./1.單調區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f<x>在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y＝f<x>在這一區(qū)間上具有<嚴格的>單調性,區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f<x>的單調區(qū)間．2.常見基本函數(shù)的單調性函數(shù)函數(shù)表達式單調區(qū)間特殊函數(shù)圖像一次函數(shù)當時,在R上是增函數(shù)；當時,在R上是減函數(shù)。二次函數(shù)當時,時單調減,時單調增；當時,時單調增,時單調減。反比例函數(shù)且當時,在時單調減,在時單調減；當時,在時單調增,在時單調增。指數(shù)函數(shù)當時,在R上是增函數(shù)；當,時在R上是減函數(shù)。對數(shù)函數(shù)當時,在上是增函數(shù)；當時,在上是減函數(shù)。典例分析題型一、復合函數(shù)單調性判斷及應用使用情景：簡單的復合函數(shù)類型解題模板：第一步先求函數(shù)的定義域；第二步分解復合函數(shù),分別判斷外層函數(shù)的單調性；第三步根據(jù)同增異減,確定原函數(shù)的增減區(qū)間.若兩個簡單函數(shù)的單調性相同,則它們的復合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調性相反,則它們的復合函數(shù)為減函數(shù)．即"同增異減"．[例1]求函數(shù)的單調區(qū)間；[變式練習1]已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù),且時,.〔1當時,求解析式；〔2寫出的單調遞增區(qū)間.[變式練習2]已知函數(shù)f<x>＝eq\r<x2－2x－3>,則該函數(shù)的單調遞增區(qū)間為<>A．<－∞,1] B．[3,＋∞>C．<－∞,－1] D．[1,＋∞>[小結]<1>單調區(qū)間是定義域的子集,故求單調區(qū)間時應樹立"定義域優(yōu)先"的原則．<2>單調區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示；如有多個單調區(qū)間應分開寫,不能用并集符號"∪"連接,也不能用"或"連接．<3>函數(shù)的單調性是函數(shù)在某個區(qū)間上的"整體"性質,所以不能僅僅根據(jù)某個區(qū)間的兩個特殊變量x1,x2對應的函數(shù)值的大小就判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調性,必須保證這兩個變量是區(qū)間的任意兩個自變量．題型二、分段函數(shù)單調性判斷及應用使用情景：分段函數(shù)的單調性問題解題模板：第一步通過觀察分析,決定如何對自變量進行分類；第二步根據(jù)常見函數(shù)的單調性,分別計算每段函數(shù)的單調性；第三步滿足函數(shù)在整個區(qū)間上是增函數(shù)〔或減函數(shù),即左段的函數(shù)的最大值〔或最小值小于等于右段函數(shù)的最小值〔或最大值；第四步得出結論.[例1]已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則常數(shù)的取值圍是〔A．B．C．D．[變式練習1]函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間〔,+1上單調遞增,則實數(shù)的取值圍是〔A.〔-,1B.[1,4]C.4,+D.<-,1∪[4,+[變式練習2]已知函數(shù)在是單調函數(shù),則實數(shù)的取值圍是．[例2]設函數(shù),則的值域是〔A．B．C．D．[例3]若是的最小值,則的取值圍為〔.<A>[-1,2]<B>[-1,0]<C>[1,2]<D>[變式練習3]已知函數(shù),則,的最小值是[小結]1、最值問題使用情景：分段函數(shù)的最值問題解題模板：第一步通過觀察分析,決定如何對自變量進行分類；第二步根據(jù)常見函數(shù)的最值,分別計算每段函數(shù)的最值；第三步滿足函數(shù)在整個區(qū)間上的最值,即比較每段函數(shù)的最值大小,誰最大誰是最大值,誰最小誰是最小值；第四步得出結論.2、單調性問題其一是分段函數(shù)在每一個區(qū)間上的增函數(shù)〔或減函數(shù)與整體函數(shù)相同；其二是滿足函數(shù)在整個區(qū)間上是增函數(shù)〔或減函數(shù),即左段的函數(shù)的最大值〔或最小值小于等于右段函數(shù)的最小值〔或最大值.題型三、抽象函數(shù)的單調性[例1]已知奇函數(shù)的定義域為,且在遞減,求滿足：的實數(shù)的取值圍．[例2]定義在上的偶函數(shù)滿足：,在區(qū)間與上分別遞增和遞減,則不等式的解集為．[變式練習1]設奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),且.當時,函數(shù),對一切恒成立,則實數(shù)的取值圍為〔A.B.或C.或D.或或[變式練習2]已知f<x>是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間〔-,0上單調遞增.若實數(shù)a足,則a的取值圍是______[小結]不等式中的數(shù)形結合問題,在解題時既要想形又要以形助數(shù),常見的"以形助數(shù)"的方法有：<1>借助數(shù)軸,運用數(shù)軸的有關概念,解決與絕對值有關的問題,解決數(shù)集的交、并、補運算非常有效．<2>借助函數(shù)圖象性質,利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結合的基本方法,需注意的問題是準確把握代數(shù)式的幾何意義實現(xiàn)"數(shù)"向"形"的轉化．題型四、函數(shù)單調性判斷方法〔性質的應用函數(shù)單調性的性質：<1>若f<x>,g<x>均為區(qū)間A上的增<減>函數(shù),則f<x>＋g<x>也是區(qū)間A上的增<減>函數(shù),更進一步,即增＋增＝增,增－減＝增,減＋減＝減,減－增＝減；<2>若k>0,則kf<x>與f<x>單調性相同；若k<0,則kf<x>與f<x>單調性相反；<3>在公共定義域,函數(shù)y＝f<x><f<x>≠0>與y＝－f<x>,y＝eq\f<1,fx>單調性相反；<4>在公共定義域,函數(shù)y＝f<x><f<x>≥0>與y＝eq\r<fx>單調性相同；<5>奇函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同,偶函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反．[常見判斷方法]方法一定義法使用情景：一般函數(shù)類型解題模板：第一步取值定大?。涸O任意,且；第二步作差：；第三步變形〔合并同類項、通分、分解因式、配方等；第四步定符號；第五步得出結論.[例1]判斷并證明：在上的單調性．[變式演練1]已知是定義在上的奇函數(shù),且當時,.〔1求的表達式；〔2判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調性.方法二導數(shù)法使用情景：較復雜的函數(shù)類型解題模板：第一步求函數(shù)的定義域；第二步求導；第三步在定義域圍解不等式或；第四步得出函數(shù)的增減區(qū)間.[例2]已知函數(shù),討論函數(shù)的單調性；[變式練習2]已知函數(shù)．求的單調遞減區(qū)間；[應用]應用<一>比較函數(shù)值或自變量的大小[例3]已知函數(shù)f<x>的圖象關于直線x＝1對稱,當x2>x1>1時,[f<x2>－f<x1>]<x2－x1><0恒成立,設a＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>,b＝f<2>,c＝f<e>,則a,b,c的大小關系為<>A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c應用<二>解函數(shù)不等式[例4]f<x>是定義在<0,＋∞>上的單調增函數(shù),滿足f<xy>＝f<x>＋f<y>,f<3>＝1,當f<x>＋f<x－8>≤2時,x的取值圍是<>A．<8,＋∞>B．<8,9]C．[8,9] D．<0,8>[方法技巧]用單調性求解與抽象函數(shù)有關不等式的策略<1>在求解與抽象函數(shù)有關的不等式時,往往是利用函數(shù)的單調性將"f"符號脫掉,使其轉化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數(shù)的定義域．<2>有時,在不等式一邊沒有符號"f"時,需轉化為含符號"f"的形式．如若已知f<a>＝0,f<x－b><0,則f<x－b><f<a>．應用<三>求參數(shù)的取值圍[例5]<1>如果函數(shù)f<x>＝ax2＋2x－3在區(qū)間<－∞,4>上是單調遞增的,則實數(shù)a的取值圍是<>A.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,4>,＋∞>>B.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,4>,＋∞>>C.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,4>,0>>D.eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<1,4>,0>><2>設函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－x2＋4x,x≤4,,log2x,x>4.>>若函數(shù)y＝f<x>在區(qū)間<a,a＋1>上單調遞增,則實數(shù)a的取值圍是<>A．<－∞,1] B．[1,4]C．[4,＋∞> D．<－∞,1]∪[4,＋∞>[易錯提醒]<1>若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調的．<2>對于分段函數(shù)的單調性,除注意各段的單調性外,還要注意銜接點的取值．[變式練習3]1．函數(shù)f<x>＝|x－2|x的單調減區(qū)間是<>A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2,＋∞>2．已知函數(shù)y＝f<x>是R上的偶函數(shù),當x1,x2∈<0,＋∞>,x1≠x2時,都有<x1－x2>·[f<x1>－f<x2>]<0.設a＝lneq\f<1,π>,b＝<lnπ>2,c＝lneq\r<π>,則<>A．f<a>>f<b>>f<c> B．f<b>>f<a>>f<c>C．f<c>>f<a>>f<b> D．f<c>>f<b>>f<a>3．定義在R上的奇函數(shù)y＝f<x>在<0,＋∞>上單調遞增,且feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝0,則滿足flogx>0的x的集合為________．隨堂檢測1．已知f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2－ax＋1,x<1,,ax,x≥1,>>滿足對任意x1≠x2,都有eq\f<fx1－fx2,x1－x2>>0成立,那么a的取值圍是________．2．討論函數(shù)f<x>＝x＋eq\f<a,x><a>0>的單調性．3、設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則實數(shù)的取值圍是〔A．B．C．D．課后作業(yè)1.已知函數(shù)f〔x=〔a>0,且a≠1在R上單調遞減,且關于x的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解,則a的取值圍是〔〔A〔0,]〔B[,]〔C[,]{}〔D[,{}2.已知f<x>是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間〔-,0上單調遞增.若實數(shù)a足,則a的取值圍是_____