中考數(shù)學真題及答案

一、選擇題（本大題共12個小題,每小題3分,滿分36分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.）

1.（3分）-反的絕對值是（）

4

A.一旦B.￡?C.-AD.-1

4433

2.（3分）如果分式，?在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（）

x+1

A.#-1B.x>-1C.全體實數(shù)D.x--1

3.（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控制，進入環(huán)繞距

月球65000公里的地月拉格朗日12點施/。使命軌道，成為世界首顆運行在地月L2點%，。軌道的衛(wèi)星,

用科學記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.0.65X105B.65XIO3C.6.5X10"D.6.5X10'

4.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.8a-36=5a6B.（a2）C.a-i-a'=aD.a'a=a

6.（3分）如圖，已知AB〃CD,AF交CD于氤E,且的UF,/陽9=40°,則的度數(shù)是（）

7.（3分）某校5名同學在“國學經(jīng)典頌讀''比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,90,88,這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A.〃邊形（心3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

9.（3分）不等式組的整數(shù)解是（）

x+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

10.（3分）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016年底有貧困人

口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧

困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2x）—1B.9（1-*）2=1C.9（l+2x）—1D.9（1+x）'=1

11.（3分）如圖,一次函數(shù)%=*x+b（4#0）的圖象與反比例函數(shù)於=旦（卬為常數(shù)且山片0）的圖象都經(jīng)

X

過1（-1,2）,B（2,-1）,結(jié)合圖象，則不等式在x+6>皿的解集是（）

x

B.-l<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-l<x<0或x>2

12.（3分）如圖，在直角三角形/8C中，ZC=90°,AC=BC,￡是眼的中點，過點￡作/1。和用的垂線,

垂足分別為點〃和點凡四邊形尸沿著。方向勻速運動，點C與點/重合時停止運動，設(shè)運動時間

為t,運動過程中四邊形3與△48C的重疊部分面積為$則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：2a2-8=.

14.（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和a個黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)

別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為工，則a等于.

2

15.（3分）揚-遂=.

16.（3分）計算：.

x-l1-x

17.（3分）己知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是.

18.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示.已知4點坐標為（1,1）,過點/作44

〃了軸交拋物線于點4,過點4作44〃力交拋物線于點Az,過點4作44〃x軸交拋物線于點4,過

點4作44〃0A交拋物線于點4……，依次進行下去，則點4ON的坐標為.

三、解答題（本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分

66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）（!）'3+|V3-2|+tan600-（-2019）0

2

20.（6分）進行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題：

課程選擇情況條形統(tǒng)計圖課程選擇情況扇形統(tǒng)計圖

（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是;

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報，的學生約有多少人？

21.（8分）關(guān)于x的一元二次方程*-3x+X=0有實數(shù)根.

（1）求衣的取值范圍；

（2）如果X■是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m-\）/+戶0-3=0與方程/-3e4=0有一個

相同的根，求此時加的值.

22.（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面〃處測得樓房頂部4的仰

角為30°,沿坡面向下走到坡腳。處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達￡處，測得樓房頂部力的仰

角為60°.已知坡面約=10米，山坡的坡度/=1：加（坡度/是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）,

求樓房4?高度.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：七1.73,7丐七1.41）

A

y：

X/樓

D,-p0°/房

CEB

23.（8分）如圖，點4、B、。在半徑為8的。。上，過點、B作■BD//AC,交物延長線于點〃連接8G且N

BCA=NOAC=3Q°.

（1）求證：即是。。的切線;

（2）求圖中陰影部分的面積.

BD

24.(8分)某商店購進從6兩種商品，購買1個/商品比購買1個8商品多花10元，并且花費300元購

買A商品和花費100元購買6商品的數(shù)量相等.

(1)求購買一個4商品和一個8商品各需要多少元；

(2)商店準備購買爾6兩種商品共80個，若月商品的數(shù)量不少于6商品數(shù)量的4倍，并且購買從B

商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？

25.(10分)如圖，二次函數(shù)y=*2+8x+c的圖象與x軸交于點4(-1,0)和點8(3,0),與y軸交于點?。?/p>

以為邊在x軸上方作正方形/頗，點夕是x軸上一動點，連接CF,過點P作CF的垂線與y軸交于點

E.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；

(2)當點尸在線段OB(點尸不與0、8重合)上運動至何處時，線段位'的長有最大值？并求出這個最

大值;

(3)在第四象限的拋物線上任取一點也連接也隊，奶.請問：△劭期的面積是否存在最大值？若存在,

求出此時點"的坐標；若不存在，請說明理由.

26.(12分)如圖，在等邊比中，AB=6cm,動點尸從點/出發(fā)以，c/“s的速度沿四勻速運動.動點0

同時從點。出發(fā)以同樣的速度沿加的延長線方向勻速運動，當點尸到達點8時，點只0同時停止運動.設(shè)

運動時間為以1(s).過點P作皿/C于其連接收交〃■邊于〃.以8、龍為邊作平行四邊形題

(1)當￡為何值時，△第0為直角三角形；

(2)是否存在某一時刻t,使點尸在的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；

(3)求應(yīng)的長；

(4)取線段比的中點M,連接/W,將△協(xié)V沿直線/W翻折，得△夕PM,連接力夕，當t為何值時,

力夕的值最小？并求出最小值.

2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.）

1.（3分）-W的絕對值是（）

4

A.-3B.￡?C.-AD.-1

4433

【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可解答.

【解答】解：I-凹=色故選：B.

44

【點評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).

2.（3分）如果分式'?在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.#-1B.x>-1C.全體實數(shù)D.x=-1

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：於1W0,

x手-1,

故選：A.

【點評】本題考查分式的有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.（3分）2018年6月14II,探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控制，進入環(huán)繞距

月球65000公里的地月拉格朗日12點使命軌道，成為世界首顆運行在地月L2點的/o軌道的衛(wèi)星，

用科學記數(shù)法表示65000公里為（）公里.

A.0.65X105B.65X103C.6.5X10-'D.6.5X105

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把

原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時，〃是

正數(shù)：當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負數(shù).

【解答】解:科學記數(shù)法表示65000公里為6.5X10」公里.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

4.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（)

◎,aw

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：/、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

以不是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

〃、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重

合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.

5.（3分）下列各式中，計算正確的是（）

A.8a-3b—5abB.（a2）3—aC.a-i-a'—aD.a,a—a

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)基的乘法法則、募的乘方法則以及同底數(shù)基除法法則解答

即可.

【解答】解：/、8a與36不是同類項，故不能合并，故選項/不合題意；

B、（.a）3—a,故選項8不合題意；

C、成+才=」，故選項。不符合題意；

D、a*a=a,故選項〃符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了累的運算性質(zhì)以及合并同類項的法則，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，己知AB//CD,AF交CD于■點、E,且BE工AF,劭=40°,則N｛的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.80°I).90°

【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：：破1",/板=40°,

咫9=50°,

,:AB〃CD,

：.ZA=ZFED=50°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，正確得出/加的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

7.（3分）某校5名同學在“國學經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,90,88,這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.97B.90C.95D.88

【分析】先將題中的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：將小明所在小組的5個同學的成績重新排列為：86、88、90、95、97,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，

故選：B.

【點評】本題考查了中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的

個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

8.（3分）下列命題是假命題的是（）

A."邊形（〃》3）的外角和是360°

B.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

C.相等的角是對頂角

D.矩形的對角線互相平分且相等

【分析】根據(jù)多邊形的外角和、線段垂直平分線的性質(zhì)、對頂角和矩形的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：4、〃邊形（心3）的外角和是360°,是真命題；

從線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，是真命題；

相等的角不一定是對頂角，是假命題；

〃、矩形的對角線互相平分且相等，是真命題；

故選：C.

【點評】本題考查r命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假

命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

Q3Y

9.（3分）不等式組的整數(shù)解是（）

x+4>2

A.0B.-1C.-2D.1

【分析】先求出不等式組的解集，再求出整數(shù)解，即可得出選項.

5

【解答】解：\’2x>3x①

x+4>2②

解不等式①得：XVO,

解不等式②得：x>-2,

???不等式組的解集為-2Vx<0,

...不等式組的整數(shù)解是-1,

x+4>2

故選：B.

【點評】本題考查了解一元一次不等式的應(yīng)用，能靈活運用不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵.

10.（3分）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016年底有貧困人

口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人.設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧

困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1-x）2=1c.9（l+2x）=1D.9（1+^）2=1

【分析】等量關(guān)系為：2016年貧困人口X（1-下降率）2=2018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意得：

9（l-x）'I,

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

11.（3分）如圖，一次函數(shù)/=心葉8（抬0）的圖象與反比例函數(shù)％=皿（W為常數(shù)且辱0）的圖象都經(jīng)

過/（-I,2）,B（2,-1）,結(jié)合圖象，則不等式4x+b>皿的解集是（）

C.X<-1或0<x<2D.-l<x<0或x>2

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式A戶6>皿的解集.

X

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)必=Ax+6（20）的圖象在反比例函數(shù)度=皿（加為常數(shù)且〃

x

#0）的圖象上方時，x的取值范圍是：x<-l或0Vx<2,

二不等式處的解集是x<-1或0<x<2

x

故選：C.

【點評】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集.利

用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

12.（3分）如圖，在直角三角形/比中，NC=90°,AC=BC,￡是在的中點，過點6作〃1和比的垂線，

垂足分別為點〃和點用四邊形頌T7沿著。1方向勻速運動，點。與點/重合時停止運動，設(shè)運動時間

為3運動過程中四邊形。顏與的重疊部分面積為S.則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）

【分析】根據(jù)已知條件得到是等腰直角三角形，推出四邊形皿是正方形，設(shè)正方形的邊長為a,

當移動的距離＜a時，如圖15=正方形的面積-△01'〃的面積=才-_1^；當移動的距離＞a時、如圖

2,5=5k^?=l(2a-t)2=工/_2a什2才，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)論;

22

【解答】解：..?在直角三角形48c中，ZC=90°,AC=BC,

.?.△4饗是等腰直角三角形，

,：EFLBC,EDLAC,

四邊形4'龍是矩形，

是"的中點，

.?=Lc,DE=LBC,

22

:.EF=ED,

.?.四邊形所如是正方形，

設(shè)正方形的邊長為a,

如圖1當移動的距離＜a時、5=正方形的面積-△旗'〃的面積=才-上得

當移動的距離＞a時，如圖2,5=以解"=1(2a-t)2=^-2at+2a,

22

關(guān)于r的函數(shù)圖象大致為C選項，

故選：C.

Bz

I

I

I-I—1I

CDc'

圖2

EE'

DD

圖1

【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，學

會分類討論的思想，屬于中考?？碱}型.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)

13.(3分)因式分解：2a2-8=2(a+2)(a-2).

【分析】首先提取公因式2,進而利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：2--8=2（a-4）=2（殲2）（a-2）.

故答案為：2（a+2）（a-2）.

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

14.（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和a個黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)

別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為工，則a等于5.

2

【分析】根據(jù)概率公式列出關(guān)于a的方程，解之可得.

【解答】解：根據(jù)題意知二—=工，

3+2+a2

解得a=5,

經(jīng)檢驗：。=5是原分式方程的解，

??3--5,

故答案為：5.

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.（3分）V27-V3=_2V3--

【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案.

【解答】解：原式=3會-?=2e.

故答案為：25.

【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類

二次根式的合并，難度一般.

16.（3分）計算：

X-ll-x

【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=上-工

X-lX-1

=X-1

X-1

=1.

故答案為：1.

【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

17.（3分）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是

【分析】易得正三角形的中心角為120。，那么中心角的一半為60。，利用60。的正弦值可得正三角形

邊長的一半，乘以2即為正三角形的邊長.

【解答】解：如圖，圓半徑為6,求4?長.

2408=360°4-3=120°

連接OA,OB,作0aLA8于點C,

'：OA=OB,

:"B=2AC,N40C=60°,

.?"C=fl4Xsin60°=6x2

:.AB=2AC=6M，

故答案為：65/3.

【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，先利用垂徑定理和相應(yīng)的三角函數(shù)知識得到/。的值是解

決本題的關(guān)鍵.

18.（3分）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示.已知/點坐標為（1,1）,過點/作44

〃了軸交拋物線于點4,過點4作44〃面交拋物線于點4,過點4作軸交拋物線于點4,過

點4作44〃力交拋物線于點4……，依次進行下去，則點做19的坐標為（-1010,1010，'）.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點4的坐標，求得直線44為尸x+2,聯(lián)立方程求得出的坐標，即可

求得4的坐標，同理求得4的坐標，即可求得4的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律，即可找出點

AZOK的坐標.

【解答】解：???/點坐標為（1,1）,

...直線以為尸X,4(-1,1),

'：AtA2//OA,

二直線44為尸產(chǎn)2,

^fj^x+2fx=-lfx=2

尸Jly=lly=4

：.A2(2,4),

：.A,(-2,4),

,.,44〃物，

???直線44為尸戶6,

解尸+；得卜=-2或卜=3,

y=x2Iy=4Iy=9

：.AA(3,9),

???4(-3,9)

???,

.,,^2019(-1010,10102),

故答案為(-1010,10102).

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的圖象以及交點的坐標，根據(jù)坐標的變化

找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分

66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.(6分)(*)-：i+lV3-2|+tan60°-(-2019)0

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)基的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=8+2-b+E-1

=9.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

20.(6分)進行J'統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題:

ASX

課程選擇情況條形統(tǒng)計圖課程選擇情況扇形統(tǒng)計圖

（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是40；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報〃的學生約有多少人？

【分析】（1）利用4項目的頻數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

（2）計算出。項目的人數(shù)后補全條形統(tǒng)計圖即可；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中該校報〃的學生數(shù)占被調(diào)查學生數(shù)的比例即可得.

【解答】解：（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是12?30%=40（人），

故答案為：40人;

(2)C項目的人數(shù)為40-12-14-4=10(人)

條形統(tǒng)計圖補充為:

八年級（3）班研學項目況的

條形統(tǒng)計圖

（3）估計全校報名軍事競技的學生有1000X_￡=100（人）.

40

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求

問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

21.（8分）關(guān)于x的一元二次方程丁-3戶4=0有實數(shù)根.

（1）求4的取值范圍；

（2）如果4是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（/-1）廣力-3=0與方程/-3戶4=0有一個

相同的根，求此時R的值.

【分析】(1)利用判別式的意義得到4=(-3)2-4420,然后解不等式即可；'

(2)利用(1)中的結(jié)論得到/的最大整數(shù)為2,解方程3行2=0解得為=1,用=2,把x=l和x

=2分別代入一元二次方程(ffl-1)/+*+勿-3=0求出對應(yīng)的例同時滿足0-1X0.

【解答】解：⑴根據(jù)題意得△=(-3)'-"NO,

解得kW

4

(2)〃的最大整數(shù)為2,

方程V-3戶4=0變形為/-3戶2=0,解得矛1=1,照=2,

.??一元二次方程(/77-1)/+x+〃7-3=0與方程V-3x+A=0有一個相同的根，

???當x=l時，卬-1+1+加-3=0,解得/=之；

2

當x=2時，4(卬-1)+2+勿-3=0,解得卬=1,

而加-1W0,

二"的值為a.

2

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+6肝c=0(aWO)的根與△=&?-4ac有如下關(guān)系：

當△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<()時，方程無

實數(shù)根.

22.(8分)如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面〃處測得樓房頂部/的仰

角為30。，沿坡面向下走到坡腳，處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達￡處，測得樓房頂部4的仰

角為60°.已知坡面。H10米，山坡的坡度，=1：?(坡度2.是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)，

求樓房16高度.(結(jié)果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù)：73^1.73,、歷七1.41)

【分析】過。作％JL6C于GDHLAB^H,交AE于F,作.FPLBC于P,典\DG=FP^BH,DF=GP,求出

NDCG=3/,得出FPDG=Lcg5,龍=?%=5&,求出以'=伊=處巨+10,證出/=30°

23

=ZADF,得出AF=DF=尊返+10,得出FH=工4尸=逅+5,因此AH=10+5、石，即可得出答

323

案.

【解答】解：過〃作，G_L6c于GDHLAB于H,交.AE于F,悍FP1BC千P,如圖所示:

貝ijDG=FFBH,DF=GP,

?.?坡面折10米，山坡的坡度，=1：M，

：./DCG=3Q°,

:.F—DG=Lcg5,

2

CG=

陽P=60°,

；./＜々倔々5,

:.EP=箱,

3_

DF=GP=5?+10+~§^=2Q0+10,

33

VZJ￡S=60°,

AZ￡45=30°,

VZJZW=30°,

：.ZDAH=60°,

：.ZDAF=30°=ZADF9

：.AF=DF=2Q^+10,

3_

FH=L4F=空四+5,

23

:.AH=4^FH=\Q+5M，

.?.48=4牙闞=10+5后5=15+5?七15+5X1.73~23.7（米），

答：樓房4?高度約為23.7米.

【點評】此題是解直角三角形的應(yīng)用--仰角，俯角問題，主要考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地

構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵.

23.（8分）如圖，點/、B、。在半徑為8的。。上，過點8作劭〃/C,交的延長線于點〃連接8G且N

6。=/046=30°.

（1）求證：%是。。的切線;

（2）求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）連接。C,根據(jù)圓周角定理求出/煙，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出根據(jù)切線的判定

推出即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N=30°,解直角三角形求出劭,分別求出48勿的面積和扇形/防的面積,

即可得出答案.

【解答】（1）證明：連接加，交力于反

vzc=30°,NC=LNBOA,

2

:.NB0A=6G°,

'：ZBCA=ZOAC=30a,

.?.460=90°,

即AC,

'：BD//AC,

:.NDBE=ZAEO=9Q°,

是。。的切線;

(2)解：'：AC//BD,NOG4=9O°,勺30°,

TNOBD=90°,0B=8,

BD=8

，5睚=心胸-S扇彩做=工><8><8??兀X8：=32力-jgZL.

23603

BD

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點

的綜合運用，題目比較好，難度適中.

24.(8分)某商店購進4、6兩種商品，購買1個4商品比購買1個8商品多花10元，并且花費300元購

買A商品和花費100元購買6商品的數(shù)量相等.

(1)求購買一個4商品和一個8商品各需要多少元；

(2)商店準備購買/、6兩種商品共80個，若4商品的數(shù)量不少于6商品數(shù)量的4倍，并且購買從B

商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？

【分析】(1)設(shè)購買一個6商品需要x元，則購買一個4商品需要(戶10)元，根據(jù)數(shù)量=總價+單價

結(jié)合花費300元購買/商品和花費100元購買6商品的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)

檢驗后即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購買8商品0個，則購買4商品(80-加個，根據(jù)4商品的數(shù)量不少于6商品數(shù)量的4倍并且

購買48商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關(guān)于勿的一元一次不等式組，解之即

可得出/的取值范圍，再結(jié)合加為整數(shù)即可找出各購買方案.

【解答】解：(1)設(shè)購買一個6商品需要x元，則購買一個/商品需要(x+10)元，

依題意，得：蟲絲=坨，

x+10x

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意，

.?.廣10=15.

答：購買一個月商品需要15元，購買一個8商品需要5元.

(2)設(shè)購買8商品卬個，則購買4商品(80-加個，

80-m〉41n

依題意，得：T5(80-m)+5m>100C，

15(80-m)+5ir<105C

解得：15W/?W16.

為整數(shù)，

/.277=15或16.

...商店有2種購買方案，方案①：購進/商品65個、8商品15個；方案②：購進/商品64個、8商品

16個.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，

正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組.

25.（10分）如圖，二次函數(shù)y=_?+6肝c的圖象與x軸交于點4（-1,0）和點8（3,0）,與y軸交于點兒

以四為邊在x軸上方作正方形｛及W,點夕是x軸上一動點，連接（T,過點戶作爐的垂線與y軸交于點

E.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；

（2）當點P在線段OB（點P不與0、8重合）上運動至何處時，線段比的長有最大值？并求出這個最

大值：

（3）在第四象限的拋物線上任取一點材，連接屈乂MB.請問：△物郎的面積是否存在最大值？若存在,

求出此時點〃的坐標；若不存在,請說明理由.

【分析】（1）將點力、6的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解;

（2）設(shè).OP=x,則陽=3-x,由△。施J△加得出比例線段，可表示您的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可

求出線段位的最大值；

（3）過點"作"〃y軸交融于點〃，由心》=酸"跖”=51H.OB即可求解.

【解答】解：（1））?.?拋物線尸經(jīng)過4（-1,0）,B（3,0）,

把4、8兩點坐標代入上式，1l-b+c=0,

I9+3b+c=0

解得：（b=-2,

lc=-3

故拋物線函數(shù)關(guān)系表達式為y=*-2x-3；

（2）9：A（-1,0）,點5（3,0）,

?"8=》+%=1+3=4,

?.?正方形力靦中，N/8c=90°,PCIBE,

：./OPE+NCPB=9Q°,

NCPB^NPCB=gQ°,

：.ZOPE=4PCB,

又■：NE0P=2PBC=gG,

:.△POEs^CBP,

.BC_0P

*'PB^OE'

設(shè)04X,則陽=3-X,

?.?4二---一x一,

3-x0E

A0E=^(-X2+3X)=-^-(X-1-)2+磊，

V0<x<3,

???時，線段院長有最大值，最大值為

216

即取之時，線段比有最大值.最大值是

216

(3)存在.

如圖，過點"作物/〃y軸交融于點II,

:拋物線的解析式為y=V-2x-3,

x=0,y=-3,

點坐標為(0,-3),

設(shè)直線以，的解析式為y=k汕b,

..j3k+b=0,

',lb=-3'

??.尸，

lb=-3

?,?直線以,的解析式為尸X-3,

設(shè)"(a,a2-2a-3),則〃(a,a-3),

:.MH=a-3-(a~-2a-3)--Q+3a,

??.SAMM=&^"SAJ￡W=^_MH*OB=GX(-a2+3a)X3=4(a^z~)

ZZZZo

士<0，

2

；.a=3時，△劭外，的面積有最大值，最大值是2工，此時"點的坐標為(W,工).

2824

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相

似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，會利用相似比表示線

段之間的關(guān)系.利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度

是解題的關(guān)鍵.

26.(12分)如圖，在等邊△4回■中，AB=6cm,動點尸從點力出發(fā)以的速度沿力6勻速運動.動點0

同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿a'的延長線方向勻速運動，當點P到達點6時，點入。同時停止運動.設(shè)

運動時間為以t(s).過點？作皿/C于E,連接PQ交4c邊于D.以CQ、以為邊作平行四邊形CQFE.

(1)當t為何值時，△引圖為直角三角形：

(2)是否存在某一時刻使點尸在/46C的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；

(3)求診的長；

(4)取線段8c的中點M連接制/將△龍湖沿直線燈/翻折，得△"PM,連接4夕，當t為何值時，

的值最??？并求出最小值.

(2)如圖1中，連接跖交然于"證明項=2闞；由此構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)證明應(yīng)'=L/C即可解決問題.

2

(4)如圖3中，連接4伙AB'.根據(jù)46'>AJ/-MB'求解即可解決問題.

【解答】解：(1)???△/如是等邊三角形，

AZ5=60°,

.?.當時，/網(wǎng)=90°,

；.6+t=2(6-力，

t=3,

t=3時，△“是直角三角形.

(2)存在.

理由：如圖1中，連接8尸交4，于M.

■:BF平分~4ABC,BA=BC,

J.BFVAC,AQCM=3cm,

'：EF//BQ,

:/EFM=NFBC=L/ABC=3Q。,

2

：.EF=2EM,

t=2?(3--Lt),

2

解得t=3.

(3)如圖2中，作PK"BC交AC于K.

圖2

是等邊三角形,

：.ZB=ZA=60°,

、：PK〃BC,

:./APK=/B=6。。,

:?ZA=4APK=/AKP=6。。,

△力弘是等邊三角形，

:?PA=PK,

?:PELAK,

:?AE=EK,

YAP=CQ=PK,NPKD=/DCQ,4PDK=4QDC,

:.XPK噲l\QCD(JJS),

:.DK=DC,

:.DE=EK+DK=L{AK+OC)=X4C=3(cm).

22

(4)如圖3中，連接力M,AB'

圖3

,:BM=G=3,AB^AC,

C.AMLBC,

22=

,J^VAB-BM3仃

'：AB'^AM-MB',

：.AB'>373-3,

：.AB'的最小值為36-3.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全

等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解

決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

中考數(shù)學真題及答案

一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）如圖，數(shù)軸上表示-2的相反數(shù)的點是（）

MNP。

-----------i~~~?-----

-2-110112

-22

A.MB.NC.PD.Q

2.（3分）如圖是我國幾家銀行的標志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

C（S）

C.?D△

3.（3分）鄧小平曾說:“中東有石油，中國有稀土”.稀土是加工制造國防、軍工等工業(yè)品不可或缺的原料.據(jù)

有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明：至2017年止，我國己探明稀土儲量約4400萬噸，居世界第一位，請用科學記數(shù)法

表示44000000為（）

A.44X106B.4.4X10，C.4.4X10"D.0.44X10“

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.（x）3=x°B.C.x*x*x—xD.-2^—y[2

V2

5.（3分）一元二次方程2f+3x-5=0的根的情況為（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

6.（3分）下列采用的調(diào)查方式中，合適的是（）

A.為了解東江湖的水質(zhì)情況，采用抽樣調(diào)查的方式

B.我市某企業(yè)為了解所生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率，采用普查的方式

C.某小型企業(yè)給在職員工做工作服前進行尺寸大小的調(diào)查，采用抽樣調(diào)查的方式

D.某市教育部門為了解該市中小學生的視力情況，采用普查的方式

7.（3分）如圖，分別以線段的兩端點兒6為圓心，大于24?長為半徑畫弧，在線段4?的兩側(cè)分別交

于點E,F,作直線必交13于點2在直線第上任取一點戶（不與。重合），連接力，PB,則下列結(jié)論

不一定成立的是（）

A.PA=PBB.OA=OBC.OP=OFD.POLAB

8.（3分）我國古代數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的三

角形，如圖所示，已知N/l=90°,初=4,CF=6,則正方形4%/的邊長是（）

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

9.（3分）二次根式《工中，x的取值范圍是.

10.（3分）若史上=旦，則上=.

x2x

11.（3分）如圖，直線a,6被直線c,d所截.若a〃4Nl=130°,N2=30°,則N3的度數(shù)為度.

12.（3分）某校舉行演講比賽，七個評委對小明的打分如下：9,8,