課時(shí)提升作業(yè)九冪函數(shù)與二次函數(shù)(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2016·岳陽(yáng)模擬)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)QUOTE,則log2f(2)的值為()A.QUOTEB.-QUOTEC.2D.-2【解析】選A.設(shè)f(x)=xα,則QUOTE=QUOTE,所以α=QUOTE,f(2)=QUOTE,log2f(2)=log2QUOTE=QUOTE.2.已知函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2.則m的取值范圍是()A.[1,+∞) B.[0,2]C.[1,2] D.(-∞,2]【解析】選C.y=(x-1)2+2,由x2-2x+3=3得x=0或x=2,所以1≤m≤2.3.(2016·鄭州模擬)設(shè)abc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是()【解析】選D.A項(xiàng),因?yàn)閍<0,-QUOTE<0,所以b<0.又因?yàn)閍bc>0,所以c>0,由圖知f(0)=c<0,故A錯(cuò);B項(xiàng),因?yàn)閍<0,-QUOTE>0,所以b>0,又因?yàn)閍bc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B錯(cuò);C項(xiàng),因?yàn)閍>0,-QUOTE<0,所以b>0,又因?yàn)閍bc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C錯(cuò);D項(xiàng),因?yàn)閍>0,-QUOTE>0,所以b<0,又因?yàn)閍bc>0,所以c<0,由圖知f(0)=c<0.【加固訓(xùn)練】設(shè)b>0,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖象為下列之一,則a的值為()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.-1【解析】選D.因?yàn)閎>0,故對(duì)稱軸不可能為y軸,由給出的圖可知對(duì)稱軸在y軸右側(cè),故a<0,所以二次函數(shù)的圖象為第三個(gè)圖,圖象過(guò)原點(diǎn),故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1.4.若a<0,則下列不等式成立的是()A.2a>QUOTE>0.2aB.0.2a>QUOTE>2aC.QUOTE>0.2a>2aD.2a>0.2a>QUOTE【解題提示】構(gòu)造函數(shù)y=xa,再比較QUOTE與0.2a的大小,進(jìn)而比較2a與QUOTE,0.2a的大小.【解析】選B.因?yàn)閍<0,所以y=xa在(0,+∞)上是減函數(shù),所以0.2a>QUOTE>2a.【方法技巧】?jī)绲拇笮”容^的常用方法分類考查對(duì)象方法底數(shù)相同,指數(shù)不同QUOTE與QUOTE利用指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性指數(shù)相同,底數(shù)不同QUOTE與QUOTE利用冪函數(shù)y=xα的單調(diào)性底數(shù)、指數(shù)都不同QUOTE與QUOTE尋找中間變量0,1或QUOTE或QUOTE【加固訓(xùn)練】若a>b,則下列不等式成立的是()A.lna>lnb B.0.3a>0.3bC.QUOTE>QUOTE D.QUOTE>QUOTE【解析】選D.取a=2,b=-1,可知lnb,QUOTE無(wú)意義,故A,C錯(cuò);y=0.3x是減函數(shù),又a>b,則0.3a<0.3b,故B錯(cuò);y=QUOTE在(-∞,+∞)是增函數(shù),又a>b,則QUOTE>QUOTE,即QUOTE>QUOTE成立.5.(2016·蚌埠模擬)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)等于()A.-QUOTE B.-QUOTE C.c D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閒(x1)=f(x2)且f(x)的圖象關(guān)于x=-QUOTE對(duì)稱,x1+x2=-QUOTE.所以f(x1+x2)=fQUOTE=a·QUOTE-b·QUOTE+c=c.6.(2016·孝感模擬)函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm是冪函數(shù),且在x∈(0,+∞)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值是()A.-1 B.2 C.3 D.-1或2【解析】選B.f(x)=(m2-m-1)xm是冪函數(shù),則m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以m=2.7.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=x2-x,則當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)的最小值為()A.-QUOTE B.-QUOTE C.0 D.QUOTE【解析】選A.設(shè)x∈[-1,0),則x+1∈[0,1),則f(x+1)=(x+1)2-(x+1),因?yàn)閒(x+1)=2f(x),所以f(x)=QUOTE(x2+x).所以當(dāng)x=-QUOTE時(shí),取到最小值為-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2016·臨川模擬)若(a+1QUOTE<(3-2aQUOTE,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】不等式(a+1QUOTE<(3-2aQUOTE等價(jià)于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或QUOTE<a<QUOTE.故a的取值范圍是(-∞,-1)∪QUOTE答案:(-∞,-1)∪QUOTE9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【解題提示】分a>0,a=0,a<0三種情況求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min>0求解.【解析】當(dāng)a>0時(shí),f(x)=aQUOTE+2-QUOTE,由f(x)>0,x∈(1,4)得:QUOTE或QUOTE或QUOTE所以QUOTE或QUOTE或QUOTE所以a≥1或QUOTE<a<1或?,即a>QUOTE,當(dāng)a<0時(shí),QUOTE解得a∈?;當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,所以不合題意.綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>QUOTE.答案:QUOTE【一題多解】解答本題,你還有幾種方法?解答本題還可以采用以下解法:【解析】由f(x)>0,即ax2-2x+2>0,x∈(1,4),得a>-QUOTE+QUOTE在(1,4)上恒成立.令g(x)=-QUOTE+QUOTE=-2QUOTE+QUOTE,QUOTE∈QUOTE,所以g(x)max=g(2)=QUOTE,所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立,只要a>QUOTE即可.答案:QUOTE【加固訓(xùn)練】對(duì)于任意a∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范圍是.【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由題意知QUOTE即QUOTE解得x>3或x<1.答案:(-∞,1)∪(3,+∞)10.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù)c的值為.【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)=x2+ax+b≥0,得到a2-4b=0,又因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)<c,可化為:x2+ax+b-c<0,它的解集為(m,m+6),設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b-c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,則|x2-x1|=m+6-m=6,從而,(x2-x1)2=36,即(x1+x2)2-4x1x2=36,又因?yàn)閤1x2=b-c,x1+x2=-a,a2-4(b-c)=a2-4b+4c=36,代入a2-4b=0得到c=9.答案:9(20分鐘40分)1.(5分)(2016·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為()A.[2-QUOTE,2+QUOTE] B.(2-QUOTE,2+QUOTE)C.[1,3] D.(1,3)【解析】選B.因?yàn)閒(a)=g(b),所以ea-1=-b2+4b-3,即-b2+4b-2=ea>0,即b2-4b+2<0,求得2-QUOTE<b<2+QUOTE.2.(5分)若函數(shù)f(x)=x2-2x+1在區(qū)間[a,a+2]上的最小值為4,則a的取值集合為()A.[-3,3] B.[-1,3]C.{-3,3} D.{-1,-3,3}【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,對(duì)稱軸x=1,因?yàn)樵趨^(qū)間[a,a+2]上的最小值為4,所以當(dāng)1≤a時(shí),ymin=f(a)=(a-1)2=4,a=-1(舍去)或a=3,當(dāng)a+2≤1時(shí),即a≤-1,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,a=1(舍去)或a=-3,當(dāng)a<1<a+2時(shí),即-1<a<1時(shí),ymin=f(1)=0≠4,故a的取值集合為{-3,3}.3.(5分)(2016·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5),則m=.【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以-2m2+m+3應(yīng)為偶數(shù).又f(3)<f(5),即QUOTE<QUOTE,整理得QUOTE<1,所以-2m2+m+3>0,解得-1<m<QUOTE.又m∈Z,所以m=0或1.當(dāng)m=0時(shí),-2m2+m+3=3為奇數(shù)(舍去);當(dāng)m=1時(shí),-2m2+m+3=2為偶數(shù).故m的值為1.答案:14.(12分)已知冪函數(shù)f(x)=QUOTE(m∈N*).(1)試確定該函數(shù)的定義域,并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性.(2)若該函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,QUOTE),試確定m的值,并求滿足條件f(2-a)>f(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閙2+m=m(m+1)(m∈N*),而m與m+1中必有一個(gè)為偶數(shù),所以m2+m為偶數(shù),所以函數(shù)f(x)=QUOTE(m∈N*)的定義域?yàn)閇0,+∞),并且該函數(shù)在[0,+∞)上為增函數(shù).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,QUOTE),所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以m2+m=2,解得m=1或m=-2.又因?yàn)閙∈N*,所以m=1,f(x)=QUOTE.又因?yàn)閒(2-a)>f(a-1),所以QUOTE解得1≤a<QUOTE,故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,QUOTE)時(shí),m=1.滿足條件f(2-a)>f(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為1≤a<QUOTE.5.(13分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象:(1)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間.(2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式.(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函數(shù)g(x)的最小值.【解析】(1)f(x)在區(qū)間(-1,0),(1,+∞)上單