專題3.11拋物線的標準方程和性質(zhì)-重難點題型精講1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.

(2)集合語言表示

設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標準方程拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：3．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)：4．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.5．與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【題型1動點的軌跡問題】【方法點撥】根據(jù)拋物線的定義，拋物線是平面內(nèi)與一個定點F，和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡，因此只要動點滿足拋物線的定義，就可以選擇利用定義法求出其軌跡方程.【例1】（2022·上海市高三開學(xué)考試）在平面上，到點A1,0的距離等于到直線x+2y=3的距離的動點P的軌跡是（

A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點M(2,2)，直線l:x?y?1=0，若動點P到l的距離等于PM，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，動點Px,y到直線x=1的距離比它到定點?2,0的距離小1，則P的軌跡方程為（

A．y2=2x C．y2=?4x 【變式1-3】（2021·山東省滕州市高二階段練習(xí)）若點P到點(0,2)的距離比它到直線y=?1的距離大1，則點P的軌跡方程為（

）A．y2=4x B．x2=4y C．【題型2利用拋物線的定義解題】【方法點撥】根據(jù)具體問題，利用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化求解.【例2】（2022·云南·高二開學(xué)考試）若拋物線C:y2=pxp>0上的一點ApA．6 B．8 C．12 D．16【變式2-1】（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知拋物線D:y2=4x的焦點為F，準線為l，點P在D上，過點P作準線l的垂線，垂足為A，若PA=AFA．2 B．22 C．23【變式2-2】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則|AF|+|BF|=A．4 B．5 C．6 D．8【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知O為坐標原點，拋物線x=14y2的焦點為F，點M在拋物線上，且MF=3，則MA．2 B．4716 C．23 【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】【方法點撥】求拋物線的焦點坐標及準線方程的步驟：第一步：把拋物線方程化為標準方程；第二步：明確拋物線開口方向；第三步：求出拋物線標準方程中參數(shù)p的值；第四步：寫出拋物線的焦點坐標、準線方程.【例3】（2022·遼寧鞍山·一模）拋物線y=43xA．(0,13) B．(13,0)【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）拋物線y=?18xA．x=132 B．y=2 C．y=1【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）拋物線y=x2的焦點坐標是（A．0,1 B．1,0 C．0,14 【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線y2=2x的焦點到其準線的距離是（A．1 B．2 C．3 D．4【題型4求拋物線的標準方程】【方法點撥】①直接法：直接利用題中已知條件確定參數(shù)p.②待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定參數(shù)p.③定義法：先判定所求點的軌跡符合拋物線的定義，進而求出方程.【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）頂點在原點，關(guān)于x軸對稱，并且經(jīng)過點M?1,2的拋物線方程為（

A．y2=4x C．x2=1【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）焦點在直線3x?4y?12=0上的拋物線的標準方程為（

）A．y2=16x或x2=16y C．y2=16x或x2=12y 【變式4-2】（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦點在y軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為2的拋物線的標準方程是（

）A．x2=4y B．x2=2y C．【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若拋物線y2=2px（p>0）上一點P（2，y0A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【題型5與拋物線有關(guān)的最值問題】【方法點撥】求與拋物線有關(guān)的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，解與拋物線有關(guān)的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，借助目標函數(shù)最值的求法解決.【例5】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知A,B是拋物線y2=?6x上的兩點，且AB=11，則線段AB的中點到y(tǒng)A．72 B．4 C．92 【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線y2=16x的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓C:x?62+A．4 B．6 C．8 D．10【變式5-2】（2022·云南模擬預(yù)測（理））已知點P為拋物線y2=?4x上的動點，設(shè)點P到l2:x=1的距離為d1，到直線x+y?4=0的距離為dA．52 B．522 C．2【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線x2=my焦點的坐標為F(0,1)，P為拋物線上的任意一點，B(2,2)，則|PB|+|PF|的最小值為（A．3 B．4 C．5 D．11【題型6與拋物線有關(guān)的實際應(yīng)用問題】【方法點撥】①要解決這些實際問題中有關(guān)的計算，我們可以利用坐標法建立拋物線方程，利用拋物線的標準方程和其幾何性質(zhì)進行推理、運算.②解決此類問題要注意實際問題中的量與拋物線相關(guān)量之間的坐標轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·全國·高二課時練習(xí)）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知CD=30m，AB=60m，點D到直線AB的距離為150m，則此拋物線頂端OA．180m B．200m C．220m【變式6-1】（2022·湖南·高二期末）如圖，某橋是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m，水面寬4m，那么水下降1m后，水面寬為（

）A．22m C．25m 【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線如圖（1）所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點F處，如圖（2）所示.已知接收天線的口徑AB為4.8m，深度為1m.若P為接收天線上一點，則點P與焦點F的最短距離為（A．0.72m B．