專題02一元二次方程（壓軸50題6種題型）一、認(rèn)識(shí)一元二次方程1．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)湖南省衡南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：判斷方程一個(gè)解的取值范圍是（）x0.590.600.610.620.63﹣0.061﹣0.04﹣0.0180.00440.027A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得：在0.61和0.62之間有一個(gè)值能使的值為0，于是可判斷方程一個(gè)解x的取值范圍為；【詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴方程一個(gè)解x的取值范圍是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，觀察表格中的數(shù)據(jù)找到最接近0時(shí)x的取值范圍是解題的關(guān)鍵2．（2020秋·福建廈門·九年級(jí)福建省廈門集美中學(xué)?？计谥校┤魧?shí)數(shù)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用是一元二次方程的根可得，則，同理可得：，結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：是一元二次方程的根，，，，，同理可得：，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根為，則方程一定有實(shí)數(shù)根(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入方程得，兩邊同時(shí)除以得：，即，所以一定有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵是一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，兩邊同時(shí)除以得：，即：，∴一定有實(shí)數(shù)根．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程根的定義，得到．4．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)徐州市科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表示不大于的最大整數(shù)，如，，如果，，則符合條件的的值有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，先確定的取值，然后再依次驗(yàn)證是否滿足．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，，，∵∴當(dāng)時(shí)，，得：，無(wú)解當(dāng)時(shí)，，得：，解得：(舍去)或當(dāng)時(shí)，，得：，解得：(舍去)當(dāng)時(shí)，，得：，解得：(舍去)當(dāng)時(shí)，，得：，解得：(舍去)或∴或符合條件的的值有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，解一元二次方程，要理解新定義定義，注意分類討論．5．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是方程的一個(gè)根，則．【答案】【分析】由是方程的一個(gè)根可得，再將化簡(jiǎn)為，最后整體代入值即可得到答案．【詳解】解：是方程的一個(gè)根，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的概念，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，采用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，，有公共解，則代數(shù)式的值為．【答案】或【分析】設(shè)公共解為，根據(jù)一元二次方程根的定義得到，，，三式相加可得：或，分別代入所求式可解答．【詳解】解：設(shè)公共解為，則，，，三式相加得，即，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，原式；當(dāng)時(shí)，，，，，原式，綜上，代數(shù)式的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，理解方程解的定義是解題的關(guān)鍵．二、用配方法求解一元二次方程7．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）代數(shù)式的可能取值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先將原式變形為，再分解因式，然后根據(jù)配方法得到，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式有最小值，此時(shí)最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，，且，我們用符號(hào)表示，兩數(shù)中較小的數(shù)，如，若，則．【答案】或【分析】分和兩種情況討論，列出方程，并檢驗(yàn)，可得答案．【詳解】解：若，則，解得：（不合題意，舍去）或；若，則，解得：或（不合題意，舍去）；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了利用直接開平方法解一元二次方程，實(shí)數(shù)的大小比較以及分類思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確理解題意．9.（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】將a代入方程再將方程變換，代入所求代數(shù)式即可求解；【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根、代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，將方程正確進(jìn)行變換是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋·陜西延安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的值．【答案】10【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征得到，，求出的值，即可得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，，∴，，解得：，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征、解方程、求代數(shù)式的值等知識(shí)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：【閱讀材料】我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)．使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值．，可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．再例如：求代數(shù)式的最大值．．可知當(dāng)時(shí)，有最大值．最大值是．(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式的最小值為______；(2)【類比應(yīng)用】若多項(xiàng)式，試求的最小值；(3)【知識(shí)遷移】如圖，學(xué)校打算用長(zhǎng)20米的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），求圍成的菜地的最大面積．

【答案】(1)(2)2018(3)圍成的菜地的最大面積是【分析】（1）配方法把原式化為完全平方式與一個(gè)數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；（2）利用配方法把原式進(jìn)行變形，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；（3）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為米，則另一邊長(zhǎng)為米，利用矩形的面積公式可得，再利用配方法把原式進(jìn)行變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為，故答案為：；（2）解：，當(dāng)，時(shí)，有最小值，最小值為2018；（3）解：設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為米，則另一邊長(zhǎng)為米，根據(jù)題意得：，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是，圍成的菜地的最大面積是．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，熟練掌握配方法的一般步驟、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·河北滄州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，得，(1)______，______．(2)求：當(dāng)x為何值時(shí)，此二次三項(xiàng)式的值為7？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，此二次三項(xiàng)式的值為7【分析】（1）根據(jù)完全平方公式配方變形求解即可；（2）令，利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：，，故答案為：（2）解：根據(jù)題意得，即，，∴∴當(dāng)時(shí)，此二次三項(xiàng)式的值為7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式及配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方公式的和的方法．這種方法被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如5是“完美數(shù)”，理由．解決問題：(1)數(shù)53（

）“完美數(shù)”（填是或不是）問題探究：(2)已知，則（

）(3)已知（x，y，k都是整數(shù)）要使得S為“完美數(shù)”試求出符合條件的k值．【答案】(1)是(2)1(3)．【分析】（1）把53分為兩個(gè)整數(shù)的平方和，即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出的值；（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：．故答案為：是；（2）解：已知等式變形得：，即，∵，∴，解得：，則：．故答案為：1；（3）解：當(dāng)時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：，∵S是完美數(shù)，∴是完全平方式，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．14．（2020秋·福建漳州·九年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┪覀兛梢岳门浞椒ㄇ笠恍┒囗?xiàng)式的最值．如：，，．當(dāng)時(shí)，有最小值且最小值為2；再如：，，，．當(dāng)時(shí)，有最大值且最大值為．通過閱讀，試求代數(shù)式的最小值或最大值．【答案】有最大值11，無(wú)最小值【分析】配方可得：，即可確定代數(shù)式的最大值為11，無(wú)最小值．【詳解】，，，有最大值11，無(wú)最小值．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法，再結(jié)合偶次方的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．三、用公式法求解一元二次方程15．（2023秋·湖北荊門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則k的值等于【答案】5或9【分析】當(dāng)或時(shí)，即，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)時(shí)，即，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，∴當(dāng)或時(shí)，即，∴方程，解得：，此時(shí)該方程為，解得：，此時(shí)三角形的三邊為5，5，1，符合題意；當(dāng)時(shí)，即，即，解得：，此時(shí)該方程為，解得：，此時(shí)三角形的三邊為5，3，3，符合題意；綜上所述，k的值等于5或9，故答案為：5或9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系，正確的理解題意是解本題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象上的“不動(dòng)點(diǎn)”，例如：直線，上存在“不動(dòng)點(diǎn)”．若函數(shù)的圖象上存在唯一“不動(dòng)點(diǎn)”，則．【答案】或或【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的一元二次方程有唯一解，利用根的判別式可得關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：由題意可知，方程有唯一解，整理得：，且．即，解得或．當(dāng)時(shí)，它是一次函數(shù)，存在唯一“不動(dòng)點(diǎn)”，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，新定義，一次函數(shù)的定義，對(duì)“不動(dòng)點(diǎn)”的理解是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023秋·江西贛州·九年級(jí)贛州市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)為最大正整數(shù)時(shí)，求方程的根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出最大正整數(shù)的值，代入方程，再解方程即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，∴，∴；（2）∵，∴最大正整數(shù)的值為2，∴方程化為：，即，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根的判別式，解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握根與判別式關(guān)系．18．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：一元二次方程根的兩個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用我們知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系數(shù)決定的，即它的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，那么一元二次方程的根與系數(shù)有何關(guān)系?下面介紹一元二次方程的兩個(gè)根與系數(shù)關(guān)系的另外兩個(gè)性質(zhì)（非根與系數(shù)的關(guān)系定理，即非韋達(dá)定理）：性質(zhì)1：在一元二次方程中，若（即各項(xiàng)的系數(shù)和為0），則一元二次方程的兩個(gè)根分別是，．下面我們給出它的證明過程：證明：∵，∴，∴，∴，．性質(zhì)2：在一元二次方程中，若，則一元二次方程的兩個(gè)根分別是，．證明：……．任務(wù)：(1)填空：下列方程的根是的是__________，根是的是__________．（填序號(hào)）A．；B．；C．；D．．(2)請(qǐng)參考小論文中性質(zhì)1的證明過程，寫出性質(zhì)2的證明過程．【答案】(1)A、B；C、D(2)證明見解析【分析】（1）把和分別代入選項(xiàng)中的方程進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）由得到，代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，故答案為：A、B；C、D（2）證明：∵，∴，∴，∴，．即一元二次方程的兩個(gè)根分別是，．【點(diǎn)睛】此題考查了公式法解一元二次方程，讀懂題意，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)證明：無(wú)論取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；(2)等腰三角形中，，、的長(zhǎng)是此方程的兩個(gè)根，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明即可；（2）根據(jù)是等腰三角形分類討論即可．【詳解】（1）證明：，無(wú)論取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)為腰時(shí)，則或有一條邊為腰，的解為，，解得：，時(shí)原方程兩根為和，此時(shí)三角形三邊為，，，這樣的三角形不存在，不合題意，應(yīng)舍去，當(dāng)為底時(shí)，則，為腰，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，解得，綜上所述，的值．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)?？计谥校┮阎宏P(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)若等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，另兩邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先計(jì)算出，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；（2）依題意有，則，再把代入方程，求出方程的解，然后計(jì)算三角形周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，即，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：依題意有，則，方程化為，解得，故的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根，還考查了等腰三角形的定義，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，，，、、在同一條直線上．

(1)若，，連接，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，設(shè)、、是和三邊的邊長(zhǎng)，由（1）易得，這對(duì)我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾股方程”．①判斷關(guān)于的“勾股方程”根的情況并說明理由；②若是“勾股方程”的一個(gè)根，且的面積是9，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)①必有實(shí)數(shù)根；②四邊形的周長(zhǎng)為．【分析】（1）由，知，，得到，利用勾股定理可得答案；（2）①通過判斷根的判別式△的正負(fù)來證明結(jié)論；②利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系，從而可求得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①關(guān)于x的“勾股方程”必有實(shí)數(shù)根，理由如下：根據(jù)題意，得：∵∴∴勾股方程必有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程為，即，

∵的面積是9，∴，則，∵，∴，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，考查勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程的根的判別式、完全平方公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．22．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：要解方程，我們發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，我們可以這樣做：解：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根，，，．我們把以上這種解決問題的方法叫做換元法．任務(wù)：(1)上述解方程的過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是（

）A．分類討論思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．公理化思想(2)仿照上面的方法，解方程；(3)若實(shí)數(shù)m、n滿足，則的值是．【答案】(1)B(2)，，，；(3)4【分析】（1）上述解方程的過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化思想；（2）設(shè)，則原方程化為，求出，再求出即可；（3）設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，通過解該方程求得的值即可．【詳解】（1）解：（1）上述解方程的過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化思想故答案為：；（2）解：原方程可以變形為，設(shè)，則原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根，，，．或：設(shè)，則原方程可化為，即，解得，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根，，，．（3）設(shè)，于是原方程可變?yōu)椋?，得．所以或（舍去）．即的值?．故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解法和換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．四、用因式分解法求解一元二次方程23．（2023秋·山東青島·九年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三角形的兩邊的長(zhǎng)分別為2和10，第三邊是方程的兩根之一，則此三角形的周長(zhǎng)是（

）A．19 B．22 C．13 D．19或22【答案】B【分析】先解一元二次方程求得第三邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷并計(jì)算求解即可．【詳解】解：，∵，∴，，∵第三邊是方程的兩根之一，∴當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)為10，三角形的周長(zhǎng)為，當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)為7，，不滿足三角形的三邊關(guān)系，故舍去，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·湖南常德·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為．【答案】3【分析】令，可得到關(guān)于t的一元二次方程，求解方程，最后判斷根的情況即可．【詳解】解：令，則可化為，整理得，解得，，，（舍去），，即，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查換元法，解一元二次方程，掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．25．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連接、．若四邊形是菱形，則等于．

【答案】【分析】證明，，設(shè)，，則，（x、y均為正數(shù)）．結(jié)合在中，，即，可得得，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴．∵四邊形是矩形，∴．設(shè)，，則，（x、y均為正數(shù)）．在中，，即，解得，（不符合題意的根舍去）∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的利用勾股定理建立方程是解本題的關(guān)鍵．26．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)方程無(wú)實(shí)數(shù)根(4)，【分析】（1）先移項(xiàng)，再用直接開平方法求解即可；（2）先移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)加上4，用配方法求解即可；（3）用公式法求解即可；（4）將右邊進(jìn)行因式分解，再用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，；（3）解：，，，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根；（4）解：，，，，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次的方法和步驟．27．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：示例：分解因式：．

(1)嘗試：分解因式：．(2)應(yīng)用：①請(qǐng)用上述方法解方程：．②如圖，在中，，且的長(zhǎng)是方程的一個(gè)根，求等腰三角形的面積．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）參照題例，“十字相乘法”求解；（2）①參照題例，“十字相乘法”求解；②“十字相乘法”求解方程，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，得，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)及勾股定理求得，進(jìn)而求得面積．【詳解】（1）解：（2）解：①∴，∴②∴．若，則三邊為，∵∴∴過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則，中，∴等腰三角形的面積．

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法求解一元二次方程,等腰三角形性質(zhì),勾股定理；添加輔助線，構(gòu)造直角三角形求解線段是解題的關(guān)鍵．28．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出的值．【問題】解方程：[提示]可以用“換元法”解方程．解：設(shè)，則有，原方程可化為：(1)續(xù)解：(2)用上面的思想方法解方程：【答案】(1)見解析(2)；；；【分析】（1）根據(jù)換元法的思想解方程即可；（2）設(shè)，解出關(guān)于的解，再將解代入原式求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)，則有，原方程可化為：，解得（舍）或，，，解得或；（2）解：設(shè)，原方程化為，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或是方程的解；當(dāng)時(shí)，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或是方程的解．∴原方程的解為：；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理方程的解法，熟練掌握換元法解無(wú)理方程的方法，注意對(duì)所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵．29．（2023秋·湖北荊門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，第三邊的長(zhǎng)是10．(1)求證：無(wú)論n取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)n為何值時(shí)；為等腰三角形？并求的周長(zhǎng)．(3)當(dāng)n為何值時(shí)，是以為斜邊的直角三角形？【答案】(1)見解析(2)，32或，28(3)6【分析】（1）計(jì)算判別式，即可得證；（2）根據(jù)是等腰三角形，可知是方程的一個(gè)根，代入方程，求出，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出底，即可求出的周長(zhǎng)；（3）根據(jù)勾股定理列方程，求出的值，再檢驗(yàn)即可確定．【詳解】（1）解：，，∴無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等得實(shí)根；（2）解：，，解得：，①，，②，；（3）解：，的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，是以為斜邊的直角三角形，且，，，，（舍）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，涉及等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．30．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，例如：，若，求x的值．【答案】2或3【分析】根據(jù)題意，列出方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，整理得，解得，，∴x的值為2或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意列出方程求解．31．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列方程及其解的特征：①的解為；②的解為，；③的解為，；?解答下列問題：(1)請(qǐng)猜想：方程的解為；(2)請(qǐng)猜想：關(guān)于x的方程的解為，；(3)請(qǐng)以解方程為例，驗(yàn)證（1）中猜想結(jié)論的正確性，下面給出了驗(yàn)證的部分過程，請(qǐng)把剩余部分補(bǔ)充完整．解：原方程可化為．【答案】(1)，(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)方程①②③的解，即可得出答案；（2）根據(jù)方程①②③的解，歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：由方程①②③可知，一個(gè)解等于方程右邊常數(shù)的分母，另一個(gè)解等于方程右邊常數(shù)的分母的倒數(shù)，所以方程的解為，，故答案為：，．（2）解：因?yàn)?，，，所以由?）可知，關(guān)于的方程的解為，，故答案為：．（3）解：原方程可化為，，，或，或，經(jīng)檢驗(yàn)，和都是原方程的解，所以方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．32．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，若關(guān)于x的分式的值為零，則解得，．又因?yàn)?，所以關(guān)于x的方程的解為，．(1)理解應(yīng)用：方程的解為：______，______；(2)知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程的解為，，求的值；(3)拓展提升：若關(guān)于x的方程的解為，，且，求k的值．【答案】(1)3，(2)(3)【分析】（1）類比題目中的例子可得或；（2）由題意可得，再由完全平方公式可得；（3）方程變形為，根據(jù)，得方程，求解即可．【詳解】（1）解：的解為，，的解為或，故答案為：3，；（2）解：，，，；（3）解：可化為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，靈活求分式方程的解，并結(jié)合完全平方公式對(duì)代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．五、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系33．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的兩根為，，則方程的兩根之和為．【答案】【分析】設(shè)，方程的兩根分別是、，可得，由關(guān)于x的方程的兩根為，，可得，，從而求得，即可得出，從而求解．【詳解】解：設(shè)，方程的兩根分別是、，∴，由題意可得：，，∴，∴，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入的思想解決問題．34．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，可得出，，，將及，代入中即可求出結(jié)論；（2）將，，代入中即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，．．（2），，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．35．（2023秋·福建廈門·九年級(jí)廈門市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論a為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為和，且滿足，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)不存在這樣的的值使．【分析】（1）計(jì)算一元二次方程根的判別式，得出，即可得證；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)題意可得，進(jìn)而解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵；∴，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）∵，∴，即，∵，，∴，即，∴不存在這樣的的值使．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．36．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)家對(duì)一元二次方程經(jīng)過漫長(zhǎng)的探索．我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在他的著作《勾股圓方圖注》對(duì)給出兩根和、積的關(guān)系．請(qǐng)你跟隨他的腳步開始你的探索之旅．(1)用表示一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，填寫表格．一元二次方程0①②③(2)數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)規(guī)律進(jìn)行歸納；對(duì)于，若，則；．（用含的代數(shù)式表示）．(3)設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，利用上述結(jié)論求的值．(4)類比探索，若一元三次方程可以轉(zhuǎn)化為，則；（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①；②；③(2)，(3)(4)，【分析】（1）利用直接開平方法和公式法分別求出方程的解，由此即可得；（2）利用公式法求出方程的解，由此即可得；（3）先根據(jù)（2）的結(jié)論可得，，再根據(jù)，代入計(jì)算即可得；（4）先化簡(jiǎn)方程，再比較各項(xiàng)的系數(shù)即可得．【詳解】（1）解：，，，則，，，即，則，，故答案為：①；②；③．（2）解：，，即，則，，故答案為：，．（3）解：是方程的兩個(gè)實(shí)根，，，則．（4）解：，則，，所以，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．37．（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么，，這一結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，它的應(yīng)用很多，請(qǐng)完成下列各題：(1)已知a、b是方程的兩根，求的值．(2)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知和是關(guān)于x，y的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得？若存在，求出該式的k值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)43；(2)存在，．【分析】（1）根據(jù)，是方程的兩根，求出，的值，即可求出的值；（2）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出，，再解，即可求出的值．【詳解】（1）解：∵，是方程的二根，∴，，∴，∴；（2）解：存在，當(dāng)時(shí)，．理由如下：∵，由①得：，由②得：，∴，即，由題意思可知，，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，則，∵和是關(guān)于，的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得：，（舍去），∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．也考查了一元二次方程根的判別式，不等式、二元一次方程組及一元二次方程的解法．六、應(yīng)用一元二次方程38．（2023春·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問戶斜幾何．意思是：一根竿子橫放，竿比門寬長(zhǎng)出四尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出二尺，斜放恰好能出去，則竿長(zhǎng)（

）尺．A．10 B．8 C．10或2 D．8或2【答案】A【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門對(duì)角線長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)竹竿尺，則圖中．

，，又在直角三角形中，，由勾股定理得：，所以，整理，得，因式分解，得，解得，，因?yàn)榍?，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的運(yùn)用，解一元二次方程，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問題中是解答本題的關(guān)鍵．39．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一塊長(zhǎng)92m寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為的6個(gè)矩形小塊，水渠應(yīng)挖的寬為．

【答案】1【分析】挖過水渠后的6個(gè)矩形小塊可以拼成長(zhǎng)為()，寬為()的矩形，據(jù)此列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)水渠應(yīng)挖的寬為，由題意得，整理得：，解得：，(舍去)，水渠應(yīng)挖的寬為，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程在圖形面積中的應(yīng)用，找出變化后的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．40．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)于2月4日至2月20日在北京師和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會(huì)吉祥物為“冰墩墩”．因此“冰墩墩”玩偶暢銷一時(shí)，已知某商店“冰墩墩”玩偶平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利40元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，則每個(gè)“冰墩墩”玩偶應(yīng)降價(jià)多少元？

【答案】每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)4元．【分析】設(shè)每個(gè)應(yīng)降價(jià)元，則每個(gè)盈利元，平均每天可售出個(gè)，再根據(jù)總利潤(rùn)等于每個(gè)盈利乘以銷售量列方程，再解方程即可.【詳解】解：設(shè)每個(gè)應(yīng)降價(jià)元，則每個(gè)盈利元，平均每天可售出個(gè)，依題意，得整理，得，解得，（不符合題意，舍去）．答：每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)4元．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.41．（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．(1)求該商品每次降價(jià)的百分率．(2)若該商品的進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此商品100件，且兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)為3228元，問第一次降價(jià)后售出該商品多少件？【答案】(1)該商品每次降價(jià)的百分率為；(2)第一次降價(jià)后售出該商品為件．【分析】（1）設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意，列方程求解即可；（2）設(shè)第一次降價(jià)后售出商品件，則第二次降價(jià)售出商品件，根據(jù)題意，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為，由題意可得：解得：或（舍去）即該商品每次降價(jià)的百分率為；（2）設(shè)第一次降價(jià)后售出商品件，則第二次降價(jià)售出商品件第一次降價(jià)后，售價(jià)為（元），由題意可得：解得即第一次降價(jià)后售出該商品為件．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，正確的列出方程．42．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；(2)經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，7月份的銷售量將與6月份持平，現(xiàn)商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件，當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元？【答案】(1)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為(2)該款吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元【分析】（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤(rùn)為（y-35）元，利用月銷售利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為；（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，月銷售量為件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該款吉祥物售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．43．（2023秋·山東青島·九年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止，點(diǎn)、的速度都是．連接、、．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)當(dāng)__________時(shí)，四邊形是矩形；(2)當(dāng)__________時(shí)，四邊形是菱形；(3)是否存在某一時(shí)刻使得，如果存在，請(qǐng)求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，沿著把翻折，當(dāng)為何值時(shí)，翻折后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)或【分析】（1）當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，據(jù)此求得的值；（2）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，列方程求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）過作，交于，，得出四邊形是矩形，列方程得，方程無(wú)實(shí)數(shù)根（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：由已知可得，，，在矩形中，，，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，∴，得，故當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；（2）解：，四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，即時(shí)，四邊形為菱形，解得，故當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；（3）解：過作，交于，，

四邊形是矩形，，，矩形，，，，即：方程無(wú)實(shí)數(shù)根不存在某一時(shí)刻使得（4）解：如圖所示，

折疊，矩形，，，，在中，，即：，解得：答：當(dāng)?shù)扔诨驎r(shí)，翻折后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程．解決此題注意結(jié)合方程的思想解題．44．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某流感病毒的轉(zhuǎn)染性很強(qiáng)，某一社區(qū)開始有2人感染發(fā)病，未加控制，結(jié)果兩天后發(fā)現(xiàn)共有50人感染發(fā)?。?1)每位發(fā)病者平均每天傳染多少人？(2)按照這樣的傳染速度，再過一天發(fā)病人數(shù)會(huì)超過200人嗎？【答案】(1)4人(2)按照這樣的傳染速度，再過一天發(fā)病人數(shù)會(huì)超過200人【分析】（1）設(shè)每位發(fā)病者平均每天傳染人，則第一天傳染中有人被傳染，第二天傳染中有人被傳染，根據(jù)“某一社區(qū)開始有2人感染發(fā)病，未加控制，結(jié)果兩天后發(fā)現(xiàn)共有50人感染發(fā)病”，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）利用第三天發(fā)病人數(shù)第二天發(fā)病人數(shù)每位發(fā)病者平均每天傳染的人數(shù)），可求出第三天發(fā)病人數(shù)，再將其與200比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)每位發(fā)病者平均每天傳染人，則第一天傳染中有人被傳染，第二天傳染中有人被傳染，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：每位發(fā)病者平均每天傳染4人；（2）（人，，按照這樣的傳染速度，再過一天發(fā)病人數(shù)會(huì)超過200人．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．45．（2023秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行，某商店銷售亞運(yùn)會(huì)文化衫，每件進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不超過，試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10件．設(shè)每天銷售量為件，銷售單價(jià)上漲元．(1)則與的函數(shù)關(guān)系式是__________．(2)每件文化衫銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商店每天獲利2400元？【答案】(1)(2)當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天獲利2400元【分析】（1）根據(jù)題意“當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10件”列出與的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）結(jié)合題意列出一元二次方程并求解即可獲得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得與的函數(shù)關(guān)系式是．故答案為：；（2）解：由題意知，，，，，，∴銷售單價(jià)為50元或64元，∵銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不超過，∴，∴當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天獲利2400元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．46．（2023秋·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為60米），用100米的圍欄建菜園（圍欄無(wú)剩余），基本結(jié)構(gòu)為三個(gè)大小相同的矩形．

(1)如果圍成的總面積為400平方米，求菜園的邊、的長(zhǎng)各為多少米？(2)保持菜園的基本結(jié)構(gòu)，菜園總面積是否可以達(dá)到840平方米？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)長(zhǎng)為20米，長(zhǎng)為20米(2)不能，理由見解析【分析】（1）設(shè)米，則米，由矩形面積公式列出關(guān)于x的方程，解之可得；（2）設(shè)米時(shí)，根據(jù)菜園的總面積為840平方米，列方程，即，再根據(jù)，得出方程無(wú)解，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)米，則米，∵，∴由題意知：，即，解得：，（舍）∴米，米答：菜園的邊長(zhǎng)為20米，長(zhǎng)為20米．（2）解：不能．理由：設(shè)米時(shí)，菜園的總面積為840平方米，由題意得，即∵，，，∴，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根∴菜園的總面積不能達(dá)到840平方米【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．47．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BC向C點(diǎn)以2