專題22勾股定理的應(yīng)用十二種類型類型一求梯子的滑動高度1．如圖所示，一架云梯長25m，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，這個梯子的頂端距地面有多高？如果梯子頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑動了4m嗎？2．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一個竹竿斜靠在左墻時，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂A的距離AB為0.6米．如果保持竹竿底端位置不動，將竹竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻頂D的距離DE為1米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)D、E、F在一條直線上，，，則墻的高度為多少米？3．如圖，一根長10m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A到地面的距離AO為8m，（1）當(dāng)梯子的頂端A下滑1m時，求梯子底端B向外滑行的距離？（2）請判斷在木棍滑動的過程中，中點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡述理由；（3）求木棍滑動的過程中△AOB面積的最大值；類型二求旗桿高度4．學(xué)過《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學(xué)興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度．小華測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米（如圖1），小明拉著繩子的下端往后退，當(dāng)他將繩子拉直時，小凡測得此時小明拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為8米（如圖2）．(1)設(shè)AB長為x米，繩子為米，AE為米（用x的代數(shù)式表示）；(2)請你求出旗桿的高度AB．5．學(xué)校運(yùn)動場上垂直豎立的旗桿的頂端A系有一根升旗用的繩子,繩子垂直到地面時還剩1米長在地面(如圖①),小芳為了測量旗桿AB的高度,將繩子拉直,使繩子的另一端C剛好著地(如圖②)．量得BC＝5米,求旗桿AB的高度．6．如圖所示，小明在測量旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)，國旗的升降繩自然下垂到地面時，還剩余0.3米，小明走到距離國旗底部6米的C處，把繩子拉直，繩子末端恰好位于他的頭頂D處，假設(shè)小明的身高為1.5米，求旗桿的高度是多少米？類型三求小鳥飛行距離7．有一只喜鵲在一棵高3米的小樹的樹梢上覓食，它的巢筑在距離該樹24米，高為14米的一棵大樹上，且巢離大樹頂部為1米，這時，它聽到巢中幼鳥求助的叫聲，立刻趕過去，如果它的飛行速度為每秒5米，那么它至少幾秒能趕回巢中？8．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解）．9．11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”問題:小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵棕櫚樹高是30肘尺(肘尺是古代的長度單位)，另外一棵高20肘尺;兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻以相同的速度飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo).問:這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根有多遠(yuǎn)?類型四求大樹折斷前的高度10．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”其大意是：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？（其中丈、尺是長度單位，1丈=10尺．）11．如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？12．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠(yuǎn)．問：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）類型五解決水杯中筷子的問題13．如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．14．如圖，已知圓柱形茶杯，底面直徑為5厘米，將長為20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短長度是7厘米，求茶杯的高度．15．如圖，有一個水池，水面是一個邊長為16尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是多少尺？請你用所學(xué)知識解答這個問題．類型六解決航海問題16．如圖，貨船和輪船從碼頭A同時出發(fā)．其中，貨船沿著北偏西54°方向以12海里/小時的速度勻速航行，輪船沿著北偏東36°方向以16海里/小時的速度航行．1小時后，兩船分別到達(dá)B、C點(diǎn)，求B、C兩點(diǎn)之間的距離．17．在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動到點(diǎn)D的位置，問船向岸邊移動了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）18．一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達(dá)B島，再從B島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km．若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時間．類型七求河寬19．在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造處該島的一個數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．(1)求小溪流AC的長．(2)求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號）20．如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲到達(dá)點(diǎn)B有45m，已知他在水中實(shí)際劃了75m，求該河流的寬度AB．21．印度數(shù)學(xué)家什迦羅在其著作中提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”此題的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被風(fēng)一吹，荷花傾斜，正好與湖面持平，且荷花與原來位置的水平距離為二尺，問湖水有多深．類型八求臺階上地毯的長度22．若圖是一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個樓梯一共需要多少元？23．如圖是一個三級臺階，每級臺階都是長、寬和高分別等于90cm，25cm和15cm的長方體，A和B是這個臺階的兩個相對的端點(diǎn)．在A點(diǎn)處有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請你算一算，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到B點(diǎn)，最短路程是多少？24．如圖，要為一段高，長的樓梯鋪上紅地毯．問：紅地毯至少需要多少米？類型九判斷汽車是否超速25．某路段限速70千米/時．如圖，一輛小汽車在該路段上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30米處的點(diǎn)C，過2秒后，測得小汽車（點(diǎn)B）與車速檢測儀間的距離為50米．這輛小汽車超速了嗎？26．我市《道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過60km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測點(diǎn)A正前方30m的C處，2秒后又行駛到與車速檢測點(diǎn)A相距50m的B處．請問這輛小汽車超速了嗎？若超速，請求出超速了多少？27．在某段公路的正上方有一攝像頭A距離地面7米，一天李叔叔駕駛的汽車正沿公路筆直勻速駛來，當(dāng)行駛到B點(diǎn)時第一次攝像，此時AB兩點(diǎn)相距25米，1.5秒后第二次攝像汽車恰好行駛到A點(diǎn)正下方C點(diǎn)，已知該路段限速60km/h，請判斷李叔叔是否超速，說明理由．類型十判斷是否受臺風(fēng)影響28．有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C會受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺風(fēng)的速度為20km/h，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？29．如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？30．我市夏季經(jīng)常收臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，且km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)求證：；(2)海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(3)若臺風(fēng)的速度為40km/h，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？類型十一選址滿足條件31．如圖，煙臺市正政府決定在相距50km的A、B兩村之間的公路旁E點(diǎn)，修建一個大櫻桃批發(fā)市場，且使C、D兩村到E點(diǎn)的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大櫻桃批發(fā)市場E應(yīng)建什么位置才能符合要求？32．11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”問題：小溪邊長著兩課棕櫚樹，恰好隔岸相望，一棵棕櫚樹CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB與CD樹干間的距離是10米．每棵樹的樹頂上都停著一只鳥．忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻以相同的速度飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo)E．問：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根C有多遠(yuǎn)？33．小渝和小川是一對好朋友，如圖，小渝家住A，小川家住B．兩家相距10公里，小渝家A在一條筆直的公路AC邊上，小川家到這條公路的距離BC為6公里，兩人相約在公路D處見面，且兩家到見面地點(diǎn)D的距離相等，求小渝家A到見面地點(diǎn)D的距離．類型十二求最短路徑34．如圖，有一個圓柱，它的高等于8cm，底面上圓的半徑等于