第15課實數(shù)的運(yùn)算目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用.3.會用計算器進(jìn)行簡單的實數(shù)運(yùn)算,并解決些簡單的實際問題知識精講知識精講知識點01實數(shù)的運(yùn)算實數(shù)的運(yùn)算順序是先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減．如果有括號，一般先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算大括號里面的，同級運(yùn)算應(yīng)從左到右依次進(jìn)行．能力拓展考點01實數(shù)的運(yùn)算能力拓展【典例1】（1）+﹣（﹣1）；（2）（﹣）2+﹣．【思路點撥】（1）直接利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解析】解：（1）+﹣（﹣1）＝2+﹣1﹣+1＝2；（2）（﹣）2+﹣＝3+6+2＝11．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】計算：（1）|﹣3|﹣++（﹣2）2．（2）（﹣1）2021+|1﹣|﹣+．【思路點撥】（1）先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答；（2）先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．【解析】解：（1）|﹣3|﹣++（﹣2）2＝3﹣4+（﹣2）+4＝﹣1+（﹣2）+4＝﹣3+4＝1；（2）（﹣1）2021+|1﹣|﹣+＝﹣1+﹣1﹣3+2＝﹣3．【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡各式是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在下列各式中正確的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、絕對值的性質(zhì)逐項分析即可解答．【解析】解：A.，原計算錯誤，不符合題意；B．，原計算錯誤，不符合題意；C．，原計算錯誤，不符合題意；D.，正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的知識，掌握算術(shù)平方根、立方根、絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．下列算式的計算結(jié)果不為0的是（）A． B． C． D．【思路點撥】運(yùn)用算術(shù)平方根和立方根的知識對各選項進(jìn)行逐一計算、求解．【解析】解：∵﹣2+＝﹣2+2＝0，∴選項A不符合題意；∵﹣2+＝﹣2﹣2＝﹣4，∴選項B符合題意；∵﹣2+（﹣）2＝﹣2+2＝0，∴選項C不符合題意；∵（）2﹣＝2﹣2＝0，∴選項D不符合題意，故選：B．【點睛】此題考查了實數(shù)的平方根和立方根方面的計算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識進(jìn)行計算．3．下列各數(shù)中，與的和為有理數(shù)的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)二次根式的加法法則以及有理數(shù)的定義判斷即可．【解析】解：，不是有理數(shù)，故選項A不符合題意；，是有理數(shù)，故選項B符合題意；，不是有理數(shù)，故選項C不符合題意；，不是有理數(shù)，故選項D不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的加法和有理數(shù)的概念，熟練掌握二次根式的加法法則是解題的關(guān)鍵．4．計算的結(jié)果為（）A． B． C． D．【思路點撥】先計算乘方和絕對值，再計算加減．【解析】解：＝1+2﹣＝3﹣，故選：C．【點睛】此題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解運(yùn)算順序，并能正確地進(jìn)行計算．5．計算：﹣＝﹣2；＝±0.11；|π﹣3.15|＝﹣π；＝3﹣．【思路點撥】分別根據(jù)數(shù)的開方法則、絕對值的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【解析】解：∵22＝2，∴﹣＝﹣2；∵（±0.11）2＝0.0121，∴±＝±0.11；∵π≈3.14＜3.15，∴|π﹣﹣π；∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴﹣3＜0，∴|﹣3|＝3﹣．故答案為：﹣2，±﹣π，3﹣．【點睛】本題考查的是實數(shù)的運(yùn)算，熟知數(shù)的開方法則及絕對值的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6．與無理數(shù)的和是有理數(shù)，這個數(shù)是﹣．【思路點撥】根據(jù)有理數(shù)的定義，把加一個數(shù)變成0即可求解．【解析】解：∵+﹣＝0，0是有理數(shù)，∴﹣符合題意，故答案為：﹣．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，其中解題時舉出實例說明問題就可以了，關(guān)鍵是如何把﹣變成0就可以了，難度適中．7．計算．（1）．（2）﹣12024+．【思路點撥】（1）先計算算術(shù)平方根并去括號，再計算加減；（2）先計算乘方、絕對值和立方根，再計算加減．【解析】解：（1）＝4﹣+3＝7﹣；（2）﹣12024+．＝﹣1+﹣1﹣（2﹣1）2＝﹣1+﹣1﹣12＝﹣1+﹣1﹣1＝﹣3．【點睛】此題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計算．8．計算（1）+﹣（2）．【思路點撥】（1）原式利用平方根及立方根的定義化簡，計算即可得到結(jié)果；（2）原式利用平方根及立方根的定義化簡，計算即可得到結(jié)果．【解析】解：（1）原式＝﹣3+3+1＝1；（2）原式＝﹣3﹣0﹣++＝﹣2．【點睛】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題組B能力提升練9．化簡的結(jié)果是（）A．5﹣ B．+1 C．2+2 D．2【思路點撥】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．【解析】解：＝2﹣+3＝5﹣，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．10．計算|﹣3|+的值為（）A．1﹣ B．5﹣ C．﹣1 D．﹣5【思路點撥】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．【解析】解：|﹣3|+＝3﹣+（﹣2）＝3﹣﹣2＝1﹣，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡各式是解題的關(guān)鍵．11．的值為（）A．5 B． C．1 D．【思路點撥】先去絕對值，然后合并即可．【解析】解：原式＝3﹣+﹣2＝1．故選：C．【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算：先進(jìn)行乘法運(yùn)算，再進(jìn)行乘除運(yùn)算，然后進(jìn)行加減運(yùn)算；有括號先算括號．也考查了無理數(shù)的估算．12．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．6+π【思路點撥】原式利用二次根式性質(zhì)，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可求出值．【解析】解：原式＝3﹣+π﹣3＝﹣+π，故選：B．【點睛】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．13．計算：+﹣|﹣4|＝．【思路點撥】直接利用立方根的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而計算得出答案．【解析】解：原式＝2+2﹣（4﹣）＝2+2﹣4+＝．故答案為：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．14．計算：＝﹣8．【思路點撥】原式第一項表示3平方的相反數(shù)，第二、三項利用負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)計算，即可得到結(jié)果．【解析】解：原式＝﹣9+﹣2+3﹣＝﹣8．故答案為：﹣8【點睛】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，涉及的知識有：乘方的意義，以及絕對值的代數(shù)意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．15．計算：（1）|2﹣|﹣|﹣3|+|﹣1|＝2（2）|2﹣|﹣|3﹣|+|﹣|＝﹣5﹣2．【思路點撥】（1）首先根據(jù)絕對值得性質(zhì)去絕對值符號，然后再合并同類二次根式即可；（2）首先根據(jù)絕對值得性質(zhì)去絕對值符號，然后再合并同類二次根式即可．【解析】解：（1）原式＝2﹣﹣（3﹣）+﹣1，＝2﹣﹣3++﹣1，＝2；（2）原式＝﹣2﹣（3﹣）+﹣，＝﹣2﹣3++﹣，＝﹣5﹣2，故答案為：2；﹣5﹣2．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì)，正數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．16.計算：＝0．【思路點撥】原式利用平方根、立方根定義，絕對值的代數(shù)意義計算即可求出值．【解析】解：原式＝﹣2﹣+3+﹣1＝0，故答案為：0【點睛】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17.無理數(shù)與無理數(shù)的和一定是無理數(shù)．錯誤（判斷正誤）【思路點撥】直接利用特殊值法進(jìn)而舉例判斷得出答案．【解析】解：無理數(shù)與無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，例如：+（﹣）＝0，故原說法錯誤．故答案為：錯誤．【點睛】此題主要考查了實數(shù)運(yùn)算，正確掌握無理數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18.計算：（1）；（2）．【思路點撥】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根，立方根，絕對值的意義逐項化簡，再算加減即可；（2）先化簡絕對值，再算加減即可．【解析】解：（1）＝＝；（2）＝＝＝﹣5．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根，立方根，絕對值的意義是解答本題的關(guān)鍵．19.計算：（1）+﹣（﹣4）+；（2）|π﹣3.14|++||（π精確到0.01）．【思路點撥】（1）首先計算開平方、開立方和小括號里面的減法，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．（2）首先計算絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解析】解：（1）+﹣（﹣4）+＝4+（﹣4）﹣（2﹣4）+6＝4+（﹣4）﹣（﹣2）+6＝0+2+6＝8．（2）|π﹣3.14|++||＝π﹣3.14++﹣≈﹣3.14++﹣＝．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．20.計算：（1）﹣++；（2）|7﹣|﹣||﹣；（3）+﹣++；（4）﹣42+﹣﹣|﹣2|．【思路點撥】（1）根據(jù)立方根，二次根式的性質(zhì)計算；（2）根據(jù)絕對值，二次根式的性質(zhì)計算；（3）根據(jù)算術(shù)平方根，立方根計算；（4）根據(jù)有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根，立方根的性質(zhì)，絕對值計算．【解析】解：（1）原式＝﹣（﹣2）+5+2＝2+5+2＝9；（2）原式＝7﹣+﹣π﹣7＝﹣π；（3）原式＝1+（﹣3）﹣++＝﹣2+＝﹣；（4）原式＝﹣16+4﹣（﹣3）+﹣2＝﹣16+4+3+﹣2＝﹣11+．【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，掌握＝|a|是解題的關(guān)鍵題組C培優(yōu)拔尖練21．下列說法：①兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；②兩個無理數(shù)的積一定是無理數(shù)；③一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；④一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的積一定是無理數(shù)．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】根據(jù)無理數(shù)的性質(zhì)可對每一個結(jié)論進(jìn)行分析，舉出反例，即可進(jìn)行判斷．【解析】解：①兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，如﹣π+π＝0，是有理數(shù)，此說法錯誤；②兩個無理數(shù)的積不一定是無理數(shù)，如（﹣）×＝﹣2，是有理數(shù)，此說法錯誤；③一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)，此說法正確；④一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的積不一定是無理數(shù)，如0×π＝0，是有理數(shù)，此說法錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，涉及到了兩個無理數(shù)的和、差、積、商的運(yùn)算．22．計算：（1）；（2）|﹣|﹣+|2﹣|+（﹣）2+．【思路點撥】（1）首先計算開平方和開立方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．（2）首先計算乘方、開平方、開立方和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解析】解（1）﹣+5×＝﹣+＝﹣．（2）|﹣|﹣+|2﹣|+（﹣）2+＝﹣（﹣2）+（2﹣）+9+9＝+2+2﹣+9+9＝﹣+22．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減