào)是__．【變式5-3】（2022·廣東·佛山市南海外國語學(xué)校三模）已知c為實(shí)數(shù)，討論方程|x?1|?|x?2|+2|x?3|=c解的情況．【考點(diǎn)6解二元一次方程（組）】【例6】（2022·湖南株洲·中考真題）對(duì)于二元一次方程組y=x?1①x+2y=7②，將①式代入②式，消去y可以得到（

A．x+2x?1=7 B．x+2x?2=7C．x+x?1=7 D．x+2x+2=7【變式6-1】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3【變式6-2】（2022·河北唐山·一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y，規(guī)定運(yùn)算“※”如下：x※(1)當(dāng)a=3，b=4時(shí)，求1※(2)若5※3=16，2※（?3）=?2，求【變式6-3】（2022·四川綿陽·二模）若整數(shù)x，y滿足方程組y?m=x2x?m=y2，且?2≤x≤4，x≠yA．0 B．-1 C．-2 D．-3【考點(diǎn)7同解方程（組）】【例7】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x，y的二元一次方程組{2x+5y=?26ax?by=?4和求：（1）這兩個(gè)方程組的解；（2）代數(shù)式(2a+b)2020【變式7-1】（2022·上海楊浦·二模）若關(guān)于x的方程4m+x=20的解與方程2x?3=x+1的解相同，則m的值為__．【變式7-2】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）若方程x+12?2x?15=0A．2116 B．6316 C．?21【變式7-3】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程組a1x+y=c1a【考點(diǎn)8解三元一次方程組】【例8】（2022·江蘇南京·中考模擬）已知{4x?3y?3z=0A．2：（﹣1）：3 B．6：1：9 C．6：（﹣1）：9 D．2【變式8-1】（2022·廣東東莞·中考模擬）已知{x+4y?3z=04x?5y+2z=0，xyz≠0，求【變式8-2】（2022·仁壽縣長平初級(jí)中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，【變式8-3】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a1,a2,...,a2014【考點(diǎn)9由實(shí)際問題抽象出一次方程】【例9】（2022·貴州六盤水·中考真題）我國“DF－41型”導(dǎo)彈俗稱“東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF－41型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行x分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（

）A．26×340×60x=12000 B．26×340x=12000C．26×340x1000=12000 【變式9-1】（2022·江蘇南通·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為___________．【變式9-2】（2022·山東日照·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（

）A．y?x=4.52x?y=1 B．C．x?y=4.5y2?x=1 【變式9-3】（2022·廣東深圳·中考真題）張三經(jīng)營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，則下列方程正確的是（

）A．5y?11=7x7y?25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y C．5x?11=7y7x?25=5y 【考點(diǎn)10一元一次方程的應(yīng)用】【例10】（2022·湖南岳陽·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個(gè)問題中，城中人家的戶數(shù)為（

）A．25 B．75 C．81 D．90【變式10-1】（2022·山東東營·中考真題）植樹節(jié)當(dāng)天，七年級(jí)1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的35，七年級(jí)2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的15，則七年級(jí)2班植樹的棵數(shù)是（A．36 B．60 C．100 D．180【變式10-2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某公司專業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當(dāng)月月歷如圖）接到一份求購5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨．日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930經(jīng)盤點(diǎn)目前公司已有該產(chǎn)品庫存2855件，補(bǔ)充原材料后，從本月7日開始生產(chǎn)剩余數(shù)量的該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周日正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同．但因受高溫天氣影響，從本月10日開始，每天的生產(chǎn)量比原來減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫存總量達(dá)3830件．如果按照10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請(qǐng)說明理由．如果不能，請(qǐng)你給該公司生產(chǎn)部門提出一個(gè)合理的建議，以確保能按期交貨．【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的應(yīng)用】【例11】（2022·浙江衢州·中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．問1節(jié)5號(hào)電池和1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為x克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為y克，列方程組，由消元法可得x的值為（

）5號(hào)電池（節(jié)）7號(hào)電池（節(jié)）總質(zhì)量（克）第一天2272第二天3296A．12 B．16 C．24 D．26【變式11-1】（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式11-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，B種食品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【變式11-3】（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【考點(diǎn)12三元一次方程組的應(yīng)用】【例12】（2022·重慶市開州區(qū)德陽初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在剛剛結(jié)束的端午節(jié)中，商家為了實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展途徑．某商家推出了三種禮盒進(jìn)行售賣，某商家將甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋共22個(gè)，搭配為A，B，C三種禮盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)甜味粽，3個(gè)肉餡粽，1個(gè)咸鴨蛋；B盒中甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之和等于肉餡粽的數(shù)量，甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之比為3:2；C盒中有1個(gè)甜味粽，3個(gè)肉餡粽，2個(gè)咸鴨蛋．經(jīng)核算，A盒的成本為45元，B盒的成本為7