PAGEPAGE18第16章幾何變換§16.1對(duì)稱和平移16．1．1★設(shè)是邊長為2的正三角形的邊的中點(diǎn)．是邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值．解析作正三角形關(guān)于的對(duì)稱圖形．是的對(duì)稱點(diǎn)，故是的中點(diǎn)．，如圖所示，則.連結(jié)，易知，所以．所以，的最小值是．16．1．2★★已知中，．試在的邊、上分別找出一點(diǎn)、，使最小．解析作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連與、分別交于點(diǎn)、，則、即為所求，如圖所示．事實(shí)上，對(duì)于、上的任意點(diǎn)，，．評(píng)注因?yàn)椋运骶€段必與線段、相交．16．1．3★★求證：直角三角形的內(nèi)接三角形的周長不小于斜邊上高的兩倍．解析如圖所示，設(shè)在直角三角形中，是斜邊上的高，是它的任一內(nèi)接三角形．將以為對(duì)稱軸反射為，此時(shí)反射為，再將以為對(duì)稱軸反射為，此時(shí)反射為延長交于．易知，所以，即，且是兩平行線與之間的距離．所以.16．1．4★★★在內(nèi)取一點(diǎn)使，．設(shè)，．求.解析本題中為等腰三角形，這就提示我們利用對(duì)稱性解題，先作一條對(duì)稱軸，作的高與直線交于點(diǎn)由對(duì)稱性知，，所以，從而，因?yàn)椋?，所以≌，于是，所以?6．1．5★★在中，是高，在邊上，已知，，，求的面積．解析作的關(guān)于的對(duì)稱圖形，作的關(guān)于的對(duì)稱圖形．分別延長和，它們相交于，如圖所示．易知，且，．所以，四邊形是正方形．設(shè)正方形的邊長為，則，．在直角三角形中，由勾股定理知．．解方程，得，即．所以．16．1．6★★★如圖，凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長為的正方形的四條邊上，求證：的周長不小于．解析作正方形關(guān)于的軸對(duì)稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對(duì)稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對(duì)稱圖形，得到正方形，而、、、四點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示．顯然，，，故，所以四邊形的周長．即四邊形的周長不小于．16．1．7★★★如圖，和是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，，現(xiàn)固定而將繞點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段上必存在點(diǎn)使力等腰直角三角形．解析如圖，設(shè)為等腰直角三角形，下面證明點(diǎn)在線段上．作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則．因?yàn)?，所以，又．所以又是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．同理也是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，因此，，又因，所以．即在上（且為的中點(diǎn)）．16．1．8★★★如圖，矩形中，，，若在、上各取一點(diǎn)、，使的值最小，試求出這個(gè)最小值．解析作關(guān)于直線的對(duì)稱線段，即、關(guān)于對(duì)稱，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則在上，且有于，于．由對(duì)稱變換可知，.欲使最小，必須共線，所以最小值為點(diǎn)到的距離.在中，，，所以，則．在中，．又，在中，，則．從而的最小值為16．16．1．9★★凸四邊形中，，．求證：.解析將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)．因?yàn)椋?，所以必定在?nèi)部．延長線交于點(diǎn)，則.16．1．10★★設(shè)表示凸四邊形的面積，證明．解析如圖，作點(diǎn)關(guān)于的垂直平分線的對(duì)稱點(diǎn)，顯然與關(guān)于成軸對(duì)稱圖形．所以，.16．1．11★★在矩形內(nèi)取一點(diǎn)，使，試求的值．解析如圖將沿平移至，顯然，．所以，由已知條件，即、、、四點(diǎn)共圓，從而．16．1．12★★設(shè)是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，使得，證明：．解析如圖，把平移至，則，及，，所以．又已知，故，從而、、、四點(diǎn)共圓．于是，又，所以．16．1．13★（1）如圖（a）所示，在梯形中，.已知：，，，求梯形的面積．（2）如圖（b），在梯形中，．是的中點(diǎn)，于．設(shè)，，求梯形的面積．解析（1）將平移到，連結(jié)，則，．所以．．因此．因?yàn)?，所以．?）將平移至，如圖（b）所示，過點(diǎn)．由于≌，所以．評(píng)注本題的兩種添平行線法是解梯形問題的常用方法．16．1．14★★如圖，在四邊形中，，、分別是及中點(diǎn)，的延長線與及的延長線分別交于點(diǎn)、．求證：．解析1如圖（a），將線段平移至．則四邊形為平行四邊形．由于是中點(diǎn)，故、、共線．現(xiàn)在是的中位線，故，所以，．又顯然．故．于是．解析2如圖（b），連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)、，則、分別為、的中位線，所以，．故，，且，故，所以．16．1．15★★如圖，，、、均垂直于，垂足為、、，，，，．求的值．解析將平移到，在線段上，延長交于，將平移到，在上．因?yàn)?、、均垂直于，所以四邊形和都是矩形．由，，得．又，所以，，．所以≌，，．于是，，．在中，，，也即?6．1．16★★在正三角形的三條邊上，有三條相等的線段、、．證明：直線、、所成的三角形中，三條線段、、與包含它們的邊成比例．解析如圖，將平移到，連結(jié)、、．因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，故為正三角形，．這樣所得四邊形為平行四邊形，．因此，由、、這三條線段構(gòu)成的三角形與全等，而≌，從而命題得證．16．1．17★★如圖所示，且共點(diǎn)于，，求證：．解析將沿方向平移長的距離，得，將沿方向平移長的距離，得．由于，，所以．又因，故與重合，且、、三點(diǎn)共線．在正三角形中，．16．1．18★★★如圖，由平行四邊形的頂點(diǎn)引它的高和，已知，，求點(diǎn)到的垂心的距離．解析令表示的垂心．考慮到，，有．同理有，因而四邊形，為平行四邊形，平移到位置，顯然為上一點(diǎn)，所求線段即，已與位于同一直角三角形中．由于四邊形為矩形，有，于是．16．1．19★★★已知的面積為，、、分別為、、上的點(diǎn)，且，試求以、、為邊的三角形的面積．解析如圖，過點(diǎn)作平行且等于．連、、，則四邊形為平行四邊形，．又，所以≌，，因此.又因，所以．于是四邊形也為平行四邊形，從而，即為、、所構(gòu)成的三角形，它的面積為．在梯形中，，所以，而，所以，因此．§16.2旋轉(zhuǎn)16．2．1★★對(duì)于邊長為1的正內(nèi)任一點(diǎn)．求證：．解析把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到．則為正三角形，且，，因而．16．2．2★★設(shè)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，．試求此等邊三角形的邊長．解析如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)的位置，顯然，，，．在中，，所以．故.在中，由余弦定理，得．所以，等邊三角形的邊長是．16．2．3★★設(shè)是正三角形內(nèi)一點(diǎn)，已知，，求以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角．解析以為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至，如圖所示．連結(jié)．由于，，所以是正三角形，故．又，故是以、、為邊構(gòu)成的一個(gè)三角形．因此，，從而．所以，以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角分別為、和．16．2．4★★如圖，兩個(gè)正方形與（頂點(diǎn)按順時(shí)針方向排列），求證：這兩個(gè)正方形的中心以及線段、的中點(diǎn)是某正方形的頂點(diǎn)．解析設(shè)、分別是正方形、的中心，、分別是線段、的中點(diǎn)，先證是以為斜邊的等腰直角三角形．連結(jié)、，將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則、分別到、位置，所以，．因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以．同理．所以，且．即是以為斜邊的等腰直角三角形．同理可證也是以為斜邊的等腰直角三角形．故、、、是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)．16．2．5★★正方形內(nèi)有一點(diǎn)，，．，求正方形的面積．解析將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得．連結(jié)．易知，．于是．在中，．所以是直角三角形，從而．由余弦定理得．16．2．6★★在正方形的邊和上分別取點(diǎn)和，使得，在線段上取點(diǎn)，使得．證明：是直角．解析如圖所示，在邊上取點(diǎn)，使，連結(jié)、、．由于，所以、、、四點(diǎn)共圓，作四邊形的外接圓和矩形的外接圓，因?yàn)檫@兩個(gè)外接圓均過、、三點(diǎn)，從而這兩圓是相同的，所以．易知≌.故以正方形的中心為旋轉(zhuǎn)中心，將以逆對(duì)針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)至，從而．又，故、、三點(diǎn)共線，所以．16．2．7★★★已知凸六邊形中，，，，．求證：（1）；（2），，．解析（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，如圖所示．連結(jié)．因?yàn)?，所以．因?從而≌，≌，所以．（2）由（1）可知，所以．同理可證：，．評(píng)注本題通過旋轉(zhuǎn)，把、、拼成一個(gè)與全等的新三角形.也可以采取向內(nèi)部旋轉(zhuǎn)的方法，把、、放在的內(nèi)部，使之恰好“拼成”．16．2．8★★★如圖所示，、是邊長為1的正方形內(nèi)兩點(diǎn)，使得，求的值．解析將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)、，則≌，≌．又，所以、、三點(diǎn)共線，且，故，所以．16．2．9★★在中，，點(diǎn)不與重合．求證.解析如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使與共線．于是．又因?yàn)?，所以．故在等腰中，．因此，從?評(píng)注此題似乎依賴于圖形，在內(nèi)，事實(shí)上在其他位置照樣成立，方法