2023/12/836-12023/12/836-234-32023/12/8二階線性微分方程：時,稱為二階非齊次線性微分方程;時,稱為二階齊次線性微分方程.復(fù)習(xí):

一階線性微分方程：通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y2023/12/836-42023/12/836-534-62023/12/8☆

兩個函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：線性相關(guān)線性無關(guān)常數(shù)注：0與任意函數(shù)必線性相關(guān)僅相差常數(shù)倍！2023/12/836-72023/12/836-82023/12/836-92023/12/836-102023/12/836-1134-122023/12/8常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意備用提示:線性無關(guān).（反證法可證）不一定線性無關(guān)2023/12/836-132023/12/836-142023/12/836-152023/12/836-162023/12/836-172023/12/836-182023/12/836-192023/12/836-202023/12/836-212023/12/836-222023/12/836-232023/12/836-2434-252023/12/8練習(xí)：在下列微分方程中，以為通解的是()(2008考研)D解：特征方程為2023/12/836-262023/12/836-27根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，其通解為齊次方程通解非齊次方程特解34-282023/12/8求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).—待定系數(shù)法2、1、34-292023/12/8（一）、設(shè)特解為其中為待定多項式,（其中為實數(shù)，為m

次多項式）則代入得化簡得34-302023/12/8(1)若

非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為

m次多項式，(2)若是特征方程的單根，為m

次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,為m

次多項式,故特解形式為即即34-312023/12/8結(jié)論*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！(k是重根次數(shù))2023/12/836-322023/12/836-332023/12/836-342023/12/836-3534-362023/12/8例.的一個特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為2023/12/836-372023/12/836-382023/12/836-3934-402023/12/8解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例34-412023/12/8例*.求解初值問題解：特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得對應(yīng)齊次方程通解為故原方程通解為由初始條件得于是所求解為2023/12/836-422023/12/836-432023/12/836-442023/12/836-452023/12/836-462023/12/836-4734-482023/12/8練習(xí)：的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù)，得因此特解為代入得通解為為特征方程的單根,故設(shè)非齊次方程特解34-492023/12/8例*解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為構(gòu)造下列微分方程的特解形式：34-502023/12/8內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形*