專題6.2反比例函數(shù)的應(yīng)用【六大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圖形問題】 1【題型2表格問題】 2【題型3工程問題】 4【題型4行程問題】 5【題型5銷售問題】 6【題型6物理問題】 8【知識點1反比例函數(shù)的應(yīng)用】求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法（2）根據(jù)實際意義求函數(shù)解析式【題型1圖形問題】【例1】（2023秋?岳陽月考）如圖，科技小組準(zhǔn)備用材料圍建一個面積為60m2的矩形科技園ABCD，其中一邊AB靠墻，墻長為12m，設(shè)AD的長為xm，DC的長為ym．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)實際情況，對于（1）式中的函數(shù)自變量x能否取值為4m，若能，求出y的值，若不能，請說明理由；（3）若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m，材料AD和DC的長都是整米數(shù)，求出滿足條件的所有圍建方案．【變式1-1】（2023秋?曲陽縣期末）一菱形的面積為12cm2，它的兩條對角線長分別acm，bcm，則a與b之間的函數(shù)關(guān)系為a＝；這個函數(shù)的圖象位于第象限．【變式1-2】（2023?濱江區(qū)二模）用若根火柴首尾相接擺成一個矩形，設(shè)每一根火柴的長度為1，矩形兩條鄰邊的長分別別為x，y，要求擺成的矩形的面積為8．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）能否擺成正方形？請說明理由．【變式1-3】（2023春?江干區(qū)期末）在面積都相等的所有三角形中，當(dāng)其中一個三角形的一邊長x為1時，這條邊上的高y為6．（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②當(dāng)x≥3時，求y的取值范圍；（2）小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4，小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6．你認為小李和小趙的說法對嗎？為什么？【題型2表格問題】【例2】（2023?新華區(qū)校級一模）某電子科技公司研發(fā)出一套學(xué)習(xí)軟件，并對這套學(xué)習(xí)軟件在24周的銷售時間內(nèi)，做出了下面的預(yù)測：設(shè)第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當(dāng)0＜x≤8時，T與x+4成反比；當(dāng)8＜x≤24時，T﹣2與x成正比，并預(yù)測得到了如表中對應(yīng)的數(shù)據(jù)．設(shè)第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的函數(shù)關(guān)系圖象：x/周824T/千套1026（1）求T與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）觀察圖象，當(dāng)12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為．（3）設(shè)第x周銷售該學(xué)習(xí)軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：①在這24周的銷售時間內(nèi)，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學(xué)習(xí)軟件提供售后服務(wù)和銷售的周利潤總額的范圍是286≤y≤504，求在此范圍內(nèi)對應(yīng)的周銷售量T的最小值和最大值．【變式2-1】（2023春?鄭州期末）小涂在課余時間找到了幾副度數(shù)不同的老花鏡，讓鏡片正對著太陽光，并上下移動鏡片，直到地上的光斑最?。梢哉J為是焦點），此時他測了鏡片與光斑的距離（可以當(dāng)做焦距），得到如下數(shù)據(jù)：老花鏡的度數(shù)D/度100120200250300焦距f/m10.80.50.40.3（1）老花鏡鏡片是（凸的、凹的、平的），度數(shù)越高鏡片的中心（越薄、越厚、沒有變化）；（2）觀察表中的數(shù)據(jù)，可以找出老花鏡的度數(shù)D與鏡片焦距f的關(guān)系，用關(guān)系式表示為：；（3）如果按上述方法測得一副老花鏡的焦距為0.7m，可求出這幅老花鏡的度數(shù)為．【變式2-2】（2023春?社旗縣期中）如圖，李老師設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制問題似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊活動托盤B（可左右移動）中放置一定質(zhì)量的砝碼，使得儀器左右平衡．改變活動托盤B與點O的距離x（cm），觀察活動托盤B中砝碼的質(zhì)量y（g）的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下表：x（cm）1015202530y（g）3020151210（1）猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式并加以驗證；（2）當(dāng)砝碼的質(zhì)量為24g時，活動托盤B與點O的距離是多少？（3）將活動托盤B往左移動時，應(yīng)往活動托盤B中添加還是減少砝碼？【變式2-3】（2023春?常州期末）某公司從2014年開始投入技術(shù)改進資金，經(jīng)技術(shù)改進后，其產(chǎn)品的成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：年度投入技改資金x/萬元產(chǎn)品成本y/（萬元/件）20142.514.4201531220164920174.58（1）分析下表中數(shù)據(jù)，請從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定一個函數(shù)表示其變化規(guī)律，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：（2）按照這種變化規(guī)律，若2018年已投入資金6萬元．①預(yù)計2018年每件產(chǎn)品比2017年降低多少萬元？②若計劃在2018年把每件產(chǎn)品成本降低到5萬元，則還需要投入技改資金多少萬元？【題型3工程問題】【例3】（2023?市南區(qū)校級二模）新冠肺炎疫情發(fā)生后，社會各界積極行動，以各種方式傾情支援湖北疫區(qū)，某車隊需要將一批生活物資運送至湖北疫區(qū)．已知該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系．（1）求該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫出自變量x的取值范圍）（2）根據(jù)計劃，要想在5天之內(nèi)完成該運送任務(wù)，則該車隊每天至少要運送多少噸物資？（3）為保證該批生活物資的盡快到位，該車隊實際每天運送的貨物噸數(shù)比原計劃多了25%，最終提前了1天完成任務(wù)，求實際完成運送任務(wù)的天數(shù)．【變式3-1】（2023?市南區(qū)模擬）某校綠色行動小組組織一批人參加植樹活動，完成任務(wù)的時間y（h）是參加植樹人數(shù)x（人）的反比例函數(shù)，且當(dāng)x＝20人時，y＝3h．（1）若平均每人每小時植樹4棵，則這次共計要植樹240棵；（2）當(dāng)x＝80時，求y的值；（3）為了能在1.5h內(nèi)完成任務(wù)，至少需要多少人參加植樹？【變式3-2】（2023?仙居縣一模）縣政府計劃建設(shè)一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為6×105（單位：m3），某運輸公司承擔(dān)了運送土石方的任務(wù)．（1）運輸公司平均運送速度v（單位：m3/天）與完成運送任務(wù)所需時間t（單位：天）之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）這個運輸公司共有80輛卡車，每天可運送土石方104（單位：m3），公司完成全部運輸任務(wù)需要多長時間？（3）當(dāng)公司以問題（2）中的速度工作了30天后，由于工程進度的需要，剩下的運輸任務(wù)必須在20天內(nèi)完成，則運輸公司至少要增加多少輛卡車？【變式3-3】（2023秋?商州區(qū)校級期末）碼頭工人每天往一艘輪船上裝載貨物，平均每天裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；（2）由于緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少要卸貨多少噸？（3）若碼頭原有工人10名，且每名工人每天的裝卸量相同，裝載完畢恰好用了8天時間，在（2）的條件下，至少需要增加多少名工人才能完成任務(wù)？【題型4行程問題】【例4】（2023春?宜興市校級期末）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/小時的平均速度用6小時到達目的地．（1）當(dāng)他按原路勻速返回時，求汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果該司機勻速返回時，用了4.8小時，求返回時的速度；（3）若返回時，司機全程走高速公路，且勻速行駛，根據(jù)規(guī)定：最高車速不得超過每小時120公里，最低車速不得低于每小時60公里，試問返程時間的范圍是多少？【變式4-1】（2023春?相城區(qū)期末）一列貨車從北京開往烏魯木齊，以58km/h的平均速度行駛需要65h．為了實施西部大開發(fā)，京烏線決定全線提速．（1）如果提速后平均速度為vkm/h，全程運營時間為t小時，試寫出t與v之間的函數(shù)表達式；（2）如果提速后平均速度為78km/h，求提速后全程運營時間；（3）如果全程運營的時間控制在40h內(nèi)，那么提速后，平均速度至少應(yīng)為多少？【變式4-2】（2023?麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應(yīng)值如下表：v（千米/小時）7580859095t（小時）4.003.753.533.333.16（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達式；（2）汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由；（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍．【變式4-3】（2023?河北）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=kx（x≥1）交于點A，且AB＝1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t＝1時h＝5，M，A的水平距離是（1）求k，并用t表示h；（2）設(shè)v＝5．用t表示點M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y＝13時運動員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．【題型5銷售問題】【例5】（2023秋?新都區(qū)期末）2023年9月，中國在聯(lián)合國大會上向世界宣布了2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和的目標(biāo)．為推進實現(xiàn)這一目標(biāo)，某工廠投入資金進行了為期6個月的升級改造和節(jié)能減排改造，導(dǎo)致月利潤明顯下降，改造期間的月利潤與時間成反比例函數(shù)關(guān)系；到6月底開始恢復(fù)全面生產(chǎn)后，工廠每月的利潤都比前一個月增加30萬元．設(shè)2023年1月為第1個月，第x個月的利潤為y萬元，其圖象如圖所示，試解決下列問題：（1）分別寫出該工廠對生產(chǎn)線進行升級改造前后y與x的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)月利潤少于90萬元時，為該工廠的資金緊張期，則該工廠資金緊張期共有幾個月．【變式5-1】（2023?定海區(qū)模擬）某公司為了宣傳一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品促銷會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10萬元，設(shè)第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺．（1）第5場銷售多少臺產(chǎn)品？并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）產(chǎn)品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價為10萬元，第1場～第20場浮動價與銷售場次x成正比，第21場～第40場浮動價與銷售場次x成反比，經(jīng)過統(tǒng)計，得到如表數(shù)據(jù)：x（場）31036P（萬元）10.61213①求P與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)產(chǎn)品銷售單價為13.6萬元時，求銷售場次是第幾場？③在這40場產(chǎn)品促銷會中，哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【變式5-2】（2023?河北模擬）小米利用暑期參加社會實踐，在媽媽的幫助下，利用社區(qū)提供的免費攤點賣玩具，已知小米所有玩具的進價均2元/個，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每天玩具銷售量y件與銷售價格x元/件的關(guān)系如圖所示，其中AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，設(shè)小米銷售這種玩具的日利潤為w元．（1）根據(jù)圖象，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出每天銷售這種玩具的利潤w（元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每天利潤的最大值；（3）若小米某天將價格定為超過4元（x＞4），那么要使得小米在該天的銷售利潤不低于54元，求該天玩具銷售價格的取值范圍．【變式5-3】（2023?青羊區(qū)模擬）某學(xué)校小組利用暑假中前40天參加社會實踐活動，參與了一家網(wǎng)上書店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/本的書在x天銷售量p＝50﹣x，在第x天的售價為y（元/本），y與x的關(guān)系如圖所示．已知當(dāng)社會實踐活動時間超過一半后．y＝20+（1）請求出當(dāng)1≤x≤20時，y與x的函數(shù)關(guān)系式，請問第幾天此書的銷售單價為35元/本？（2）這40天中該網(wǎng)點銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？【題型6物理問題】【例6】（2023?青秀區(qū)校級一模）學(xué)校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．水溫從20℃加熱到100℃，需要7min B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=400C．上午8點接通電源，可以保證當(dāng)天9：30能喝到不超過40℃的水 D．水溫不低于30℃的時間為773【變式6-1】（2023?棗莊）為加強生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達標(biāo)．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關(guān)系：時間x（天）3569……硫化物的濃度y（mg/L）4.52.72.251.5……（1）在整改過程中，當(dāng)0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；（2）在整改過程中，當(dāng)x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；（3）該企業(yè)所排污水中