第七章概率

1、隨機(jī)現(xiàn)象樣本空間....................................................1

2、隨機(jī)事件隨機(jī)事件的運(yùn)算..............................................5

3、古典概型............................................................10

4、古典概型的應(yīng)用1.........................................................................................................15

5、古典概型的應(yīng)用2.........................................................................................................21

6、頻率與概率..........................................................27

7、事件的獨(dú)立性........................................................33

章末檢測(cè)...............................................................39

1、隨機(jī)現(xiàn)象樣本空間

一、選擇題

1.下列現(xiàn)象中，隨機(jī)現(xiàn)象有()

(D某射手射擊一次,射中10環(huán);

(2)同時(shí)擲兩顆骰子，都出現(xiàn)6點(diǎn)；

(3)某人購(gòu)買(mǎi)福利彩票未中獎(jiǎng)；

(4)若x為實(shí)數(shù)，則V+12L

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

C[(4)是確定性現(xiàn)象，(1)(2)(3)是隨機(jī)現(xiàn)象.]

2.下列現(xiàn)象中，確定性現(xiàn)象是()

A.凸四邊形的內(nèi)角和為360°

B.小明放學(xué)在十字路口遇到紅燈

C.三角形中兩邊之和小于第三邊

D.方程V+a=0有實(shí)數(shù)根

A[C是不可能現(xiàn)象，B、D是隨機(jī)現(xiàn)象.]

3.某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)興趣小組，某學(xué)生只

選報(bào)其中的2個(gè)，則試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

C[該生選報(bào)的所有可能情況是：(數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī))，(數(shù)學(xué)和航空模型)，(計(jì)

算機(jī)和航空模型)，所以試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有3個(gè).]

4.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，那么“這2個(gè)數(shù)的和大于4”

包含的樣本點(diǎn)數(shù)為()

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

C[從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，則試驗(yàn)的樣本空間為

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“這2個(gè)數(shù)的和大于4”

包含的樣本點(diǎn)有:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4個(gè).]

5.“連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點(diǎn)數(shù)”，該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)

共有()

A.6種B.12種

C.24種D.36種

D[試驗(yàn)的全部樣本點(diǎn)為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36

種.]

二、填空題

6.下列現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象的有.

①某收費(fèi)站在未來(lái)某天內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)；

②一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；

③某運(yùn)動(dòng)員在下屆奧運(yùn)會(huì)上獲得冠軍；

④某同學(xué)在回家的路上撿到100元錢(qián)；

⑤在沒(méi)有水和陽(yáng)光的條件下，小麥的種子不會(huì)發(fā)芽.

②⑤[①③④都是隨機(jī)現(xiàn)象，②⑤是確定性現(xiàn)象.]

7.從1,2,3,…，10中任意選一個(gè)數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為,

滿(mǎn)足“它是偶數(shù)”樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[樣本空間為。=

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),其中滿(mǎn)足“它是偶數(shù)”的樣本點(diǎn)有:2,4,6,8,10,共

有5個(gè).]

8.投擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為8所包含的樣本點(diǎn)有種.

5[樣本點(diǎn)為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5種.]

三、解答題

9.現(xiàn)在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況.

(1)寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間;

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點(diǎn)有哪些？

［解］以/S,6分別表示出剪刀、石頭、布.

(1)。={(/J,J),(/S,J),(5,J,J),(/J，0，(/

B,J),(B,Ji力，S,5),(S,J,S,6s,J),(/B,而，(6,J，

⑸，(B,B,J)，(S,S,S,(s,s,而，(S,B,S，(B,S,5),(B,B,S,

(3,S,而，(S,B,0,(8B,而，(/S,③，(/B,。，(S,J,而,(S,

B,J),(B,J,S，(8,S,J)}.

⑵“三人出拳相同”包含下列三個(gè)樣本點(diǎn)：(/J,J),(S,S,5),(B,B,

B).

10.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),記轉(zhuǎn)盤(pán)①得到的數(shù)為筋轉(zhuǎn)盤(pán)②得到的

數(shù)為y.結(jié)果為(x,y).

(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間;

⑵求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù);

(3)滿(mǎn)足“x+尸5”的樣本點(diǎn)有哪些？滿(mǎn)足“K3且力1”的呢?

(4)滿(mǎn)足“盯=4”的樣本點(diǎn)有哪些？滿(mǎn)足“x=y”的呢？

［解］⑴O={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)為16.

⑶滿(mǎn)足“才+尸5”的有以下4個(gè)樣本點(diǎn):(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)；

滿(mǎn)足“水3且力1”的有以下6個(gè)樣本點(diǎn):(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),

(2,3),(2,4).

(4)滿(mǎn)足“0=4”的有以下3個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4),(2,2),(4,1);

滿(mǎn)足的有以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

11.在25件同類(lèi)產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機(jī)

現(xiàn)象的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

C[25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都

是次品”不是隨機(jī)現(xiàn)象.]

12.拋擲一顆骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若“出現(xiàn)2點(diǎn)”是確定性現(xiàn)象，

則下列也是確定性現(xiàn)象的是()

A.“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”B.“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”

C.“點(diǎn)數(shù)大于3"D.”點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”

B[若“出現(xiàn)2點(diǎn)”是確定性現(xiàn)象，由2為偶數(shù)，故”出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”也是確

定性現(xiàn)象.]

13.寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間：

(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)足球賽，觀察甲隊(duì)比賽結(jié)果(包括平局)；

(2)從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù).

[答案](1)。={勝，平,負(fù)}(2)。={0,1,2,3,4}

14.一袋中裝有10個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)

摸出來(lái)，為了保證在第A次或第A次之前能摸出紅球，則A的最小值為.

16[至少需摸完黑球和白球，共15個(gè)，所以A最小為16.]

15.設(shè)有一列北上的火車(chē)，已知停靠的站由南至北分別為S,S,…，5,0

共10站.若甲在S站買(mǎi)票，乙在W站買(mǎi)票.設(shè)試驗(yàn)的樣本空間O表示火車(chē)所

有可能?？康恼荆?表示甲可能到達(dá)的站的集合，3表示乙可能到達(dá)的站的集

入口?

(1)寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間O；

(2)寫(xiě)出5包含的樣本點(diǎn)；

(3)鐵路局需為該列車(chē)準(zhǔn)備多少種北上的車(chē)票？

_解_(1)0={S,S,W,S\9S,Sd9S,W,區(qū)，So}.

(2)A—{Si,W,S,S,W,So}；B—{S,W,W,S0}.

（3）鐵路局需要準(zhǔn)備從S站發(fā)車(chē)的車(chē)票共計(jì)9種，

從S站發(fā)車(chē)的車(chē)票共計(jì)8種，…，從W站發(fā)車(chē)的車(chē)票1種，合計(jì)共9+8+…

+2+1=45（種）.

2、隨機(jī)事件隨機(jī)事件的運(yùn)算

一、選擇題

1.下列事件中為隨機(jī)事件的是（）

A.若a,b,c都是實(shí)數(shù)，則a（8c）=（a，）c

B.沒(méi)有水和空氣，人也可以生存下去

C.拋擲一枚硬幣，反面向上

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到60℃時(shí)水沸騰

C[A中的等式是實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c是恒成立的，故

A是必然事件.在沒(méi)有空氣和水的條件下，人是絕對(duì)不能生存下去的，故B是不

可能事件.拋擲一枚硬幣時(shí)，在沒(méi)得到結(jié)果之前，并不知道會(huì)是正面向上還是反

面向上，故C是隨機(jī)事件.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達(dá)到100C,水

才會(huì)沸騰，當(dāng)溫度是60℃時(shí)，水是絕對(duì)不會(huì)沸騰的，故D是不可能事件.]

2.12本外形相同的書(shū)中，有10本語(yǔ)文書(shū)，2本數(shù)學(xué)書(shū)，從中任意抽取3

本，是必然事件的是（）

A.3本都是語(yǔ)文書(shū)

B.至少有一本是數(shù)學(xué)書(shū)

C.3本都是數(shù)學(xué)書(shū)

D.至少有一本是語(yǔ)文書(shū)

D[從10本語(yǔ)文書(shū)，2本數(shù)學(xué)書(shū)中任意抽取3本的結(jié)果有：3本語(yǔ)文書(shū)，2

本語(yǔ)文書(shū)和1本數(shù)學(xué)書(shū)，1本語(yǔ)文書(shū)和2本數(shù)學(xué)書(shū)3種，故答案選D.]

3.抽查10件產(chǎn)品，記事件/為“至少有2件次品”，則4的對(duì)立事件為（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結(jié)果，故它

的對(duì)立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.]

4.學(xué)校將5個(gè)不同顏色的獎(jiǎng)牌分給5個(gè)班，每班分得1個(gè)，則事件“1班

分得黃色的獎(jiǎng)牌”與“2班分得黃色的獎(jiǎng)牌”是()

A.對(duì)立事件B.不可能事件

C.互斥但不對(duì)立事件D.不是互斥事件

C[由題意，1班和2班不可能同時(shí)分得黃色的獎(jiǎng)牌，因而這兩個(gè)事件是互

斥事件；又1班和2班可能都得不到黃色的獎(jiǎng)牌，故這兩個(gè)事件不是對(duì)立事件，

所以事件“1班分得黃色的獎(jiǎng)牌”與“2班分得黃色的獎(jiǎng)牌”是互斥但不對(duì)立事

件.故選C.]

5.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)/=｛兩次都擊

中飛機(jī)｝,8=｛兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)｝,。=卜恰有一彈擊中飛機(jī)｝,"=｛至少有一彈

擊中飛機(jī)｝,下列關(guān)系不正確的是()

A.AQDB.BCD=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

D[“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚

擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都

擊中，

二、填空題

6.給出下列四個(gè)命題：

①集合｛xllx|V0｝為空集是必然事件；

②尸f(x)是奇函數(shù)，則*0)=0是隨機(jī)事件；

③若loggl)>0,則x>l是必然事件；

④對(duì)頂角不相等是不可能事件.

其中正確命題是.

①②③④「門(mén)力20恒成立，.?.①正確；奇函數(shù)y=F(x)只有當(dāng)x=0有意

義時(shí)才有A0)=0,...②正確；由log式x—1)>0知，當(dāng)a>l時(shí)，x—即x

>2；當(dāng)0<a<l時(shí)，0<x—即.?.③正確，④正確.]

7.同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”的對(duì)立事件

為.

①一個(gè)是5點(diǎn)，另一個(gè)是6點(diǎn)；

②一個(gè)是5點(diǎn)，另一個(gè)是4點(diǎn)；

③至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)；

④至多有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn).

③［同時(shí)擲兩枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個(gè)，“都不是5點(diǎn)且不是6

點(diǎn)”包含16個(gè)，其對(duì)立事件是“至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)”.］

8.盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件/={3個(gè)球

中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球},事件8={3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球},事件C

={3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球},設(shè)事件￡={3個(gè)紅球},那么事件。與4B,E

的運(yùn)算關(guān)系是.

C=AUBUE［由題意可知C=4U6U￡］

三、解答題

9.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋任取2個(gè)球，

觀察紅球個(gè)數(shù)和白球個(gè)數(shù)，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷

它們是不是對(duì)立事件.

(1)“至少有1個(gè)白球"與“都是白球"；

(2)“至少有1個(gè)白球”與“至少有一個(gè)紅球”；

(3)“至少有一個(gè)白球”與“都是紅球”.

［解］(1)不是互斥事件，因?yàn)椤爸辽儆?個(gè)白球”即“1個(gè)白球1個(gè)紅球

或兩個(gè)白球”和“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件.

(2)不是互斥事件.因?yàn)椤爸辽儆?個(gè)白球”即“1個(gè)白球1個(gè)紅球或2個(gè)

白球”，“至少有1個(gè)紅球”即“1個(gè)紅球1個(gè)白球或2個(gè)紅球”，兩個(gè)事件可

以同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件.

(3)是互斥事件也是對(duì)立事件.因?yàn)椤爸辽儆?個(gè)白球”和“都是紅球”不

可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以是互斥事件也是對(duì)立事件.

10.某小區(qū)有甲、乙兩種報(bào)刊供居民訂閱，記事件4表示''只訂甲報(bào)刊”，

事件6表示“至少訂一種報(bào)刊”，事件。表示“至多訂一種報(bào)刊”，事件〃表示

“不訂甲報(bào)刊”，事件夕表示“一種報(bào)刊也不訂”.判斷下列事件是否是互斥事

件，若是，再判斷是否為對(duì)立事件.

⑴4與。；②B與E；(3)8與〃；⑷6與a⑸。與￡

［解］(1)由于事件C”至多訂一種報(bào)刊”中有可能“只訂甲報(bào)”，即事件/

與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故力與C不是互斥事件.

(2)事件8“至少訂一種報(bào)刊”與事件夕”一種報(bào)刊也不訂”是不可能同時(shí)

發(fā)生的，故8與少是互斥事件.由于事件8發(fā)生可導(dǎo)致事件￡'一定不發(fā)生，且事

件￡發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件夕一定不發(fā)生，故8與￡還是對(duì)立事件.

(3)事件8“至少訂一種報(bào)刊”中有可能“只訂乙報(bào)刊”，即有可能“不訂

甲報(bào)刊”，即事件3發(fā)生，事件〃也可能發(fā)生，故8與〃不互斥.

(4)事件6“至少訂一種報(bào)刊”中有這些可能：“只訂甲報(bào)刊”“只訂乙報(bào)

刊"''訂甲、乙兩種報(bào)刊”；事件?！爸炼嘤喴环N報(bào)刊”中有這些可能：“兩種

報(bào)刊都不訂”“只訂甲報(bào)刊”“只訂乙報(bào)刊”.由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，

故6與。不是互斥事件.

(5)由(4)的分析，事件一種報(bào)刊也不訂”只是事件。的一種可能，故事

件C與事件少有可能同時(shí)發(fā)生，故C與后不互斥.

11.(多選)將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件力=｛向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝,

事件8=｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2｝,事件C=｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不

小于4｝,則下列說(shuō)法中正確的有()

A.1B=0

B.~BC=｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3｝

C.47+7。=｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3｝

D.~ABC=｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2｝

BC［由題意知事件4包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,3,5；

事件8包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2；

事件。包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4,5,6.

所以彳8=｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2｝,故A錯(cuò)誤；｛向上的一面出

現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4或5或6｝,故B正確；A~B+~B｛向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3

或4或5或6｝,故C正確；ABC=Q,故D錯(cuò)誤，故選BC.］

12.設(shè)，，反少為三個(gè)事件，~H,~E,7分別表示它們的對(duì)立事件，表示“三

個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生”的表達(dá)式為（）

A.H+E+FB.HE~F+~HEF+~H~EF

C.HEF+HEF+~HEFD.H+E+F

B［選項(xiàng)A表示H,E,產(chǎn)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；選項(xiàng)B表示三個(gè)事件恰

有一個(gè)發(fā)生;選項(xiàng)C表示三個(gè)事件恰有一個(gè)不發(fā)生;選項(xiàng)D為選項(xiàng)A的對(duì)立事件,

即表示三個(gè)事件都不發(fā)生.故選B.］

13.給出以下三個(gè)命題：（1）將一枚硬幣拋擲兩次，記事件4“兩次都出

現(xiàn)正面”，事件6：”兩次都出現(xiàn)反面”，則事件力與事件6是對(duì)立事件；（2）

在命題（1）中，事件力與事件8是互斥事件；（3）在10件產(chǎn)品中有3件是次品，

從中任取3件，記事件外“所取3件中最多有2件是次品”，事件8：“所取

3件中至少有2件是次品”，則事件4與事件6是互斥事件，其中真命題的個(gè)數(shù)

是.

1［命題⑴是假命題，命題⑵是真命題，命題⑶是假命題.對(duì)于⑴（2）,

因?yàn)閽仈S兩次硬幣，除事件48外，還有“第一次出現(xiàn)正面，第二次出現(xiàn)反面”

和“第一次出現(xiàn)反面，第二次出現(xiàn)正面”兩個(gè)事件，所以事件4和事件8不是對(duì)

立事件，但它們不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事件；對(duì)于（3）,若所取的3件產(chǎn)品

中恰有2件次品，則事件4和事件8同時(shí)發(fā)生，所以事件/和事件6不是互斥事

件.］

14.現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理和化學(xué)共5本書(shū)，從中任取1本，記取到

語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)書(shū)分別為事件4B,C,D,E,則事件取出的是

理科書(shū)可記為.

BUDUE［由題意可知事件“取到理科書(shū)”可記為

15.從學(xué)號(hào)為1,2,3,4,5,6的六名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng)，其中1,3,5

號(hào)同學(xué)為男生，2,4,6號(hào)同學(xué)為女生，記：6=｛選出1號(hào)同學(xué)｝,C=｛選出2號(hào)

同學(xué)｝，G=｛選出3號(hào)同學(xué)｝,&=｛選出4號(hào)同學(xué)｝,6=｛選出5號(hào)同學(xué)｝,&=｛選

出6號(hào)同學(xué)｝,〃=｛選出的同學(xué)學(xué)號(hào)不大于1｝,〃=｛選出的同學(xué)學(xué)號(hào)大于4｝,

〃=｛選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于6｝,￡=｛選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于7｝,尸=｛選出的同學(xué)學(xué)

號(hào)大于6｝,G=｛選出的同學(xué)學(xué)號(hào)為偶數(shù)｝,H=｛選出的同學(xué)學(xué)號(hào)為奇數(shù)｝,等等.據(jù)

此回答下列問(wèn)題:

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件G發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？在集合中，集合G與這些集

合之間的關(guān)系怎樣描述？

(3)兩個(gè)事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例

子嗎？

［解］(1)必然事件有：公隨機(jī)事件有：G,G,G,G,Q,〃，"，

4G,不可能事件有：F.

(2)如果事件G發(fā)生，則事件〃，加E,〃一定發(fā)生，類(lèi)比集合之間的關(guān)系,

我們說(shuō)事件圓E,〃包含事件G,記作ZQG,QG,冷G,且〃=G.

⑶如:G和G；G和G等等.

3、古典概型

一、選擇題

1.一部三冊(cè)的小說(shuō)，任意排放在書(shū)架的同一層上，則各冊(cè)的排放次序共有

()

A.3種B.4種

C.6種D.12種

C［用1,2,3表示小說(shuō)的三冊(cè)，則樣本點(diǎn)有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),

⑵3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6種.］

2.下列是古典概型的是()

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)

B.求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為

樣本點(diǎn)

C.從甲地到乙地共〃條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.拋擲一枚均勻硬幣，首次出現(xiàn)正面為止

C［A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)

是無(wú)限的，故B不是；C項(xiàng)滿(mǎn)足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中

樣本點(diǎn)既不是有限個(gè)，也不具有等可能性，故D不是.］

3.從｛1,2,3,4,5｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從｛1,2,3｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,

則核a的概率是（）

D［設(shè)所取的數(shù)中力a為事件4如果把選出的數(shù)a,8寫(xiě)成一數(shù)對(duì)（a,6）

的形式，則試驗(yàn)的樣本空間。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）｝,共15

個(gè)，事件/包含的樣本點(diǎn)有（1,2）,（1,3）,（2,3）,共3個(gè)，因此所求的概率尸（4）

=15=5'J

4.從甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都當(dāng)

選的概率為（）

22

B-

A.5-O

C［從五個(gè)人中選取三人，則試驗(yàn)的樣本空間。=｛（甲，乙，丙），（甲，

乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙,

丙，?。ㄒ?，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊）｝,而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)

3

果有3種，故所求的概率為右.］

5.同時(shí)拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面，兩枚反面的概率等于（）

C［試驗(yàn)的樣本空間。=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）,

（反，正，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）｝,

3

共8種，出現(xiàn)一枚正面，兩枚反面的樣本點(diǎn)有3種，故概率為々曰］

二、填空題

6.從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的

2件中恰有1件是次品的概率是.

1［設(shè)3件正品為4B,G1件次品為〃從中不放回地任取2件，試驗(yàn)的

樣本空間。={(4，B),(4。，(A,力,(B,。，(8,〃)，(。，功},共6個(gè).其

中恰有1件是次品的樣本點(diǎn)有：(4。)，(8,〃)，C。)，共3個(gè)，故—數(shù)3萬(wàn)1］

7.在國(guó)慶閱兵中，某兵種4B,。三個(gè)方陣按一定次序通過(guò)主席臺(tái)，若先

后次序是隨機(jī)排定的，則3先于4。通過(guò)的概率為.

1［用(4B,。表示/,B,C通過(guò)主席臺(tái)的次序，則所有可能的次序有(4

O

B,。，(A,C,S,(B,A,(B,QA),(C,A,而，(C,B,A),共6種，

2

其中6先于4。通過(guò)的有(8a4和(840,共2種，故所求概率片展=

6

8.從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是.

1［從5個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，樣本點(diǎn)的總數(shù)為10,若取出的兩

數(shù)之和等于5,則有(1,4),(2,3),共有2個(gè)樣本點(diǎn)，所以取出的兩數(shù)之和等于

21

5的概率為行=E.］

三、解答題

9.某種飲料每箱裝6聽(tīng)，其中一箱有2聽(tīng)不合格，質(zhì)檢人員依次不放回地

從該箱中隨機(jī)抽出2聽(tīng)，求檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率.

［解］只要檢測(cè)的2聽(tīng)中有1聽(tīng)不合格，就表示查出了不合格產(chǎn)品.分為兩

種情況：1聽(tīng)不合格和2聽(tīng)都不合格.設(shè)合格飲料為1,2,3,4,不合格飲料為5,6,

從6聽(tīng)中選2聽(tīng)的樣本點(diǎn)有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種.有1

聽(tīng)不合格的有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共

O1

8種；有2聽(tīng)不合格的有(5,6),共1種，所以檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率為*=

10

3

10.某學(xué)校有初級(jí)教師21人，中級(jí)教師14人，高級(jí)教師7人，現(xiàn)采用分層

隨機(jī)抽樣的方法從這些教師中抽取6人對(duì)績(jī)效工資情況進(jìn)行調(diào)查.

(1)求應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)老師中分別抽取的人數(shù)；

(2)若從分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中隨機(jī)抽取2名教師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分

析，求抽取的2名教師均為初級(jí)教師的概率.

［解］(1)由分層隨機(jī)抽樣知識(shí)得應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)教師中抽

取的人數(shù)分別為3,2,1.

(2)在分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中，3名初級(jí)教師分別記為4,A2,4.2

名中級(jí)教師分別記為4,4,高級(jí)教師記為4,則從中抽取2名教師的樣本空間

為Q—{(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(A>,4)，(4,4)，

(4,4),(4,4),(4,4),(4,4)，(4,4),(4,4),(4,4)，(4,4)})

即樣本點(diǎn)的總數(shù)為15.抽取的2名教師均為初級(jí)教師(記為事件面的樣本點(diǎn)為

(4,Az),(4,4),(&A),共3種.

31

所以P⑦=—=-

155

11.有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1,3,5,7,9(cm),從中任取三根，能搭成三

角形的概率是()

D［設(shè)取出的三根木棒能搭成三角形為事件4試驗(yàn)的樣本空間

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),

⑶5,7),(3,5,9),⑶7,9),(5,7,9)},樣本空間的總數(shù)為10,由于三角

形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)

3

三種情況，故所求概率為尸C4)=而」

12.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是

11

B1

A.6-4-

1-1

-D

C.32-

D［設(shè)兩位男同學(xué)分別為a,b,兩位女同學(xué)分別為c,d,四人隨機(jī)站成一

歹I」，試驗(yàn)的樣本空間Q={abed,abdc,aebd,aedb,adbc,adeb,bacd,badc,

bead,beda,bdac,bdca,cabd,cadb,cbad,cbda,edab,edba,dabc,dacb,

dbac,dbea,dcab,dcSa}共24個(gè)，其中表示兩位女同學(xué)相鄰的樣本點(diǎn)有：a6cd,

abdc,aedb,dcab,deba,bacd,badc,beda,bdca,edab,cdba,adeb,共

12個(gè)，故所求的概率為12首與1］

13.從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則

2名都是女同學(xué)的概率等于.

|［用4B,。表示三名男同學(xué)，用a,b,c表示三名女同學(xué)，則從6名同

□

學(xué)中選出2人的樣本空間0={4?,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,

Cc,ab,ac,be］,其中事件”2名都是女同學(xué)”包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,故所求

的概率為七3="1.］

155

14.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和

3個(gè)黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為.

9

7［設(shè)袋中紅球用a表示，2個(gè)白球分別用b\,4表示，3個(gè)黑球分別用

o

Q,表示，則試驗(yàn)的樣本空間0={(a,b),(a,㈤，(a,。)，(a,Q),(a,

Q)>(b1,bi)，(bi.Ci)，(瓦,C2)，(bi,Q)，Ci)>(bi,Q)，cJ，(a,

C2),(Q,C3),(C2,C3)},則樣本空間的總數(shù)為15個(gè).兩球顏色為一白一黑的

樣本空間有(仇，G),(仇，◎),(仇，C3),(b),a),(b,,Q),優(yōu)，c：J,共6

個(gè)..?.其概率為4=1」

155

15.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，

標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球〃個(gè).已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，

取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是小

(1)求〃的值；

(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a,

第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為，.記事件4表示“a+6=2”，求事件力的概率.

［解］(1)由題意可知：,,=1,

l+1+n2

解得n=2.

(2)不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的樣本空間0={(0,1),(0,2),(O,2J,

(1,0),(1.2,),(1,2。，⑵0),⑵」)，⑵2),⑵。，⑵［),⑵2)}，共

12個(gè)，事件/包含的樣本點(diǎn)為：(0,2),(0,22),(2,,0),⑵,0),共4個(gè)..,/(4

=12=3'

4、古典概型的應(yīng)用1

一、選擇題

1.某射手的一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.20,0.30,0.10.

則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()

A.0.40B.0.30

C.0.60D.0.90

A［不夠8環(huán)的概率為1-0.20-0.30-0.10=0.40.］

2.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%,甲不輸?shù)母怕适?0%,則甲、乙

兩人下和棋的概率是()

A.60%B.30%

C.10%D.50%

D［“甲獲勝"與''甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不輸”即“甲獲勝

或甲、乙下成和棋”，故尸（甲不輸）=尸（甲勝）+產(chǎn)（甲、乙和棋），...尸（甲、乙和

棋）=尸（甲不輸）一以甲勝）=90%-40%=50%.］

3.從分別寫(xiě)有4B,C,D,￡的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字

母按字母順序恰好是相鄰的概率為（）

B［試驗(yàn)的樣本空間Q={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,困,

共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件“這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的”

42

包含4個(gè)樣本點(diǎn)，故所求的概率為親=、］

4.古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克

木，木克土，土克水，水克火，火克金.”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩

種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為（）

C［試驗(yàn)的樣本空間。={金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，

水火，水土，火土},共10個(gè)樣本點(diǎn)，事件“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5

51

個(gè)樣本點(diǎn)，故其概率為m=萬(wàn)］

5.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a,再由乙猜

甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為6,其中a,8G{1,2,3,4,5,6},若a=b

或a=6—1,就稱(chēng)甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)在任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心

有靈犀”的概率為（）

71

-

A.B.4

36

C［由于甲、乙各記一個(gè)數(shù)，則樣本點(diǎn)總數(shù)為6X6=36個(gè)，而滿(mǎn)足a=b

或a=8-1的共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),

(3,4),(4,5),(5,6),共11個(gè)..?.概率

36

二、填空題

6.甲、乙兩人打乒乓球，兩人打平的概率是］乙獲勝的概率是1則乙

Ci0

不輸?shù)母怕适?

5115

7［乙不輸表示甲、乙打成平局或乙勝，故其概率為］

0oz0

7.從集合4={—3,-2,—1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為A,從集合8={—

2,1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為力，則A>0,力0的概率為.

［［根據(jù)題意可知，總的樣本點(diǎn)(4,8)共有4X3=12個(gè)，事件“k〉0,力0”

包含的樣本點(diǎn)有(2,1),(2,2),共2個(gè)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知所求

21

概率為］

8.如圖所示，a,b,c,d,e是處于斷開(kāi)狀態(tài)的開(kāi)關(guān)，任意閉合其中的兩

個(gè)，則電路接通的概率是.

［“任意閉合其中的兩個(gè)開(kāi)關(guān)”所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)是10,“電路接

3

通”包含6個(gè)樣本點(diǎn)，所以電路接通的概率

5

三、解答題

9.學(xué)校射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如表：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)

概率0.320.280.180.12

求該選手射擊一次.

(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)至少命中8環(huán)的概率；

(3)命中不足8環(huán)的概率.

［解］記”射擊一次，命中A環(huán)”為事件46=7,8,9,10).

(1)因?yàn)?與4?；コ猓浴?4+4。)=P(4)+尸(4。)=0.28+0.32=0.60.

(2)記“至少命中8環(huán)”為事件6,8=4+4+4。，又4,4,4。兩兩互斥，

所以尸㈤=尸(4)+尸(4)+尸(4。)=0.18+0.28+0.32=0.78.

(3)記“命中不足8環(huán)”為事件C.則事件C與事件8是對(duì)立事件.

所以尸(0=1一2(③=1—0.78=0.22.

10.一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記

的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的

數(shù)字依次記為a,b,c.求：

(1)“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”的概率；

(2)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.

［解］(1)由題意知，試驗(yàn)的樣本空間。={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),

(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),

(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),

(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)},

共27個(gè)樣本點(diǎn).

設(shè)”抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”為事件A,則事件4={(1,1,2),

31

(1,2,3),(2,1,3)},共3種.所以尸(心=藥=§.因此，“抽取的卡片上的數(shù)

字滿(mǎn)足a+b=cn的概率為去

(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件員則事件下包

—38

括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.所以尸(0=1一P(8)=1一荷=a

O

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為歹

11.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件力表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件△表示

“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件4+8發(fā)生的概率為（）

2142

c［擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意/（/）=、=『m

63b3

—21—

所以/（8）=1一—㈤=1一鼻=可，因?yàn)?表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件,

———112

因此事件力與B互斥,從而P（A+6）=尸（⑷+尸（B）=-+-=-］

OOO

12.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3

O

次，則⑹是下列哪個(gè)事件的概率（）

A.顏色全同B.顏色不全同

C.顏色全不同D.無(wú)紅球

B［試驗(yàn)的樣本空間。=（黃黃黃，紅紅紅，白白白，紅黃黃，黃紅黃，黃

黃紅，白黃黃，黃白黃，黃黃白，黃紅紅，紅黃紅，紅紅黃，白紅紅，紅白紅,

紅紅白，黃白白，白黃白，白白黃，紅白白，白紅白，白白紅，黃紅白，黃白紅,

紅黃白，紅白黃，白紅黃，白黃紅）,共包含27個(gè)樣本點(diǎn)，事件“顏色全相同”

OIOO

包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則其概率為萬(wàn)=§=1一§,所以§是事件“顏色不全同”的概

率.］

13.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選3人中至少有1

4

名女生的概率為‘那么所選3人中都是男生的概率為

5

1

5-［設(shè)4={3人中至少有1名女生},8={3人都為男生},則4、6為對(duì)立

事偉

???尸㈤―/

14.如果事件4與8是互斥事件，且事件力+6發(fā)生的概率是0.64,事件8

.

為

率

生的概

件A發(fā)

，則事

的3倍

概率