離散型隨機變量的均值與方差(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·馬鞍山模擬)設X為隨機變量,X～BQUOTE,若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=2,則P(X=2)等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為X～BQUOTE,E(X)=QUOTE=2,所以n=6,所以P(X=2)=QUOTE=QUOTE.2.(2016·中山模擬)已知離散型隨機變量X的分布列為X-101Px則X的數(shù)學期望E(X)=()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依題意得:QUOTE+x+QUOTE=1,所以x=QUOTE.E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE.【加固訓練】(2016·秦皇島模擬)簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽,從中任意取3支,設X為這3支簽的號碼之中最大的一個,則X的數(shù)學期望為()A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6【解析】選B.由題意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,P(X=4)=QUOTE=QUOTE,P(X=5)=QUOTE=QUOTE,P(X=6)=QUOTE=QUOTE.由數(shù)學期望的定義可求得E(X)=5.25.3.(2016·保定模擬)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動,教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學,這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學.若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4,同學乙猜對成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對得1分,猜不對得0分,則這兩個同學各猜1次,得分之和X(單位:分)的數(shù)學期望為()A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1【解題提示】先求X的分布列,再代入E(X)的公式計算.【解析】選A.由題意得X=0,1,2,則P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9(分).4.體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是:每位學生最多可發(fā)球3次,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學期望E(X)>1.75,則p的取值范圍是()A.(0,QUOTE) B.(QUOTE,1)C.(0,QUOTE) D.QUOTE【解析】選C.由已知條件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>QUOTE或p<QUOTE,又由p∈(0,1),可得p∈(0,QUOTE).5.(2016·瀘州模擬)利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策,應選擇的方案是()A.A1 B.A2 C.A3 D.A4【解題提示】先求出四種方案A1,A2,A3,A4盈利的均值,再結合均值大小作出判斷.【解析】選C.方案A1,A2,A3,A4盈利的均值分別是:A1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;A2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;A3:-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;A4:98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.所以A3盈利的均值最大,所以應選擇A3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.有一批產品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分數(shù),則D(Y)=.【解析】設X表示取到的次品數(shù),則Y=2X.由題意知取到次品的概率為QUOTE,所以X～BQUOTE,D(X)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故D(Y)=D(2X)=4D(X)=4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2016·武漢模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)=8.9,則y的值為.【解析】依題意得即QUOTE解得QUOTE答案:0.4【加固訓練】已知隨機變量ξ的分布列為ξ123P0.5xy若E(ξ)=QUOTE,則D(ξ)=.【解析】由分布列性質,得x+y=0.5.又E(ξ)=QUOTE,得2x+3y=QUOTE,可得x=QUOTE,y=QUOTE.D(ξ)=QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·張家界模擬)已知隨機變量ξ所有的取值為1,2,3,對應的概率依次為p1,p2,p1,若隨機變量ξ的方差D(ξ)=QUOTE,則p1+p2的值是.【解題提示】由分布列的性質可得2p1+p2=1,由數(shù)學期望的計算公式可得E(ξ)的值,由方差的計算公式可得D(ξ),進而即可解得p1,p2.【解析】由分布列的性質可得2p1+p2=1,(*)由數(shù)學期望的計算公式可得E(ξ)=1×p1+2×p2+3×p1=2(2p1+p2)=2.由方差的計算公式可得D(ξ)=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=QUOTE,解得p1=QUOTE,把p1=QUOTE代入(*)得2×QUOTE+p2=1.解得p2=QUOTE,所以p1+p2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2016·廣州模擬)甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個,其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2,3,4,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3,某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.(1)若左右手各取一球,求兩只手中所取的球顏色不同的概率.(2)若左右手依次各取兩球,稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法,記兩次取球的成功取法次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望.【解析】(1)設事件A為“兩手所取的球不同色”,則P(A)=1-QUOTE=QUOTE.(2)依題意,X的可能取值為0,1,2.左手所取的兩球顏色相同的概率為QUOTE=QUOTE,右手所取的兩球顏色相同的概率為QUOTE=QUOTE,P(X=0)=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為:X012PE(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.10.(2016·合肥模擬)某投資公司在2015年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇:項目一:新能源汽車.據(jù)市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為QUOTE和QUOTE;項目二:通信設備.據(jù)市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為QUOTE,QUOTE和QUOTE.針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.【解析】若按“項目一”投資,設獲利為X1萬元,則X1的分布列為X1300-150P所以E(X1)=300×QUOTE+(-150)×QUOTE=200(萬元),D(X1)=(300-200)2×QUOTE+(-150-200)2×QUOTE=35000.若按“項目二”投資,設獲利為X2萬元,則X2的分布列為X2500-3000P所以E(X2)=500×QUOTE+(-300)×QUOTE+0×QUOTE=200(萬元),D(X2)=(500-200)2×QUOTE+(-300-200)2×QUOTE+(0-200)2×QUOTE=140000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),這說明雖然項目一、項目二獲利相等,但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述,建議投資公司選擇項目一投資.(20分鐘40分)1.(5分)甲、乙兩人進行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負者得0分,比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為QUOTE,乙在每局中獲勝的概率為QUOTE,且各局勝負相互獨立,則比賽停止時已打局數(shù)ξ的期望E(ξ)為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依題意知,ξ的所有可能值為2,4,6.設每兩局比賽為一輪,則該輪結束時比賽停止的概率為QUOTE+QUOTE=QUOTE,若該輪結束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響,從而有P(ξ=2)=QUOTE,P(ξ=4)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=6)=QUOTE=QUOTE.E(ξ)=2×QUOTE+4×QUOTE+6×QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2016·安陽模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c,a,b,c∈(0,1),已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1(不計其他得分情況),則ab的最大值為.【解析】由已知3a+2b+0×c=1,所以3a+2b=1,所以ab=QUOTE·3a·2b≤QUOTE·QUOTE=QUOTE,當且僅當a=QUOTE,b=QUOTE時取“=”.答案:QUOTE3.(5分)(2016·大同模擬)隨機變量ξ的分布列為ξ-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,若E(ξ)=QUOTE,則D(ξ)=.【解析】由a,b,c成等差數(shù)列及分布列性質得,解得b=QUOTE,a=QUOTE,c=QUOTE.所以D(ξ)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加固訓練】若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=QUOTE,P(X=x2)=QUOTE,且x1<x2,又已知E(X)=QUOTE,D(X)=QUOTE,則x1+x2的值為()A.QUOTE B.QUOTEC.3 D.QUOTE【解析】選C.分析已知條件,利用離散型隨機變量的均值和方差的計算公式得:解得QUOTE或QUOTE又因為x1<x2,所以x1+x2=3.4.(12分)(2016·鄭州模擬)現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視的一檔應聘節(jié)目,若甲應聘成功的概率為QUOTE,乙、丙應聘成功的概率均為QUOTE(0<t<2),且三人是否應聘成功是相互獨立的.(1)若乙、丙有且只有一人應聘成功的概率等于甲應聘成功的概率,求t的值.(2)若t=QUOTE,求三人中恰有兩人應聘成功的概率.(3)記應聘成功的人數(shù)為ξ,若當且僅當ξ=2時對應的概率最大,求E(ξ)的取值范圍.【解析】(1)由題意可得:2×QUOTE=QUOTE,解得t=1.(2)由條件知三人恰有兩人應聘成功的概率P=QUOTE·QUOTE+QUOTE+QUOTE·QUOTE=QUOTE.因為t=QUOTE,則P=QUOTE,所以三人中恰有兩人應聘成功的概率為QUOTE.(3)由題意知:ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE;P(ξ=1)=QUOTE+QUOTE(1-QUOTE)+QUOTE=QUOTE;P(ξ=2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE;P(ξ=3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以得ξ的分布列為ξ0123P則E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=t+QUOTE,由題意P(ξ=2)-P(ξ=1)=QUOTE>0;P(ξ=2)-P(ξ=0)=QUOTE>0;P(ξ=2)-P(ξ=3)=QUOTE>0;所以1<t<2,所以QUOTE<E(ξ)<QUOTE.5.(13分)(2016·成都模擬)“十一黃金周”期間某市再次迎來了客流高峰,小李從該市的A地到B地有L1,L2兩條路線(如圖),L1路線上有A1,A2,A3三個路口,各路口遇到堵塞的概率均為QUOTE;L2路線上有B1,B2兩個路口,各路口遇到堵塞的概率依次為QUOTE,QUOTE.(1)若走L1路線,求最多遇到1次堵塞的概率.(2)按照“平均遇到堵塞次數(shù)最少”的要求,請你幫助小李從上述兩條路線中選擇一條最好的出行路線,并說明理由.【解析】(1)設走L1路線,最多遇到1次堵塞為A事件,則P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故走L1路線,最多遇到1次堵塞的概率為QUOTE.(2)設走L2路線,遇到堵塞的次數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,則E(X)=QUOTE×0+QUOTE×1+QUOTE×2=QUOTE,設走L1路線,遇到堵塞的次數(shù)為Y,則Y服從二項分布,Y～BQUOTE,則E(Y)=3×QUOTE=2,由于E(X)<E(Y),故L2路線是最好的出行路線.【加固訓練】(2016·永州模