專題07等腰三角形與等邊三角形壓軸題五種模型全攻略考點一等腰三角形的定義考點二根據(jù)等邊對等角求角度考點三根據(jù)等腰三角形中三線合一求解考點四等腰三角形的性質與判定考點五等邊三角形的性質與判定典型例題典型例題考點一等腰三角形的定義例題：（2022·四川資陽·八年級期末）等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【答案】D【解析】【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【詳解】解：分兩種情況：當腰為2時，2+2＞3，所以能構成三角形，周長是2+2+3=7；當腰為3時，3+2＞3，所以能構成三角形，周長是：2+3+3=8．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·湖北鄂州·八年級期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：當∠A＝70°為頂角時，則兩底角為：；當∠A＝70°為底角時，另一個底角為70°，頂角為180°-70°-70°=40°∴∠C的度數(shù)不可能是65°．故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的分類討論及三角形內角和定理，在不明確所給的角是等腰三角形的什么角時，需分類討論是解題關鍵．2．（2021·江蘇淮安·八年級期中）已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對【答案】C【解析】【分析】分兩種情況討論：若腰長為4；若底邊長為4，即可求解．【詳解】解：若腰長為4，則底邊長為10-4-4=2，此時另兩邊長分別為4，2；可以構成三角形，滿足題意；若底邊長為4，則腰長為，此時另兩邊長分別為3，3；可以構成三角形，滿足題意；綜上所述，另兩邊長分別為4，2或3，3．故選：C【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵．考點二根據(jù)等邊對等角求角度例題：（2022·湖南株洲·八年級期末）如圖，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，則的大小為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)邊相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．【詳解】解：設∠B=x∵AC=DC=DB∴∠CAD=∠CDA=2x∴∠ACB=180°-2x-x=105°解得x=25°．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和外角之間的關系以及等腰三角形的性質，（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和；（2）三角形的內角和是180°，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件．【變式訓練】1．（2022·云南文山·八年級期末）如圖，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，則CE的長為（

）A． B．4 C．6 D．5【答案】D【解析】【分析】先由直角三角形兩銳角互余求出∠BAC=60°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質得AE=BE=10，從而求得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC=60°，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE=10，∴∠BAE=∠B=30°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，∴CE=AE=5，故選：D．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握含30度的直角三角形的性質是解題的關鍵．2．（2022·四川眉山·八年級期末）如圖，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是線段AB的垂直平分線，交AB于點E，交BC于點D，則∠DAC的度數(shù)為________．【答案】18°【解析】【分析】由線段垂直平分線的性質可求解∠BAD=36°，根據(jù)直角三角形的性質可求得∠BAC的度數(shù)，進而可求解∠DAC的度數(shù)．【詳解】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∵∠C=90°，∴∠BAC=90°-36°=54°，∴∠DAC=54°-36°=18°．故答案為：18°．【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，求解∠BAD，∠BAC的度數(shù)是解題的關鍵．考點三根據(jù)等腰三角形中三線合一求解例題：（2022·河南駐馬店·八年級期末）如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為_____．【答案】【解析】【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質，過點A作于點E，可證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點A作于點E，∵AB=AC，∴E是BC的中點，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇南通·八年級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點F，則DF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的內角和定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，且AD平分，從而可得，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質可得，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，，是的中線，，且AD平分，，，是的角平分線，，，，，，故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、角平分線的定義、平行線的性質、含的直角三角形性質等知識點，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關鍵．2．（2022·浙江臺州·八年級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．【答案】【解析】【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分線交BC于點D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案為：．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．考點四等腰三角形的性質與判定例題：（2022·浙江舟山·八年級期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，則∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根據(jù)ASA可證明△ABD≌△ECB，可得結論；（2）由（1）知BD＝BC，根據(jù)等邊對等角可求得∠BDC的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質求得∠DCE的度數(shù)．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；(2)解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【點睛】此題主要考查了三角形全等的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形外角的性質，證明△ABD≌△ECB是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·廣西玉林·八年級期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ACB的度數(shù)為22.5°【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEC，即可證明結論；（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根據(jù)AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，從而得出答案．(1)證明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；(2)解：由（1）知，AC＝CD，∵∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ACB的度數(shù)為22.5°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，證明△ABC≌△DEC是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當∠BAD＝20°時，∠EDC＝°；(2)當∠BAD＝____°時，△ABD≌△DCE？請說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)20(2)15，理由見解析(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由見解析【解析】【分析】（1）先利用平角的意義求出∠CDE，再用三角形外角的性質求出∠AED，最后用三角形的內角和定理求出∠DAE；（2）利用三角形內角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性質及等量代換確定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，結合圖形利用全等三角形的判定即可證明；（3）先求出∠BAC＝80°，再分三種情況，利用等腰三角形的性質求出∠DAE，即可得出結論．(1)∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，∴∠ADC＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，故答案為：20；(2)解：∠BAD＝15°時，△ABD

≌△DCE，理由如下：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAE＝65°，又∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝∠DAE＝65°，∴AD＝DE，在△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝130°，∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠CAD＝DE，∴△ABD≌△DCE；(3)能，當∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，①當DA＝DE時，∵∠ADE＝50°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，②當EA＝ED時，∴∠DAC＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，③當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此時，點D與點B重合，不符合題意，綜上所述，當∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，平角的意義，三角形外角的性質，等腰三角形的性質與判定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．2．（2022·山東棗莊·八年級期末）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M、N兩點，與相交于點F．(1)若的周長為18cm，求的長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)AB=18cm；(2)∠MCN=40°．【解析】【分析】（1）垂直平分線上的點到兩端距離相等，則AM=CM，BN=CN，△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB（2）根據(jù)三角形的內角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，對頂角相等則∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和求出即可．(1)∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長為18cm，∴AB=18cm；(2)∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【點睛】本題主要考查了三角形的垂直平分線，通過“垂直平分線上的點到兩端距離相等”得到線段和角度之間的關系是解題的關鍵．考點五等邊三角形的性質與判定例題：（2022·江蘇·八年級）如圖，是上一點，點，分別在兩側，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由平行線的性質，結合條件可證明，即可得出；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得出答案．(1)證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等邊三角形，∵，∴．∴的長為．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定與性質、平行線的性質．掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·湖南·長沙市中雅培粹學校八年級階段練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D點為BC的中點，AB=4，則BD=__．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．【詳解】解：∵∠BAC=∠B=60°，∴∠C=∠BAC=∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=4，∵D點為BC的中點，∴BD=2，故答案為：2．【點睛】此題考查了等邊三角形的判定及性質定理，熟記三個角相等的三角形是等邊三角形是解題的關鍵．2．（2022·安徽池州·八年級期末）如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．(1)求證：△OCD是等邊三角形；(2)當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)△AOD是直角三角形，理由見解析(3)當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；（2）根據(jù)全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，結合（1）中的結論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．(1)證明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC，∵∠OCD=60°，∴△OCD是等邊三角形．(2)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，α=150°，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形．(3)∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．①當∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，∴α=125°．②當∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，∴α=140°．③當∠ADO=∠OAD時，α-60°=50°，∴α=110°．綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．【點睛】題目綜合考查了全等三角形的性質及等腰三角形的判定；注意應分類探討三角形為等腰三角形的各種情況是解題關鍵．課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·河北·平鄉(xiāng)縣第二中學八年級階段練習）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，若，則∠CAD的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可得答案．【詳解】解：∵

AB＝AC，AD⊥BC，，∴．故選B．【點睛】本題考查等腰三角形，解題的關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質．2．（2021·河北·香河縣第四中學八年級期中）如圖所示，△ABC是等邊三角形，且AB=BD，則∠ADC等于(

)A．120° B．135° C．145° D．150°【答案】D【分析】由等邊三角形的性質就可以得出AB=AC=BC，∠ABC=60°，由BD=AB就可以得出BC=BD，就有∠4=∠BAD，∠3=∠BCD，由四邊形的內角和就可以得出2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°，就可以求出∠ADC的值而得出結論．【詳解】解：∠ADC的大小不發(fā)生變化．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=60°．∵BD=AB，∴∠4=∠BAD，BD=BC，∴∠3=∠BCD．∵∠4+∠BAD+∠3+∠BCD+∠1+∠2=360°，∠1+∠2=60°，∴2∠3+2∠4+60°=360°，∴∠3+∠4=150°，即∠ADC=150°．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，四邊形的內角和定理，解答時靈活運用等邊三角形的性質求解是關鍵．3．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中七年級階段練習）等腰三角形的兩邊a、b滿足，則這個三角形的周長為（）A．13 B．15 C．17 D．13或17【答案】C【分析】先將58改成9+49，運用完全平方公式將原等式化為平方和為0的形式，繼而求出a，b的值，最后根據(jù)等腰三角形的性質即可得出結論．【詳解】解：∵∴，∴，∴a=3，b=7.分兩種情況討論：當腰為3時，3+3<7，不能構成三角形，當腰為7時，3+7>7，能構成三角形，等腰三角形的周長為7+7+3=17．綜上所述：該等腰三角形的周長為17．故選C．【點睛】本題考查了完全平方公式及等腰三角形的性質．解題的關鍵是將58改成9+49，運用完全平方公式將原等式化為平方和為0的形式．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉80°得△DBE，點D，E分別為點A，C的對應頂點，連接AD，若ADBC，則∠DBE為（

）A．80° B．50° C．55° D．100°【答案】B【分析】由旋轉的性質和等腰三角形的性質可得∠BAD＝50°，由平行線的性質可求∠DAB＝∠ABC＝50°＝∠DBE．【詳解】解：∵將△ABC繞點B逆時針旋轉80°得△DBE，∴AB＝BD，∠ABD＝80°，∠DBE＝∠ABC，∴∠BAD＝50°，∵ADBC，∴∠ABC＝∠BAD＝50°，∴∠DBE＝∠ABC＝50°，故選：B．【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．5．（2022·上海理工大學附屬中學七年級期末）如圖，在直角三角形中，，，點、在上，如果，，那么圖中的等腰三角形共有個．（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】先求出各個角的度數(shù)以及邊的等量關系，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，即，∴，，∴，，，都是等腰三角形，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，解題的關鍵是求出各個角的度數(shù)，本題屬于基礎題型．二、填空題6．（2022·陜西·西安愛知初級中學八年級階段練習）若等腰三角形有一個內角為40°，則它的頂角度數(shù)為________．【答案】100°或40°【分析】根據(jù)題意可分當頂角為40°時和底角為40°時進行分類求解即可．【詳解】解：①當頂角為40°時，則底角的度數(shù)為：；②當?shù)捉堑亩葦?shù)為40°時，頂角的度數(shù)為；綜上所述：它的頂角的度數(shù)為40°或100°；故答案為：40°或100°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的性質．7．（2022·浙江麗水·八年級期中）已知等腰三角形的周長20cm，一邊長為8cm，則它的腰長是__________．【答案】8cm或6cm##6cm或8cm【分析】當腰長=8cm時，底邊=20-8-8=4cm，當?shù)走?8cm時，腰長==6cm，根據(jù)三角形的三邊關系，即可推出腰長．【詳解】解：∵等腰三角形的周長為20cm，∴當腰長=8cm時，底邊=20-8-8=4cm，∴當?shù)走?8cm時，腰長==6cm，∴腰長為8cm或6cm．故答案為：8cm或6cm．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，關鍵在于分析討論6cm為腰長還是底邊長．8．（2022·吉林長春·八年級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D為BC的中點，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝________度．【答案】12【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再根據(jù)等腰三角形的性質可得，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】解：，點為的中點，，，，，，故答案為：12．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關鍵．9．（2021·遼寧·盤錦市第一完全中學八年級期中）如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N經過點O，且MNBC，若AB=5，△AMN的周長等于12，則AC的長為______．【答案】7【分析】根據(jù)BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MNBC，可得出MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周長是AB+AC，于是得到答案．【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MNBC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周長等于12，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故答案為：7．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質以及平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．10．（2021·福建省泉州實驗中學八年級期中）如示意圖，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于點E，過點B作∠ABC的角平分線BF交AE于G，點D是射線BF上的一個動點，且點D在△ABC外部，連接AD．∠C＝2∠ADB，當△ADG為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為____________【答案】90°或108°【分析】設∠ADB＝x，則∠C＝2x，從而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三種情況：①當AD＝DG時，∠DAG＝∠DGA；②當AD＝AG時，∠ADG＝∠AGD；③當AG＝DG時，∠GAD＝∠ADG＝x，分別求解即可．【詳解】解：設∠ADB＝x，則∠C＝2x，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＝x，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，△ADG為等腰三角形時，存在三種情況：①當AD＝DG時，∠DAG＝∠DGA，即x+45°+x+45°+x＝180°，x＝45°，∴∠C＝90°，②當AD＝AG時，∠ADG＝∠AGD，x＝45+x，x＝90°，∴∠C＝180°（不符合題意，舍去），③當AG＝DG時，∠GAD＝∠ADG＝x，2x+45+x＝180，x＝54°，∴∠C＝108°，綜上，∠C的度數(shù)為90°或108°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，角平分線與三角形內角和定理，三角形外角的性質，分類討論思想的應用是解題的關鍵．三、解答題11．（2021·河北·香河縣第四中學八年級期中）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點，AB=AD=DC，∠B=60°，求∠C，∠BAC的度數(shù)．【答案】∠C=30°，∠BAC=90°．【分析】先根據(jù)AB=AD，∠B=60°求出△ABD是等邊三角形，求得∠ADB=60°，再由等腰三角形的性質以及三角形的外角性質求出∠C的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內角和定理即可得出∠BAC的度數(shù)．【詳解】解：∵AB=AD，∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∵AD=CD，∴∠C=∠DAC=∠ADB=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=90°．【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，三角形的內角和定理，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵．12．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點D在BC上，且AD＝BD．(1)求證：∠ADB＝∠BAC；(2)求∠B的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)36°【分析】（1）利用AB＝AC，AD＝BD，得出角相等，再利用三角形外角和定理即可解得．（2）利用AC＝CD，可得∠2和∠ADC的關系，利用三角形外角和，可求得∠DDC＝∠B+∠1，在△ABC中利用內角和定理可求得∠B．（1）證明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是三角形內角和定理的應用．13．（2022·江西贛州·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，在AB上取AE＝AC，連接CE，作AD⊥CE于點D，交BC于點F．設∠B=α．(1)用含α的代數(shù)式表示∠AEC為________，當∠BCE＝30°時，α＝_______°；(2)判斷BC與AD的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)90°﹣α，30；(2)BC＝2AD，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊對等角及三角形內角和解答即可；（2）過C作CG∥AB交AD的延長線于點G，由平行線的性質得∠BCG＝∠B＝α，∠BAF＝∠CAF＝∠G＝α，再由等角對等邊得CA＝CG，F(xiàn)A＝FB，F(xiàn)C＝FG，再由三線合一及線段的和差進一步證得BC＝2AD．（1）解：∵∠BAC＝2∠B，∠B=α∴∠BAC=2α，∵AE＝AC，∴∠AEC=∠ACE=(180°﹣2α)=90°﹣α，又∵∠BAC=2α,∠B=α，∴∠ACB=180°-3α，∴∠BCE=(180°-3α)-(90°﹣α)=90°﹣2α，當∠BCE＝30°時，∴α＝30°，故答案為：90°﹣α，30（2）如圖，過C作CG∥AB交AD的延長線于點G．則：∠BCG＝∠B＝α，∠BAF＝∠CAF＝∠G＝α，又∵∠BAF＝∠B，∴∠BCG＝∠G，∴CA＝CG，F(xiàn)A＝FB，F(xiàn)C＝FG，∴AG＝AF+FG＝BF+CF＝BC，在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，∴AD＝DG，即AG＝2AD，∴BC＝2AD．【點睛】本題考查等邊對等角，三線合一，平行線的性質，三角形內角和定理等知識點，解題關鍵是熟練掌握等腰三角形的性質并理清題中邊角之間的相互關系．14．（2022·山東泰安·七年級期末）△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點P在BC邊上運動（P不與B、C重合），連接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于點Q．(1)如圖，當時，判斷△APB的形狀并說明理由；(2)在點P的運動過程中，當△APQ的形狀是等腰三角形時．請求出∠BQP的度數(shù)．【答案】(1)△APB是直角三角形，理由見解析(2)或【分析】(1)由等腰三角形的性質可求∠C=30°=∠B=∠APQ，由平行線的性質可求∠BPQ=∠C=30°，即可求解；(2)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質可求解．（1）解：△APB是直角三角形，理由如下：AB＝AC，∠B＝30°，，，，，，是直角三角形；（2）解：當AQ=QP時，，；當AP=PQ時，，；當AQ=AP時，，點P不與點B、C重合，此種情況不存在，綜上所述：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的判定，平行線的性質，三角形內角和定理及外角的性質，掌握等腰三角形的性質，分類討論是本題的關鍵．15．（2021·浙江溫州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延長BA至點E，并使得AE＝AF（AE<AB）．連結EF．(1)求證：EF⊥BC．(2)將△AEF沿AC折疊．并記點E沿AC折疊時的落點為點D．①當點D落在△ABC內部時，AE的取值范圍是多少？②P，Q分別是邊AC，BC上的動點，連結DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．【答案】(1)見解析(2)①；②2.5【分析】（1）由等腰三角形的性質和對頂角相等，以及三角形的內角和，即可得到EH⊥BC；（2）因為△AEF為等邊三角形，所以當E、P、Q共線時DP+DQ的值最小，由此可計算DP+DQ的最小值．（1）延長EF交BC于點H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠EAC＝60°，∠B＝∠C＝30°∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE＝60°，∴∠EHB＝90°∴EF⊥BC．（